콤팩트 오픈 토폴로지

수학에서 콤팩트 오픈 위상은 두 위상학적 공간 사이의 연속 지도 집합에 정의된 위상이다.콤팩트 오픈 위상은 함수 공간에서 흔히 사용되는 위상 중 하나로 호모토피 이론과 함수 분석에 적용된다.1945년 랄프 폭스에 의해 소개되었다.^[1]

고려 중인 함수의 코도메인이 균일한 구조 또는 미터법을 갖는 경우 콤팩트 오픈 토폴로지는 "컴팩트 세트의 균일한 수렴의 토폴로지"가 된다.즉, 일련의 기능은 도메인의 모든 콤팩트 서브셋에서 균일하게 수렴될 때 정밀하게 콤팩트 오픈 토폴로지로 수렴된다.^[2]

정의

$X$ 와 $Y$ 를 두 개의 위상학적 공간으로 $하고$ , C $(X,$ Y $)$ 는 $X$ 와 Y 사이의 모든 연속적 지도의 집합을 나타내도록 한다.Given a compact subset $K$ of $X$ and an open subset $U$ of $Y$ , let $V (K, U)$ denote the set of all functions $f \in C (X, Y)$ such that $f (K) \subseteq U .$ Then the collection of all such $V (K, U)$ is a subbase for the compact-open topology on $C (X, Y)$ . (This collection does not always form a base for a topology on $C (X, Y)$ .)

콤팩트하게 생성된 공간의 범주에서 작업할 때는 콤팩트한 하우스도르프 공간의 이미지인 $K$ 로부터 형성된 서브베이스로 제한하여 이 정의를 수정하는 것이 일반적이다.물론 $X$ 가 콤팩트하게 생성되고 하우스도르프가 되면 이 정의는 이전의 정의와 일치한다.그러나, 다른 유용한 특성들 중에서 압축적으로 생성된 취약한 하우스도르프 공간의 편리한 범주를 데카르트 폐쇄로 하고 싶다면 수정된 정의가 중요하다.^[3]^[4]^[5]이 정의와 위의 정의 사이의 혼동은 콤팩트라는 단어의 용법이 달라서 발생한다.

특성.

$*$ 가 1점 공간인 경우, $C (*,$ $Y)$ 와 $Y$ 를 구별할 수 있으며, 이 식별 하에서 콤팩트-오픈 $위상$ 은 Y의 위상과 일치한다.보다 일반적으로 $X$ 가 별개의 공간인 경우, $C (X,$ $Y)$ 는 $Y$ 의 X 복사본의 데카르트 제품으로 식별할 수 있고 콤팩트 오픈 위상은 제품 위상과 일치한다.
$Y$ 가 $T 0$ , $T 1$ , Hausdorff, 정규 또는 Tychonoff인 경우, 콤팩트 오픈 위상은 해당 분리 공리를 가진다.
$X$ 가 Hausdorff이고 $S$ 가 $Y$ 의 서브베이스라면, 수집 { $V (K,$ $U)$ : $U$ ∈ $S,$ $K$ $compact}$ 은 $C (X,$ $Y$ )의 컴팩트 오픈 토폴로지를 위한 서브베이스다 $.$ ^[6]
$Y$ 가 미터법 공간(또는 더 일반적으로 균일한 공간)인 경우, 콤팩트-오픈 토폴로지는 콤팩트 컨버전스의 토폴로지와 동일하다.즉 $Y$ 가 미터법 공간인 경우, $X$ 의 모든 콤팩트 부분 집합 $K$ 에 대해 { $f n n$ }이(가) 균일하게 $F$ 에 수렴되는 경우에만 콤팩트 오픈 토폴로지에서 { f } 시퀀스가 $f$ 로 수렴된다. $X$ 가 콤팩트하고 $Y$ 가 균일한 공간이라면 콤팩트-오픈 위상은 균일한 수렴의 위상과 같다.
If $X, Y$ and $Z$ are topological spaces, with $Y$ locally compact Hausdorff (or even just locally compact preregular), then the composition map $C (Y, Z) \times C (X, Y) \to C (X, Z),$ given by $(f, g) \mapsto f \circ g,$ is continuous (here all the function spaces are given the compact-open topology and $C (Y, Z) \times C (X, Y)$ is given the product topology).
$X$ 가 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프(또는 사전정규) 공간인 경우 $e (f$ , $x)$ = $f(x)$ 로 정의된 $평가$ 맵 e : $C (X,$ Y) $\times$ X → $Y$ 는 연속적이다. $이$ 는 X가 원포인트 공간인 위의 특수한 사례로 볼 수 있다.
$X$ 가 컴팩트하고 $Y$ 가 메트릭 $d$ 를 가진 메트릭 공간인 경우 $C$ ( $X,$ Y $)$ 의 컴팩트 오픈 토폴로지를 측정할 수 있으며, 그에 대한 메트릭은 $e (f$ , $g)$ = $sup {d (f$ ( $x),$ $g (x)$ : X $in$ $X},$ $C (X,$ $Y$ )에서 $f$ , $g$ 에 대해 주어진다 $.$

적용들

컴팩트 오픈 토폴로지를 사용하여 다음 세트를 토폴로지로 만들 수 있다.^[7]

