파생분류

수학에서 아벨 범주 A의 파생 범주 D(A)는 A에 정의된 파생 펑커 이론을 단순화하기 위해 정련하고 어떤 의미에서 도입된 호몰로지 대수학의 구성이다.공사는 A에서 D(A)의 대상이 체인단지가 되어야 한다는 것을 근거로 진행되는데, 체인단지의 동질성 수준에서 이형성을 유도하는 체인지도가 있을 때 그러한 두 개의 체인단지가 이형성으로 간주된다.파생 펑터는 하이퍼코호몰로지 개념을 정제하면서 체인 콤플렉스에 대해 정의될 수 있다.정의는 복잡한 스펙트럼 시퀀스에 의해 달리 기술되지 않은 공식(완전히 충실하게는 아님)을 상당히 단순화시킨다.null

1960년 직후 알렉산더 그로텐디크와 그의 제자인 장 루이 베르디에에에 의해 파생된 범주의 발전은 이제 현저한 발전을 이룬 10년 전인 1950년대에 동질대수의 폭발적 발전에 하나의 종착점으로 나타난다.베르디에의 기본 이론은 그의 논문에 기록되어, 마침내 1996년에 아스테리스케에 발표되었다(일찍 SGA 4½에 요약본이 나타났었다).공리학은 혁신, 즉 삼각형 범주의 개념을 필요로 했으며, 건설은 범주의 국산화, 즉 링의 국산화 일반화에 기초하고 있다."원래 파생된" 형식주의를 발전시키고자 하는 본래의 충동은 그로텐디크의 일관성 있는 이중성 이론의 적절한 제형을 찾아야 한다는 필요성에서 비롯되었다.파생 범주는 그 이후 D-모듈 이론과 마이크로 국소 분석 이론의 공식화에서와 같이 대수 기하학 외부에서도 필수불가결한 것이 되었다.최근 파생된 범주는 또한 D-브란과 거울 대칭과 같이 물리학에 가까운 영역에서도 중요해졌다.null

동기부여

일관성 있는 셰이프 이론에서, 세레 이중성으로 할 수 있는 것을 비노래적 계략의 가정 없이 한계까지 밀어붙이면서, 단일 이중화 셰이프 대신에 전체 콤플렉스의 셰이브를 취할 필요성이 명백해졌다.사실, 코헨-맥컬레이 링 조건, 즉 비음향성의 약화는 단일 이중화 피복의 존재에 해당하며, 이는 일반적인 경우와는 거리가 멀다.항상 그로텐디크가 가정한 하향식 지적 위치에서, 이것은 개혁할 필요성을 나타낸다.'진짜' 텐서 제품과 Hom functors는 파생된 레벨에 존재하는 것들이라는 생각을 갖게 되었고, 그것들에 관해서 Tor와 Ext는 컴퓨터 장치에 더 가까워지게 되었다.null

추상화의 수준에도 불구하고, 파생된 범주는 다음 수십 년 동안, 특히 피복 코호몰리를 위한 편리한 환경으로 받아들여졌다.아마도 가장 큰 발전은 1980년경, 파생된 용어로 1보다 큰 리만-힐버트 통신의 공식화일 것이다.사토 학파는 파생 범주의 언어를 채택했고, 이후 D-모듈의 역사는 그러한 용어로 표현된 이론이었다.null

병행 발전은 호모토피 이론에서 스펙트럼의 범주였다.스펙트럼의 호모토피 범주와 링의 파생 범주는 모두 삼각형 범주의 예다.null

정의

$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 아벨의 범주로 한다$$. (예를 들어 링 위의 모듈 범주와 위상학적 공간에 있는 아벨의 그룹 껍질 범주가 포함된다.)The derived category ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ is defined by a universal property with respect to the category ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ of cochain complexes with terms in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. The objects of ${\displaystyl$$e \operatorname {Kom}({\mathcal {A})$ 형식$$

${\displaystyle \cdots \to X^{-1}\x오른쪽 화살표 {d^{0}\x^{d^{0}}X^{1}\x오른쪽 화살표 {d^{1}{1}}X^{{1} X^{2}\cdots,}$

