스톤 이중성

이 글에는 참고문헌, 관련 독서 또는 외부 링크 목록이 수록되어 있으나 인라인 인용구가 부족하여 출처가 불분명하다. 보다 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2018년 3월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학에서 위상학 공간의 특정 범주와 부분 순서 집합의 범주 사이에 범주형 이중성이 충분히 공급된다.오늘날, 이러한 이중성은 보통 스톤이 부울알헤브라를 위해 자연적으로 일반화한 것으로서 스톤 이중성이라는 레이블로 수집된다.이 개념들은 마샬 스톤을 기리기 위해 명명되었다.석재형 이중성은 또한 무의미한 위상의 기초를 제공하며 형식 의미론 연구를 위한 이론적 컴퓨터 과학에 이용된다.

이 기사는 스톤 이중성의 특별한 사례에 대한 포인터를 제공하며 매우 일반적인 사례를 자세히 설명한다.

석재형 이중성 개요

아마도 "스톤 이중성"이라고 분류되는 가장 일반적인 이중성은 연속적인 기능을 가진 맑은 공간의 흐느낌 범주와 적절한 프레임 동형성을 가진 공간 프레임의 SFrm 범주 사이의 이중성일 것이다.SFrm의 이중 카테고리는 SLOC가 나타내는 공간적 로케일의 카테고리다.Sob과 SLoc의 범주적 등가성은 의미 없는 위상의 수학 영역의 기초로서, 모든 로케인의 범주인 Loc의 연구에 바쳐지며, 그 중 SLoc은 완전한 하위 범주다.관련된 구조는 이러한 종류의 이중성에 대한 특징이며, 아래에 자세히 설명되어 있다.

이제 사람들은 특정 종류의 냉정한 공간에 국한시킴으로써 많은 다른 이중성을 쉽게 얻을 수 있다.

• 일관성 있는 정상 공간의 CohSp 범주(및 일관성 있는 지도)는 부울 프라임 이상 정리를 가정하여 일관성 있는 (또는 스펙트럼) 로케스(및 일관성 있는 지도)의 CoHLoc 범주와 동등하다(사실, 이 진술은 그러한 가정과 동일하다).이 결과의 중요성은 CoHLoc이 경계 분배 격자의 범주 DLat에₀₁ 이중적이라는 사실에서 기인한다.따라서 DLAT는₀₁ CohSp에 이중적이다. 즉, 분배 래티스에 대한 스톤 대표 정리를 얻는다.
• 하우스도르프라는 일관된 술자리 공간만 더 제한하면 이른바 스톤 공간이라는 카테고리를 얻게 된다.DLat₀₁ 측면에서는 이 제한이 부울 알헤브라의 하위 카테고리 볼(Bool)을 산출한다.따라서 스톤은 부울 알헤브라에 대한 대표 정리를 얻는다.
• 스톤이 분배 격자에 대해 표상하는 것은 일관성 있는 공간과 프리스틀리 공간(오더된 위상학적 공간, 콤팩트하고 완전히 순서 구분된 공간)의 등가성을 통해 확장될 수 있다.하나는 순서 토폴로지를 통해 분배 격자의 대표성을 얻는다: 분배 격자에 대한 프리스틀리의 대표 정리.

많은 다른 스톤 타입의 이중성이 이러한 기본적인 이중성에 추가될 수 있다.

무정음 공간과 공간적 로케일의 이중성

오픈 세트의 격자

이론의 출발점은 모든 위상학적 공간은 X의 점 집합과 X의 오픈된 요소 집합의 시스템 Ω(X)으로 특징지어진다는 사실이다.Ω(X)은 특정한 특수성을 가지고 있는 것으로 알려져 있는데, 각각 세트 유니언과 유한 세트 교차로에 의해 슈프리마와 유한 인피마가 주어지는 완전 격자(complete lattice)이다.게다가, 그것은 X와 빈 세트를 모두 포함하고 있다.X의 파워셋 격자에 Ω(X)을 내장하면 유한한 인피마와 임의의 우월성이 보존되기 때문에 Ω(X)은 다음과 같은 분배 법칙을 계승한다.