${\displaystyle \Oomega (X,x_{0}}=\f:$ $I\to X:f(0)=f(1)=x_{0}\}},$ x $X$ $x_{0}$ ${\$ 에 있는 $X$ $X$ 의 루프 공간 $x_{0}$
${\displaystyle E(X,x_{0},x_{1}}=\{f:$ $I\to X:f(0)=x_{0}{\text$ {{} $및$ $}f(1)=x_{1$
$displaystyle E(X,x_{0}}=\{f:$ $I\to$ X $:f(0)=x_{0$

$C(\Sigma X,Y)\cong C(X,\Omega Y)$ 공간 $C(\Sigma X,Y)\cong C(X,\Omega Y)$ ( $C(\Sigma X,Y)\cong C(X,\Omega Y)$ $C(\Sigma X,Y)\cong C(X,\Omega Y)$ , Y ) $C(\Sigma X,Y)\cong C(X,\Omega Y)$ $C(\Sigma X,Y)\cong C(X,\Omega Y)$ ( X $C(\Sigma X,Y)\cong C(X,\Omega Y)$ , $C(\Sigma X,Y)\cong C(X,\Omega Y)$ Y ) ${\displaystyle$ C $(\Sigma$ X $,Y)\cong$ C $(X,\Oomega$ Y $)}$ 사이에 호모토피 동등성이 있다 $C(\Sigma X,Y)\cong C(X,\Omega Y)$ ^[7]이러한 위상학적 공간인 $C(X,Y)$ , Y $){\displaystyle C(X,Y)}$ 는 위상학적 공간과 지도 집합의 호모토피 유형의 모델을 형성하는 데 사용될 수 있기 때문에 호모토피 이론에 유용하다 $C(X,Y)$ .

\pi(X,Y)=\{[f]:X\to Y f{\text{는 호모토피 클래스}\}}

$\pi (X,Y)$ ( $\pi (X,Y)$ , $\pi (X,Y)$ ) $\pi (X,Y)$ 이( $C(X,Y)$ ) C $C(X,Y)$ $){\displaystyle C(X,Y$ 의 경로 구성요소 $\pi (X,Y)$ 집합, 즉 집합의 이형성이 있기 때문이다.

\pi(X,Y)\to C(I,C(X,Y))/\sim

여기서 $\sim$ ~ $\sim$ 은 $\sim$ (는) 호모토피 동등성.

프레셰의 상이한 기능

$X$ 와 $Y$ 는 동일한 필드에 걸쳐 정의된 두 개의 바나흐 공간이며, $C m$ ( $U,$ $Y)는$ 개방형 서브셋 $U$ ⊆ $X$ 에서 $Y$ 까지의 모든 m-지속적으로 Frechet-differentable 함수의 집합을 나타내도록 한다.콤팩트 오픈 위상은 세미노름에 의해 유도된 초기 위상이다.

p_{K}(f)=\suppleft\{\\left\{j}f(x)\right\\\\\\in K,0\leq j\leq m\right\}}}}}

여기서 D $f 0$ ( $x)$ = $f$ ( $x),$ 각 콤팩트 $서브셋$ K $u$ U에 대해.^{[clarification needed]}

참고 항목

참조

^ Fox, Ralph H. (1945). "On topologies for function spaces". Bulletin of the American Mathematical Society. 51 (6): 429–433. doi:10.1090/S0002-9904-1945-08370-0.
^ Kelley, John L. (1975). General topology. Springer-Verlag. p. 230.
^ McCord, M. C. (1969). "Classifying Spaces and Infinite Symmetric Products". Transactions of the American Mathematical Society. 146: 273–298. doi:10.1090/S0002-9947-1969-0251719-4. JSTOR 1995173.
^ "A Concise Course in Algebraic Topology" (PDF).
^ "Compactly Generated Spaces" (PDF).
^ Jackson, James R. (1952). "Spaces of Mappings on Topological Products with Applications to Homotopy Theory" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 3 (2): 327–333. doi:10.1090/S0002-9939-1952-0047322-4. JSTOR 2032279.
^ ^a ^b Fomenko, Anatoly; Fuchs, Dmitry. Homotopical Topology (2nd ed.). pp. 20–23.

Dugundji, J. (1966). Topology. Allyn and Becon. ASIN B000KWE22K.
O.Ya. Viro, O.A.이바노프, V.M. 칼라모프, N.Yu. Netsvetaev(2007) 초등 위상 문제 교과서.
"Compact-open topology". PlanetMath.
위상 및 조로이드 섹션 5.9 Ronald Brown, 2006

[1] Fox, Ralph H. (1945). "On topologies for function spaces". Bulletin of the American Mathematical Society. 51 (6): 429–433. doi:10.1090/S0002-9904-1945-08370-0.

[2] Kelley, John L. (1975). General topology. Springer-Verlag. p. 230.

[3] McCord, M. C. (1969). "Classifying Spaces and Infinite Symmetric Products". Transactions of the American Mathematical Society. 146: 273–298. doi:10.1090/S0002-9947-1969-0251719-4. JSTOR 1995173.

[4] "A Concise Course in Algebraic Topology" (PDF).

[5] "Compactly Generated Spaces" (PDF).

[6] Jackson, James R. (1952). "Spaces of Mappings on Topological Products with Applications to Homotopy Theory" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 3 (2): 327–333. doi:10.1090/S0002-9939-1952-0047322-4. JSTOR 2032279.

[:0-7] Fomenko, Anatoly; Fuchs, Dmitry. Homotopical Topology (2nd ed.). pp. 20–23.

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