여기서 각 X는ⁱ $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 대상이며$$, 합성물 $d{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$는 0이다$$.The ith cohomology group of the complex is ${\displaystyle H^{i}(X^{\bullet })=\operatorname {ker} d^{i}/\operatorname {im} d^{i-1}}$. If ${\displaystyle (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })}$ and ${\displaystyle (Y^{\bullet }$$,d_{Y}^{\bullet })}$ are two objects in this category, then a morphism ${\displaystyle f^{\bullet }\colon (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })\to (Y^{\bullet },d_{$$Y}^{\bullet })}$ is defined to be a family of morphisms ${\displaystyle f_{i}\colon X^{i}\to Y^{i}}$ such that ${\displaystyle f_{i+1}\circ d_{X}^{i}=d_{$$Y}^{i}\circ f_{i}}$. Such a morphism induces morphisms on cohomology groups ${\displaystyle H^{i}(f^{\bullet })\colon H^{i}(X^{\bullet })\to H^{i}(Y^{\bullet })}$, and ${\displaystyle f^{\bullet }}$ is called a quasi-isomorphism if each of these morphisms is an is$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 전형성$.$

파생 범주의 보편적 특성은 준 이형성에 관한 단지 범주의 국산화라는 것이다.Specifically, the derived category ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ is a category, together with a functor ${\displaystyle Q\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to D({\mathcal {A}})}$, having the following universal property:Suppose ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ is another category (not necessarily abelian) and ${\displaystyle F\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to {\mathcal {C}}}$ is a functor such that, whenever ${\displaystyle f^{\bullet }}$ is a quasi-isomorphism in ${\dis$$playstyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$, its image ${\displaystyle F(f^{\bullet })}$ is an isomorphism in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$; then ${\displaystyle F}$ factors through ${\displaystyle Q}$. Any two categories having this universal property are equivalent.null

호모토피 범주와의 관계

If ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle g}$ are two morphisms ${\displaystyle X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ in ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$, then a chain homotopy or simply homotopy ${\displaystyle h\colon f\to g}$ is a collection of morphisms ${\displaystyle i^{}}$: ${\displaystyle X^{}}$ i${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {Yi}^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ h$^{i}\colon$ X$^{i}\$colon X^{i}\$to Y^-$1}:{$i-1$}:{i-1$}:{$n2}}: f$$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{d}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- 1 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle h^{}}$+ ${\displaystyle h^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\$$Y}^{i-1}\circ h^{i}+h^{i+1}{i$+1}\$circ d_{X$}^{i}}}{i$}}}}$ 모든 i에 대해$$.두 개의 동음이의 형태론이 코호몰로지 그룹에서 동일한 형태론을 유도한다는 것을 보여주는 것은 간단하다.We say that ${\displaystyle f\colon X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ is a chain homotopy equivalence if there exists ${\displaystyle g\colon Y^{\bullet }\to X^{\bullet }}$ such that ${\displaystyle g\circ f}$ and ${\displaystyle f\circ g}$ are chain homotopic to the identity 형태는 각각 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ ${\$과 $Y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ ${\$ Y$^{\bullet }}$이다$.$${\displaystyle 코체인\mathcal{}}$ 콤플렉스 $K{\displaystyle }$( A${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ K$({\mathcal{A})}$는 ${\displaystyle Kom\mathcal{}}$ ${\displaystyle }$ ( A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Kom}({\mathcal{A})}}}$과 객체가 같지만$$, 형태는 체인 호모토피 동등성 관계에 관한 콤플렉스 형태 형태론의 동등성 등급이다.천연 펑터 ${\displaystyle 콤(A}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle K(A)}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom}({\mathcal{A})\to K({\mathcal{A}})$가 있는데$$, 이는 물체의 정체성이며 각각의 형태론을 체인 호모토피 동등성 등급으로 보낸다.모든 체인 호모토피 동등성은 준 이형성이기 때문에 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$ 인자는$$ 이 functor를 통해 이루어진다.결과적으로 $D{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle D({\mathcal{A})}$는 호모토피 범주의 국산화로도 잘 볼 수 있다$$.null

모델 카테고리의 관점에서 파생 카테고리 D(A)는 단지 카테고리의 진정한 '호모토피 카테고리'인 반면, K(A)는 '네이브 호모토피 카테고리'라고 불릴 수 있다.null

파생 범주 구성

파생 범주의 구성에는 몇 가지 가능성이 있다.$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 작은 범주인$$ 경우, 준 이형성 반대편에 공식적으로 결합하여 파생 범주를 직접 구성한다.이것은 발전기와 관계에 의한 범주의 일반적인 구성의 예다.^[1]null