$\displaystyle x\wedge \bigvee S=\bigvee \{\,x\wedge s:s\in S\,\}}$

모든 요소(열린 세트) x 및 Ω(X)의 모든 부분 집합 S에 대해.따라서 Ω(X)은 임의의 완전한 격자가 아니라 완전한 헤팅 대수학(프레임 또는 로케일이라고도 함)이다. 다양한 명칭은 주로 프레임 형태론, 로케일 형태론, 완전한 헤팅 알제브라의 동형체론 등 동일한 등급의 물체를 가지면서도 다른 형태를 가진 여러 범주를 구별하기 위해 사용된다.이제 분명한 질문은 다음과 같다.열린 집합의 로케일로 특징지어지는 위상학적 공간은 어느 정도인가?

이미 위에서 시사한 바와 같이, 한층 더 멀리 갈 수 있다.위상학적 공간의 상위 범주는 연속함수를 모형으로 나타내며, 여기서 함수 f는 f의 코도마인 임의의 열린 세트의 역 이미지 f ⁻¹(O)가 f의 영역에서 열려 있는 경우 연속함수를 갖는다.따라서 공간 X에서 공간 Y까지의 모든 연속 함수 f는 Ω(Y)에서 Ω(X)까지의 역방향 매핑 f를 ⁻¹ 정의한다.나아가 f ⁻¹(어떤 역 이미지 맵처럼)가 유한 교차로와 임의 결합을 보존하고 있어 프레임의 형태론인지 쉽게 확인할 수 있다.우리가 Ω(f) = f를 ⁻¹ 정의한다면, Ω은 Top 범주에서 Frm 범주의 프레임과 프레임 형태에 대한 범주로의 반대편 functor가 된다.범주 이론의 도구를 사용하여, 열린 집합 격자의 관점에서 위상학적 공간의 특성화를 찾는 작업은 Ω에 비례하는 Frm에서 Top까지의 functor를 찾는 것과 동등하다.

로케일 지점

이 절의 목적은 어떤 의미에서 적절한 위상과 함께 각 로케일 L에 포인트 pt(L)(표기 pt) 세트를 할당하여 Ω의 작동을 "전원"하는 Frm에서 상단까지의 functor pt를 정의하는 것이다.그러나 세트 격자로 제공되지는 않지만 로케일에서만 포인트 세트를 어떻게 복구할 수 있을까?일반적으로 pt가 단지 그것의 열린 집합의 격자로부터 위상 공간의 모든 원소들을 재현할 수 있다고 기대할 수 없다는 것은 확실하다. 예를 들어, 특정 집합에 대한 정보가 더 이상 존재하지 않는 등, 불분명한 위상 수율(최대 이소모르프)을 가진 모든 집합은 같은 로케일이 있다.그러나 로케일에서 "점수"를 획득하는 합리적인 기법이 여전히 존재하는데, 이것은 실제로 스톤형 이중성의 중심구조의 예를 보여준다.

우선 위상학적 공간 X의 포인트를 살펴보자.사람은 대개 X의 점을 X의 요소 x로 생각하고 싶은 유혹을 느끼지만, 사실 현재 우리의 조사에 더 유용한 묘사가 있다.임의의 점 x는 p_x(1) = x를 정의함으로써 하나의 원소 위상학적 공간 1(모든 하위 집합이 열려 있음)에서 공간 X까지 연속 함수_x p를 발생시킨다. 반대로, 1부터 X까지의 모든 함수는 한 점, 즉 "점"을 명확하게 결정한다.따라서 위상 공간의 점 집합은 1부터 X까지의 함수 집합으로 동등하게 특징지어진다.

