듀얼 콘 및 폴라 콘

듀얼 콘과 폴라 콘은 수학의 한 분야인 볼록 분석에서 밀접하게 연관된 개념이다.

듀얼 콘

벡터 공간에서

선형 공간 X에 있는 부분집합 C의 이중 콘^* C는 실상 위, 예를 들어, 유클리드 공간ⁿ R과 이중 공간^* X가 설정된 것이다.

${\displaystyle C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\angle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}}}$

여기서 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle$ y$,$${\displaystyle x}$$\rangele }$은(는) X와 X^* 사이의 이중성 쌍이다. 즉, $⟨{\displaystyle }$ y${\displaystyle }$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ⟩}$= y${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \langle y,x\rangele =y(x$

C는 항상 볼록한 원뿔이 아니라도^* 볼록한 원뿔이다.

위상 벡터 공간에서

X가 실제 또는 복잡한 숫자에 걸친 위상 벡터 공간인 경우, 부분 집합 C c X의 이중 원뿔은 X에 대한 다음과 같은 연속 선형 함수 집합이다.

${\displaystyle C^{\prime }:=\left\{f\in X^{\prime }:\operatorname {Re} \left(f(x)\right)\geq 0{\text{ for all }}x\in C\right\}}$,^[1]

그것은 세트 -C의 극지방이다.^[1]C가 무엇이든 $′{\$은(는) 볼록콘이 될 것이다$$.만약 C가 {0}이면 $C$는 X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{\prime }=X^{\premy$

힐버트 공간(내부 듀얼 콘)

대안으로, 많은 저자들은 실제 힐버트 공간(유클리드 내부 제품이 장착된 R과ⁿ 같은)의 맥락에서 듀얼 콘을 내부 듀얼 콘이라고 정의한다.

${\displaystyle C_{\text}{*}:\left\{y\in X:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}.}$

C에^* 대해 이 후자의 정의를 사용하면 C가 원뿔일 때 다음과 같은 속성이 유지된다는 것을 알 수 있다.^[2]

• 0이 아닌 벡터 y는 다음 조건이 모두 유지되는 경우에만 C에^* 있다.

1. y는 C를 지원하는 하이퍼플레인 원점에서 정상이다.
2. y와 C는 그 지지 하이퍼플레인의 같은 쪽에 놓여있다.

• C는^* 닫히고 볼록하다.
• ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $C{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ C 1$$ {\$displaystyle C_{$2}^{*}\$subseteq C_{$1}^{*}}}}}}을$$ 암시한다$.$
• C가 비어 있지 않은 인테리어를 가지고 있다면, 즉, C가^* 가리킨다.C*에는 전체 라인이 없다.
• C가 원뿔이고 C의 닫힘이 뾰족하면 C는^* 비어 있지 않은 내부를 갖는다.
• C는^** C를 포함하는 가장 작은 볼록콘의 닫힘이다(초면 분리 정리의 결과).

자기 이중 원추

벡터 스페이스 X의 콘 C는 X가 이 내부 제품에 상대적인 내부 듀얼 콘이 C와 같도록 내부 제품 ⟨⋅,⋅⟩을 장착할 수 있다면 자체 이중화라고 한다.^[3]듀얼 콘을 실제 힐버트 공간에서 내부 듀얼 콘으로 정의한 저자들은 보통 콘이 내부 듀얼과 동일하다면 자체 듀얼이라고 말한다.이는 내적인 제품의 변화를 허용하는 위의 정의와는 약간 다르다.예를 들어, 위의 정의는 내부 제품을 변화시켜 밑면을 구형할 수 있고, R에ⁿ 구면 베이스가 있는 원뿔은 내부 이중과 같기 때문에 타원형 베이스가 있는 R에ⁿ 원뿔을 만든다.

R의ⁿ 음이 아닌 직교와 모든 양의 반피니트 행렬의 공간은 타원형 원추(흔히 "구형 원추", "로렌츠 원추" 또는 때로는 "아이스크림 원추"라고 불림)를 가진 원추와 마찬가지로 자기 이중이다.R의³ 모든 원뿔도 마찬가지인데, 그 기초는 정점 수가 홀수인 일반 다각형의 볼록한 선체인 것이다.덜 규칙적인 예는 R의³ 원뿔인데, 그 밑받침은 "집"이다. 즉 사각형의 볼록한 선체와 사각형의 한쪽 면과 (적절한 높이의) 정삼각형을 이루는 사각형 바깥의 점이다.

폴라콘

X에서 설정된 C의 경우, C의 폴라 콘은 집합이다^[4].

${\displaystyle C^{o}=\왼쪽\{y\in X^{*}:\langle y,x\angle \leq 0\quad \forall x\in C\right\}.}$

극성 원뿔이 이중 원뿔의 음수와 동일하다는 것을 알 수 있다. 즉, C^o = -C^*.

X에서 닫힌 볼록콘 C의 경우, 폴라콘은 C에 대한 폴라 세트와 동일하다.^[5]

참고 항목

• 양극 정리
• 폴라 세트

참조

참고 문헌 목록

• Boltyanski, V. G.; Martini, H.; Soltan, P. (1997). Excursions into combinatorial geometry. New York: Springer. ISBN 3-540-61341-2.
• Goh, C. J.; Yang, X.Q. (2002). Duality in optimization and variational inequalities. London; New York: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27479-6.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Ramm, A.G. (2000). Shivakumar, P.N.; Strauss, A.V. (eds.). Operator theory and its applications. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1990-9.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.