$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 큰 범주인$$ 경우 이 구성은 설정된 이론적 이유로 작동하지 않는다.이 구조는 경로의 균등성 등급으로서 형태론을 구축한다.$만약{\displaystyle \mathcal{}}$ A ${\${\$mathcal{A}}$이(가) 모두 이형인 개체의 적절한 클래스를 가지고$$ 있다면 이 두 개체 사이에 적절한 클래스의 경로가 있는 것이다.그러므로 발전기와 관계구조는 두 물체 사이의 형태들이 적절한 부류를 형성한다는 것만을 보장한다.그러나 범주 내 두 물체 사이의 형태는 일반적으로 설정되어야 하므로 이 구조는 실제 범주를 생성하지 못한다.null

그러나 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 작을 때에도 발전기와 관계에 의한 구성은 일반적으로 구조가 불투명한 범주로 귀결되는데, 여기서 형태론은 불가사의한 동등성 관계에 따라 임의로 긴 경로가 된다.이 때문에 정해진 이론이 문제가 되지 않을 때도 파생된 범주를 보다 구체적으로 구성하는 것이 관례다.null

이 다른 건축물은 호모토피 카테고리를 거친다.$K{\displaystyle }$( $){\displaystyle K({\mathcal{A})}$의 준 이형체 집합은 승법계를 형성한다$$.복잡한 경로를 단순한 경로로 다시 쓸 수 있는 조건들의 집합이다.가브리엘-지스만 정리는 승법계에서의 국산화(localization)가 지붕의 관점에서 단순하게 묘사되어 있음을 암시한다.^[2]A morphism ${\displaystyle X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ in ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ may be described as a pair ${\displaystyle (s,f)}$, where for some complex ${\displaystyle Z^{\bullet }}$, ${\displaystyle s\colon Z^{\bullet }\to X^{\b$$ullet }$은 ${\displaystyle {}^{}}$이고 ${\displaystyle {}^{}}$: Z ${\displaystyle {\bullet }^{}}$→ Y ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ $[\$ Y$^{\bullet }}}}}}}}}$은 형태성의 체인 호모토피 동등성 등급이다$$.개념적으로 이것은 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \circ }$ s${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ s$^{-1}$를 나타낸다$.$ 두 지붕은 공통의 오버루프를 가지고 있다면 동등하다.null

형태론의 사슬을 지붕으로 대체하는 것 또한 큰 범주의 파생 범주에 관련된 설정-이론적 문제의 해결을 가능하게 한다.Fix a complex ${\displaystyle X^{\bullet }}$ and consider the category ${\displaystyle I_{X^{\bullet }}}$ whose objects are quasi-isomorphisms in ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ with codomain ${\displaystyle X^{\bullet }}$ and whose morphisms are commutative diagrams.동등하게, 이것은 구조 지도가 준 이형성인$$ $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ ${\$ X$^{\bullet }}$ 이상의 물체의 범주다.그렇다면 승법계 조건은 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ ${\$에서 $Y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ ${\$ Y$^{\bullet }$까지 D${\displaystyle }$($){\displaystyle$ $D$$({\mathcal{A}}}}}})$의 형태는$$ 다음과 같은 것을 의미한다.

$\displaystyle \varinjlim _{I_{X^{\bullet }}\operatorname {Hom} _{K({\mathcal{A})}}(X')^{\bullet }},Y^{\bullet }),}$

이 콜리미트가 사실 세트라고 가정할 때$I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X{}^{}}_{}}$ $∙{\$은(는) 잠재적으로 큰 범주인 반면$$, 경우에 따라서는 작은 범주에 의해 제어된다.예를 들어 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 그로텐디크 아벨 범주(AB5를 만족하고 발전기 집합을 가지고 있다는 의미)인$$ 경우, 본질적인 요점은 경계 카디널리티의 객체만 관련이 있다는 것이다.^[3]이 경우, 한계는 작은 하위 범주에 걸쳐 계산될 수 있으며, 이는 결과가 세트임을 보장한다.$그런{\displaystyle }$ 다음 D${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle D({\mathcal {A})}$을(를) 정의하여 ${\displaystyle \mathrm{이러한}}$집합을 홈 {\$displaystyle \operatorname$ {$Hom}}$ 집합으로$$ 만들 수 있다$$.null