Functor Ω을 사용하여 Top에서 Frm으로 통과할 때, 공간의 모든 설정 이론 요소는 손실되지만, 범주 이론의 기본 개념을 사용하여 기능 공간에서도 작업할 수 있다.실제로, 어떤 "점" p_x: 1 → Top의 X는 형태론 Ω_x(p): Ω(X) → Ω(1)에 매핑된다.1원소 위상학 공간 Ω(1)의 오픈 세트 격자는 2원소 로케일 2 = { 0, 1 }에 불과하며 0 < 1>이 있다. 이러한 관찰 후에 로케일 L의 점 집합을 L에서 2까지의 프레임 형태 집합으로 정의하는 것이 타당해 보인다.그러나 로케일 Ω(X)의 모든 지점이 위상학적 공간 X의 지점과 일대일 일치한다는 보장은 없다(개방형 집합 격자에는 하나의 "점"만 있는 무분별한 토폴로지를 다시 고려한다).

pt(X)에서 필요한 위상을 정의하기 전에 로케일의 포인트 개념을 더 명확히 하는 것이 가치가 있다.위에서 동기를 부여한 관점은 L에서 2까지의 프레임 형태론 p로서 로케일 L의 점을 고려하는 것을 제안한다.그러나 이러한 형태는 2의 두 원소의 역영상에 의해 동등하게 특징지어진다.프레임 형태론의 속성에서 p ⁻¹(0)가 가장 큰 원소 a_p = V p ⁻¹(0)를 포함하는 낮은 집합(p는 모노톤이기 때문에)이라는 것을 알 수 있다(p는 임의의 우월성을 보존하기 때문에).또한 p는 유한한 인피마를 보존하므로 주 이상적 p ⁻¹(0)은 주상적 이상이며, 따라서 주상 a는_p 메이트 프라임 요소다.이제 ⁻¹ p ⁻¹(1)가 제공하는 p ⁻¹(0)의 셋오버는 p(0)가 주요한 프라임 이상이기 때문에 완전히 프라임 필터다.이 모든 서술이 초기 프레임 형태론을 독특하게 결정하는 것으로 나타났다.요약하면 다음과 같다.

로케일 L의 점은 다음과 같이 동등하게 설명된다.

• L에서 2까지 프레임 형태론
• L의 주된 이상.
• L의 마중물 요소.
• 완전 원주 여과기

이 모든 서술은 이론 내에서 제 위치를 차지하고 있으며 필요에 따라 서로 바꾸면 편리하다.

펑터 pt

이제 모든 로케일에서 포인트 세트를 사용할 수 있으므로, 펑터 pt의 객체 부분을 정의하기 위해 이 세트를 적절한 토폴로지로 장착해야 한다.이는 개방된 pt(L) 세트를 다음과 같이 정의함으로써 이루어진다.

φ(a) = { p ∈ pt(L) p(a) = 1 },

L의 모든 원소에 대하여.여기서 우리는 L의 점을 형태론이라고 보았지만, 물론 다른 모든 동등한 특성화에 대해 유사한 정의를 말할 수 있다.Ω(pt(L) = {φ(a) ∈ L}을 설정하면 위상학적 공간(pt(L), Ω(pt(L))이 실제로 생성된다는 것을 알 수 있다.이 공간을 pt(L)로 축약하는 것이 일반적이다.

마지막으로 pt는 L에서 M까지, pt(g): pt(M) → pt(L)를 pt(p) = p o g로 정의함으로써 오히려 표준적으로 Frm의 형태론에 대해 정의할 수 있다.즉, M에서 2로 맵핑하는 형태론 p를 적용하기 전에 형태론 g를 적용하여 L에서 M으로 얻음으로써 L에서 2(L의 점)까지의 형태론을 얻는다.다시 말하지만, 로케일의 포인트에 대한 다른 설명(예: 계산(p ⁻¹o g)(0))을 사용하여 공식화할 수 있다.

