로컬 테이트 이중성

갈루아 코호몰로지(Galois cohomology)에서 국부 테이트 이중성(또는 단순히 국부 이중성)은 비아카이아 지역 분야의 절대 갈루아 그룹을 위한 갈루아 모듈의 이중성이다.처음 그것을 증명했던 존 테이트의 이름을 따서 지은 것이다.그러한 갈루아 모듈의 이중성이 통상적인 선형 이중의 테이트 트위스트임을 보여준다.이 새로운 듀얼은 (로컬)이라고 불린다.테이트 듀얼.

테이트의 현지 오일러 특성 공식과 결합된 국소 이중성은 국소 분야의 갈루아 코호몰리를 계산하기 위한 다용도 도구 세트를 제공한다.

성명서

K를 비아치메이드 지방장으로 하고, K를^s 분리할 수 있는 K의 폐쇄를 나타내며, G_K = Gal(K^s/K)을 K의 절대 갈루아 집단이 되게 한다.

유한모듈의 경우

K에^s 있는 모든 통합의 뿌리의 갈루아 모듈을 μ로 나타낸다.K의 특성에 오더 프라임의 유한한 G-모듈_K A를 주어 A의 테이트 듀얼을 정의한다.

${\displaystyle A^{\premy }=\mathrm {Hom}(A,\mu )}$

(즉, 통상적인 이중 A의^∗ 테이트 트위스트다.)렛ⁱ H(K, A)는 A에 계수가 있는 G의_K 집단 코호몰리를 나타낸다.정리상으로는 페어링이

${\displaystyle H^{i}(K,A)\time H^{2-i}(K,A^{\premium })\오른쪽 화살표 H^{2}(K,\mu )=\mathbf {Q} /\mathbf {Z}}}}}}}$

컵 제품에 의해 주어지는 i = 0, 1, 2에 대한 Hⁱ(K, A)와 H²⁻ⁱ(K, A^′) 사이의 이중성을 설정한다.^[1]G는_K 공생학적 차원이 2와 같기 때문에, 더 높은 공생학 집단은 사라진다.^[2]

p-adic 표현 사례

p를 프라임 넘버로 하자.Q_p(1)는 G의_K p-adic 사이클로토믹 문자(즉, μ의 테이트 모듈)를 나타낸다.G의_K p-adic 표현은 연속적인 표현이다.

${\displaystyle \rho :G_{K}\오른쪽 화살표 \mathrm {GL}(V)}$

여기서 V는 p-adic 번호 Q_p 위에 있는 유한 차원 벡터 공간이며, GL(V)은 V에서 그 자체로 변환 가능한 선형 지도의 그룹을 나타낸다.^[3]V의 테이트 듀얼은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle V^{\premy }=\mathrm {Hom}(V,\mathbf {Q} _{p}(1))}$

(즉, 통상적인 이중^∗ V = Hom(V_p, Q)의 테이트 트위스트다.이 경우 Hⁱ(K, V)는 V에 계수가 있는 G의_K 연속군 코호몰리를 나타낸다.V에 적용된 로컬 테이트 이중성은 컵 제품이 페어링을 유도한다고 말한다.

${\displaystyle H^{i}(K,V)\time H^{2-i}(K,V^{\prime }}\오른쪽 화살표 H^{2}(K,\mathbf {Q}) _{p}(1)=\mathbf {Q}}}}}}}}}}}$

즉, i = 0, 1, 2에 대한ⁱ H(K, V)와²⁻ⁱ H(K, V ′) 사이의 이중성이다.^[4]다시 말하지만, 상위 집단들은 사라진다.

참고 항목

• 글로벌 버전인 테이트 이중성(즉, 글로벌 분야용)

메모들

참조

• Rubin, Karl (2000), Euler systems, Hermann Weyl Lectures, Annals of Mathematics Studies, vol. 147, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05076-8, MR 1749177
• Serre, Jean-Pierre (2002), Galois cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42192-4, MR 1867431, Cohomologie Galoisienne, Springer-Verlag 강의 노트 5 (1964) 번역.