호모토피 범주의 형태론에 의해 파생 범주의 형태론을 대체하는 것에 근거한 다른 접근법이 있다.코도메인이 주입 대상의 복합체 아래에 경계로 있는 파생 범주의 형태주의는 호모토피 범주에서 이 복합체에 대한 형태론과 동일하다. 이는 용어 주입성에서 따온 것이다.용어의 주입도를 더 강한 조건으로 대체함으로써, 한이 없는 단지에도 적용되는 유사한 특성을 갖게 된다.A complex ${\displaystyle I^{\bullet }}$ is K-injective if, for every acyclic complex ${\displaystyle X^{\bullet }}$, we have ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}(X^{\bullet },I^{\bullet })=0}$. A straightforward consequence of this is that, forevery complex ${\displaystyle X^{\bullet }}$, morphisms ${\displaystyle X^{\bullet }\to I^{\bullet }}$ in ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ are the same as such morphisms in ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$. A theorem of Serpé, generalizing work of Grothendieck and of스팔텐슈타인은 그로텐디크 아벨의 범주에서 모든 콤플렉스는 주입 용어가 있는 K-주사적 콤플렉스에 준 이형성적이며, 더욱이 이것은 functorial이라고 주장한다.^[4]특히 호모토피 범주에서 K-주사적 분해능과 계산 형태에 전달하여 파생 범주에 형태론을 정의할 수 있다.세르페의 건축의 우스꽝스러움은 형태론의 구성이 잘 정의되어 있음을 보장한다.지붕을 이용한 구조와 마찬가지로, 이 구조는 파생 범주에 적합한 세트 이론적 특성도 보장하는데, 이는 이 특성들이 호모토피 범주에 의해 이미 충족되기 때문이다.null

파생 홈 세트

앞에서 언급한 바와 같이, 파생 범주에서 홈 세트는 지붕이나 $계곡{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$→ Y → ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \leftarrow }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\오른쪽$ 화살표 Y$'\왼쪽$ 화살표 $Y}$을 통해 표현된다$.$ 여기서 ${\displaystyle {}^{}}$→ Y ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ Y$\to$ Y$'}$는 준 이형성이다.원소의 모양을 더 잘 파악하려면 정확한 순서를 고려하십시오.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{n}{\overset {\phi _{n,n-1}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{n-1}{\overset {\phi _{n-1,n-2}}{\rightarrow }}\cdots {\overset {\phi _{1,0}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{0}\to 0}$

이것을 이용하여 위의 콤플렉스를 잘라내고 옮겨서 위의 분명한$$ 모피즘을 이용하여 모피즘${\displaystyle }\varphi {\displaystyle }$ : ${\displaystyle E_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle 0_{}{}_{}}$→ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$[${\displaystyle }$+${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{n}}$-${\displaystyle }$1 ) ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \pi :{\mathcal{E}_{0}\to {\mathcal{E}{n}[+-1)}}}}}$을 구성할 수 있다.특히, 우리는 사진을 가지고 있다.

${\displaystyle{\begin{행렬}0&, \to&{{E\mathcal}}_{n}&, \to&0&,\to&\cdots &, \to&0&,\to&0\\\uparrow&&\uparrow&&\uparrow&&\cdots &,&\uparrow&&\uparrow \\0&, \to&{{E\mathcal}}_{n}&, \to&{{E\mathcal}}_{n-1}&, \to&\cdots &, \to&{{E\mathcal}.}_{1}&, \to&0\\\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\cdots &,&\downarrow&&\downarrow \\0&, \to&0&,\to&0&,\to&\cd.ots &\to &{{\mathcal{E}_{0}\to &0\end{matrix}}}$

where the bottom complex has ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$ concentrated in degree ${\displaystyle 0}$, the only non-trivial upward arrow is the equality morphism, and the only-nontrivial downward arrow is ${\displaystyle \phi _{1,0}:{\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0$$\}\}\}\}.$ 복합체의 이 도표는 형태론을 정의한다.