탑과 로크의 연결

앞서 여러 차례 지적했듯이 pt와 Ω은 대개 invers가 아니다.일반적으로 X는 pt(Ω(X)에 대한 동형체도 아니며 L은 Ω(pt)에 대한 동형체도 아니다.단, 위의 pt(L) 위상 도입 시, L에서 Ω(pt(L))까지의 매핑 φ이 적용되었다.이 지도는 실로 틀 형태론이다.반대로 to(x) = Ω(p_x)을 설정하여 X에서 pt(X)까지의 연속 함수 ψ을 정의할 수 있는데, 여기서 p는_x 위에서 설명한 바와 같이 1에서 X까지의 점 x에 대한 특성 함수일 뿐이다.또 다른 편리한 설명은 로케일의 포인트를 메이트 프라임 요소로 보는 것이다.이 경우 ψ(x) = X \ Cl{x}가 표시되는데, 여기서 Cl{x}는 {x} 세트의 위상학적 폐쇄를 나타내며 \는 설정 차이일 뿐이다.

이 시점에서 우리는 이미 원하는 결과를 얻을 수 있을 만큼 충분한 데이터를 가지고 있다: functors Ω과 pt는 Top과 Loc = Frm^op 범주 사이의 연관성을 정의한다. 여기서 pt는 Ω에 오른쪽 정렬이고 자연 변환 ψ과 φ은^op 각각 필요한 단위와 상담을 제공한다.

이중성 정리

위의 부속물은 Top과 Loc(또는 동등하게 Top과 Frm의 이중성) 범주의 동등성이 아니다.이를 위해서는 ψ과 φ 둘 다 각각의 범주에서 이형성일 필요가 있다.

공간 X의 경우, ψ: X → pt(Ω(X))는 만일 그것이 비주사적인 경우에만 동형상이다.오픈 세트 격자의 미팅 프라임 요소를 통한 특성화를 사용하면, 모든 미팅 프라임 오픈 세트가 고유한 x에 대해 X \ Cl{x} 형식인 경우에만, 또는 모든 조인-프라임 닫힘 세트는 분배에 있기 때문에 "조인-프라임"이 (조인) 불가침으로 대체될 수 있는 고유한 포인트의 폐쇄라고 본다.격자 격자이 성질을 가진 공간을 술취라고 부른다.

반대로 로케일 L의 경우, φ: L → Ω(pt(L))은 항상 굴절적이다.a가 b보다 작거나 같지 않은 L의 두 요소를 로케일의 포인트로 공식적으로 분리할 수 있는 경우에만 추가 주입된다.

≤ b가 아닌 경우, p(a) = 1 및 p(b) = 0과 같은 pt(L)에 p점이 있다.

로케일의 모든 요소에 대해 이 조건이 충족되면 로케일이 공간적이거나 포인트가 충분하다고 한다.(더 일반적인 범주의 유사한 조건에 대해서는 잘 지적된 범주를 참조하십시오.)

마지막으로 모든 공간 X, Ω(X)이 공간이고 모든 로케일 L, pt(L)가 정상인지 확인할 수 있다.따라서, 상기의 탑과 로크의 결합은 완전한 하위 범주인 취침 공간의 흐느낌과 공간적 현지의 SLOC의 등가로 제한된다.이 주요 결과는 펑터 pt o Ω의 경우, 각각의 공간을 오픈 세트 격자의 지점으로 보내는 것이 소브에서 탑까지 포함 펑터에 인접하게 남겨져 있다는 관찰에 의해 완료된다.스페이스 X의 경우, pt(Ω(X))를 그 알코올 중독이라고 한다.functor Ω o pt의 경우는 대칭이지만, 이 연산을 위한 특별한 이름은 일반적으로 사용되지 않는다.

참조

• Stanley N. Burris와 H. P. Sankapanavar, 1981.유니버설 대수학 과정.스프링거-베를라크. ISBN3-540-90578-2(해당 웹사이트에서 온라인으로 무료 이용 가능)
• P. T. Johnstone, Stone Spaces, Cambridge University Press, Cambridge University Press, 1982.ISBN 0-521-23893-5.
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
• Vickers, Steven (1989). Topology via logic. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science. Vol. 5. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36062-5. Zbl 0668.54001.
• 추상 스톤 이중성
• Caramello, Olivia (2011). "A topos-theoretic approach to Stone-type dualities". arXiv:1103.3493 [math.CT].