${\displaystyle \phi \in \mathbf {RHOM}({\mathcal {E}_{0},{\mathcal {E}_{n}[+(n-1)])}}}$

파생 범주에 속하는이 관찰의 한 가지 적용은 아티야급 건설이다.^[5]null

언급

For certain purposes (see below) one uses bounded-below (${\displaystyle X^{n}=0}$ for ${\displaystyle n\ll 0}$), bounded-above (${\displaystyle X^{n}=0}$ for ${\displaystyle n\gg 0}$) or bounded (${\displaystyle X^{n}=0}$ for ${\displaystyle n \gg 0}$$$)은 한없는 콤플렉스 대신 콤플렉스.해당 파생 범주는 일반적으로 각각⁺ D(A), D⁻(A), D^b(A)로 표시된다.null

만약 어떤 사람이 한 개체에서 다른 개체로(계급만이 아닌) 형태론의 집합이 있다는 범주에 대한 고전적 관점을 채택한다면, 이것을 증명하기 위해 추가적인 논거를 제시해야 한다.예를 들어, 아벨 범주 A가 작을 경우, 즉 개체 집합만 있다면, 이 문제는 문제가 되지 않을 것이다.또한 A가 그로텐디크 아벨 범주인 경우 파생 범주 D(A)는 호모토피 범주 K(A)의 완전한 하위 범주와 동일하므로 한 개체에서 다른 개체로의 형태 집합만 가진다.^[6]그로텐디크 아벨리아 범주에는 고리 위에 놓인 모듈의 범주, 위상학적 공간에 있는 아벨리아 그룹의 집단 범주, 그리고 많은 다른 예들이 포함된다.null

파생 범주에서 형태론, 즉 지붕의 구성은 구성할 두 지붕 위에 있는 세 번째 지붕을 발견함으로써 이루어진다.이것이 가능한지, 그리고 잘 정립된 연상작용을 주는지를 확인할 수 있다.null

K(A)는 삼각형 범주여서 국산화 D(A)도 삼각형이다.정수 n과 복합 X의 경우 복합 X[n]가 n으로 아래로 이동하도록 정의한다^[7].

${\displaystyle X[n]^{i}=X^{n+i}}$

차등적으로

${\displaystyle d_{X[n]}=(-1)^{n}d_{X}.}$

정의상 D(A)의 구분 삼각형은 일부 복합체 f: X → Y의 지도에 대해 D(A)에서 삼각형 X → Y → 원추(f) → X[1]에 이형화된 삼각형이다.여기서 원뿔(f)은 f의 매핑 원뿔을 나타낸다.특히, 정확한 순서는

${\displaystyle 0\오른쪽 화살표 X\오른쪽 화살표 Y\오른쪽 화살표 Z\오른쪽 화살표 0}$

A에서는 삼각형 X → Y → Z → X[1]를 D(A)로 구분한다.베르디에르는 X[1]를 형태론 X → 0의 원뿔로 요구함으로써 X[1]의 정의를 강요한다고 설명했다.^[8]

A의 대상을 0도에 집중된 콤플렉스로 보아 파생 범주 D(A)는 A를 완전한 하위 범주로 포함한다.파생 범주의 형태론에는 모든 Ext 그룹에 대한 정보가 포함된다. A의 모든 개체 X와 Y와 정수 j,

${\displaystyle {\text{홈}_{D({\mathcal{A})}(X,Y[j])={\text{Ext}_{\mathcal{A}^{j}(X,Y)}$

투영 및 주입 분해능

호모토피 동등성이 준이형성임을 쉽게 보여줄 수 있으므로 위의 구성에서 두 번째 단계가 생략될 수도 있다.정의는 통상 이런 식으로 주어지는데, 그것은 표준적인 펑터의 존재를 드러내기 때문이다.

${\displaystyle K({\mathcal {A})\오른쪽 화살표 D({\mathcal {A}).}$

구체적인 상황에서는 파생 범주의 형태론을 직접 다루는 것이 매우 어렵거나 불가능하다.따라서 파생 범주와 동등한 관리 가능한 범주를 찾는다.고전적으로, 이에 대한 두 가지 접근방식이 있다: 투영적 해결과 주입적 해결이다.두 경우 모두 위의 표준 펑터를 적절한 하위 범주로 제한하는 것은 범주의 동등성이 될 것이다.null

다음에서는 오른쪽 파생 펑터를 정의하기 위한 기초가 되는 파생 범주의 맥락에서 주입 분해능의 역할을 설명할 것이며, 이는 위상학적 공간 상의 피복 공동 호몰로지 또는 에테일 코호몰로지 또는 그룹 코호몰로지 같은 보다 진보된 코호몰로지 이론에 중요한 응용이 된다.null

이 기법을 적용하기 위해서는 문제의 아벨리아 범주에 충분한 주입이 있다고 가정해야 하는데, 이는 범주의 모든 물체 X가 주입 대상 I에 대해 단형성을 인정한다는 것을 의미한다.(지도나 주입 대상 중 어느 것도 고유하게 지정되어야 한다.예를 들어, 모든 그로텐디크 아벨 범주에는 충분한 주입물이 있다.X를 어떤 주입 물체 I에⁰ 내장하고, 이 지도의 코커넬을 어떤 주입물 I 등에¹ 내장하면, X의 주입 분해능 즉, 정확한 (일반적으로 무한) 시퀀스를 구성한다.

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots,\,}$

여기서 I*는 주입 물체 입니다.이 아이디어는 충분히 작은 n에 대해ⁿ X = 0 아래의 경계 콤플렉스에 대한 해결책을 주기 위해 일반화된다.위에서 언급한 바와 같이 주입 분해능은 고유하게 정의되지 않지만, 어떤 두 가지 분해능이 서로 동등한 호모토피, 즉 호모토피 범주에서 이형성인 것은 사실이다.더욱이, 복합체의 형태는 두 개의 주어진 주입 분해능의 형태론까지 독특하게 확장된다.null

호모토피 범주가 다시 작동되는 지점: A의 객체 X를 A의 (임의) 주입 분해능 I*에 매핑하는 것은 펑터(functor)에 확장된다.

${\displaystyle D^{+}({\mathcal {A})\오른쪽 화살표 K^{+}(\mathrm {Inj}({\mathcal {A})}}}$

파생된 범주 아래의 경계에서 A의 주입 대상인 복합체의 호모토피 범주 아래의 경계 범주에 이르기까지.null

이 펑터가 사실 처음에 언급된 표준 국산화 펑터의 제한과 반비례한다고 보는 것은 어렵지 않다.즉, 파생 범주의 형태론 Hom(X,Y)은 X와 Y를 모두 해결하고 호모토피 범주의 형태론을 계산하여 계산할 수 있는데, 적어도 이론적으로는 더 쉽다.실제로 Y: 모든 복잡한 X 및 인젝터의 복잡한 Y 이하에 대한 해결은 충분하다.

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D(A)}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{K(A)}(X,Y).}$

한 달에 한 번, A가 충분한 투영력을 가지고 있다고 가정하면, 즉 모든 대상 X에 투영 객체 P에서 X까지의 경시성이 존재한다고 가정하면, 주입형 해상도 대신 투영형 해상도를 사용할 수 있다.null

이러한 해상도 기법 외에도 특수한 경우에 적용되는 유사한 기법들이 있으며, 경계선상 또는 -아래 제한으로 문제를 우아하게 회피하는 스팔텐슈타인(1988)은 소위 K-삽입적 해상도와 K-프로젝티브 해상도를 사용하며, 5월(2006년)과 (조금 다른 언어로) 켈러(1994)는 셀-모듈이라고 부르는 것을 도입하였다.각각 es 및 세미프리 모듈.null

보다 일반적으로 정의를 신중하게 적용하면 정확한 범주의 파생 범주를 정의할 수 있다(Keller 1996).null

파생 펑커와의 관계

파생 범주는 파생 펑터를 정의하고 연구하기 위한 자연스러운 프레임워크다.다음에서 F: A → B를 아벨 범주들의 functor가 되게 한다.두 가지 이중 개념이 있다.

• 오른쪽 파생 펑커는 왼쪽 정확한 펑커에서 나오며 주입 분해능을 통해 계산된다.
• 왼쪽에서 파생된 funct funct functors에서 나왔으며 투영적 분해능을 통해 계산된다.

다음에서 우리는 오른쪽 파생 펑터를 설명할 것이다.따라서 F가 정확히 남아 있다고 가정해 보자.대표적인 예로 F: A → Ab가 일부 고정 객체 A에 대해 X ↦ Hom(X, A) 또는 X ↦ Hom(A, X)에 의해 주어지거나, 셰이브 또는 직접 영상 펑터의 전역 섹션 펑터가 있다.이들의 오른쪽 파생 펑커는 각각 Extⁿ(–,A), Extⁿ(A,–), Hⁿ(X, F) 또는 Rfⁿ_∗(F)이다.null

파생 범주는 모든 파생 펑터 RF를ⁿ 하나의 펑터, 즉 소위 총 파생 펑터 RF: D⁺(A) → D⁺(B)로 캡슐화할 수 있도록 한다.D⁺(A) ≅ K⁺(Inj(A) → K⁺(B) → D⁺(B)로, 여기서 범주의 첫 번째 등가성이 기술된다.고전적인 파생 펑커는 RFⁿ(X) = Hⁿ(RF(X))를 통한 총 펑커와 관련이 있다.RF가ⁿ 체인 콤플렉스를 잊어버리고 코호몰로지만 유지하는 반면, RF는 콤플렉스를 추적한다고 말할 수 있다.null

파생된 범주는 어떤 의미에서 이러한 펑커를 연구하기 위한 "적당한" 장소다.예를 들어, 두 개의 펑커로 구성된 구성의 그로텐디크 스펙트럼 시퀀스

${\displaystyle {\mathcal {A}{\stackrel {F}{\rightarrow{B}{\stackrel {G}{\rightarrow}}}{\mathcal {C},\,}$

F 맵이 A에서 G-acyclicks(즉, 모든 i > 0과 주입 I에 대해 RGⁱ(F(I) = 0))의 주입 물체를 나타내는 것은 총 유도 펑커의 다음과 같은 정체성의 표현이다.

R(G∘F) ≅ RG∘RF.

J.-L. Verdier는 아벨리아 범주 A와 관련된 파생 펑커를 적절한 파생 범주[Mac Lane]에 A를 내장하면서 Kan 확장자로 볼 수 있는 방법을 보여주었다.null

파생등가성

두 아벨 범주 A와 B가 동등하지 않을 수도 있지만, 파생 범주 D(A)와 D(B)는 동등하다.종종 이것은 A와 B의 흥미로운 관계다.그러한 동등성은 삼각형 범주의 t구조 이론과 관련이 있다.여기 몇 가지 예가 있다.^[9]null

• $C{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle \mathrm{h}}$( ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \mathrm {Coh}(\mathb {P} ^1})$를 필드 k에 걸쳐 투사선에 있는 일관성 있는 조각의 아벨리안 범주가 되도록$$ 한다.K-Rep은₂ 두 개의 정점을 가진 크로네커 떨림 표시의 아벨 범주가 되게 하라.그들은 매우 다른 아벨 범주지만 그들의 (경계) 파생 범주는 동등하다.
• Q는 어떤 떨림이고 P는 어떤 화살을 뒤집어서 Q로부터 얻은 떨림이다.일반적으로 Q와 P의 표현 범주는 다르지만, D^b(Q-Rep)는 항상 D^b(P-Rep)와 동일하다.
• X를 아벨의 품종, Y의 이중 아벨의 품종이 되게 하라.그렇다면 D^b(Coh(X)는 푸리에-이론에 의해 D^b(Coh(Y))에 해당한다.무카이는 변신한다.등가 파생된 균일한 조각의 범주를 가진 품종을 푸리에-이라 부르기도 한다.무카이 파트너.

참고 항목

• 파생 비확정 대수 기하학
• 정합성 피복 코호몰로지
• 일관성 있는 이중성
• 파생대수 기하학

메모들

참조

• Doorn, M.G.M. van (2001) [1994], "Derived category", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Keller, Bernhard (1996), "Derived categories and their uses", in Hazewinkel, M. (ed.), Handbook of algebra, Amsterdam: North Holland, pp. 671–701, ISBN 0-444-82212-7, MR 1421815
• Keller, Bernhard (1994), "Deriving DG categories", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 27 (1): 63–102, doi:10.24033/asens.1689, ISSN 0012-9593, MR 1258406
• May, J. P. (2006), Derived categories from a topological point of view (PDF)
• Spaltenstein, N. (1988), "Resolutions of unbounded complexes", Compositio Mathematica, 65 (2): 121–154, ISSN 0010-437X, MR 0932640
• Verdier, Jean-Louis (1996), "Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes", Astérisque (in French), Paris: Société Mathématique de France, 239, ISSN 0303-1179, MR 1453167

파생된 범주를 논하는 4개의 교과서는 다음과 같다.

• Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri Ivanovich (2003), Methods of Homological Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-43583-9, MR 1950475
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006), Categories and Sheaves, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-27949-5, MR 2182076
• Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324. OCLC 36131259.
• Yekutieli, Amnon (2019). Derived Categories. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 183. Cambridge University Press. ISBN 978-1108419338.