랭글랜드 이원군

Langlands dual group
안 된다 혼동해서는랭글랜드 그룹과.

표현 이론에서 수학의 한 분야인 환원 대수 그룹 G(G의 L-그룹이라고도 함)의 랭글랜드 듀얼 G는 G의 표현 이론을 제어하는 집단이다. 만일 G가 필드 k에 걸쳐 정의된다면 G는 복합 리 그룹에 의한 k의 절대 갈루아 그룹의 확장이다.또한 L그룹의 Weil 형태라고 불리는 변형이 있는데, Galois 집단은 Weil 집단에 의해 대체된다.여기서 이름 속의 L자 또한 L-기능설, 특히 자동형 L-기능설과의 연관성을 나타낸다.랭글랜드 듀얼은 랭글랜드(1967)가 A에게 보낸 편지에서 도입했다. Weil.

L 그룹은 로버트 랭랜드의 랭글랜드 추측에 많이 사용된다.k가 글로벌 분야일 때 그룹 G에서 오토모픽 형태는 어떤 의미에서 functorial에 있다는 생각에서 정밀한 진술을 하기 위해 사용된다.어떤 자동 형태와 표현이 functorial인지에 관해서는 정확히 G가 아니라 G이다.이것은 한 그룹에서 다른 더 큰 그룹으로 형태의 '리프팅'과 같은 수많은 현상을 이해하게 하고, 필드 확장 후에 이형성이 되는 특정 집단이 관련된 자동형 표현을 가지고 있다는 일반적인 사실을 이해하게 한다.

구분 없이 닫힌 필드에 대한 정의

분리적으로 닫힌 필드 K에 대한 환원 대수 그룹으로부터 우리는 루트 기준(X*, Δ, X*, Δ, Δv)을 구성할 수 있다. 여기서* X는 최대 토러스 문자의 격자, X* 이중 격자(1-모수 부분군에서 주어짐), Δ 뿌리 및 Δv Δ 코루트를 구성할 수 있다.K에 대한 연결된 환원 대수 집단은 그 루트 기준점에 의해 고유하게 결정된다(이형성까지).루트 기준점은 그룹의 중심을 결정하기도 하기 때문에 Dynkin 다이어그램보다 약간 더 많은 정보를 포함하고 있다.

모든 루트 기준점(X*, Δ*, X, Δv)에 대해 1-모수 부분군과의 문자 전환, 코루트와 함께 루트를 전환하여 이중 루트 기준점(X*v, Δ, X*, Δ, Δ)을 정의할 수 있다.

만약 G가 대수적으로 닫힌 필드 K에 대한 연결된 환원 대수 그룹이라면, 그것의 Langlands 이중 그룹 G는 루트 기준점이 G의 그것과 이중인 복잡한 연결 환원 그룹이다.

예:Langlands 듀얼 그룹 G는 타입 B의n 구성요소가 타입n C의 구성요소로 변경되는 것을 제외하고 G와 동일한 Dynkin 도표를 가지고 있다.만약 G가 사소한 중심을 가지고 있다면 G는 간단히 연결되고, G가 단순히 연결된다면 G는 사소한 중심을 가지고 있다.GLn(K)의 Langlands 듀얼은 GLn(C)이다.

추가 일반 필드에 대한 그룹 정의

이제 G가 분리 가능한 닫힘 K를 가진 일부 필드 k에 대한 환원 그룹이라고 가정합시다.K 상공에서 G는 루트 기준점을 가지며, 이것은 갈루아 그룹 갈(K/k)의 작용과 함께 나온다.L 그룹의 아이덴티티 성분 G는o 이중 루트 기준점의 연결된 복합 환원 그룹이다. 이것은 갈루아 그룹 갈(K/k)의 유도 작용을 가지고 있다.전체 L-그룹 G는 반간접 제품이다.

LG = LGo×Gal(K/k)

Galois 그룹과 연결된 구성 요소.

L-그룹 정의에는 다음과 같은 몇 가지 차이가 있다.

  • 분리형 폐쇄의 전체 갈루아 그룹 갈(K/k)을 사용하는 대신 G가 분할된 유한 확장 갈루아 그룹을 그냥 사용하면 된다.해당 반간접 제품은 한정된 수의 성분만 가지고 있으며 복잡한 Lie 그룹이다.
  • k가 국부, 글로벌 또는 유한 분야라고 가정해 보자.절대 갈루아 그룹 k를 사용하는 대신 절대 웨일 그룹을 사용할 수 있는데, 갈루아 그룹에 대한 자연 지도가 있어 루트 기준에도 작용한다.해당 반간접적인 제품을 L그룹의 Weil 형태라고 한다.
  • 유한분야에 걸친 대수군 G에 대해서는 델리그와 루스츠틱이 다른 이중집단을 도입했다.전과 마찬가지로 G는 유한장의 절대 갈루아 그룹의 작용으로 루트 기준점을 부여한다.그런 다음 이중* 그룹 G는 갈루아 그룹의 유도 작용으로 이중 루트 기준점과 연관된 유한한 장에 걸친 환원 대수군이다.(이 이중 그룹은 한정된 필드에 걸쳐 정의되는 반면, 랭글랜드 이중 그룹의 구성 요소는 복잡한 숫자에 걸쳐 정의된다.)

적용들

Langlands 추측에 따르면 G가 지역 또는 글로벌 분야에 걸친 축소 대수 그룹이라면 G의 "좋은" 표현과 G의 Langlands 이중 그룹(또는 Weil 그룹 또는 Langlands 그룹)에 대한 동음이의어 사이에 연관성이 있다는 것을 암시한다. 추측의 보다 일반적인 공식은 Langlands이다. (거의) Langlands 이중 그룹 사이에 (잘 행동한) 동형성을 부여한 functeriality는 해당 그룹의 "좋은" 표현 사이에 유도된 지도가 있어야 한다.

이 이론을 분명히 하기 위해서는 L-그룹에 대한 L-호모피즘의 개념을 다른 집단으로 정의해야 한다.즉, L-그룹을 범주로 만들어야 '기능성'이 의미를 갖는다.복합적인 리 그룹에 대한 정의는 예상대로지만 L-호모픽스는 Weil 그룹에 'over'되어야 한다.

참조

  • A. 보렐, 자동형 L-기능, 자동형 형태, 표현 및 L-기능, ISBN0-8218-1437-0
  • Langlands, R. (1967), letter to A. Weil
  • Mirković, I.; Vilonen, K. (2007), "Geometric Langlands duality and representations of algebraic groups over commutative rings", Annals of Mathematics, Second Series, 166 (1): 95–143, arXiv:math/0401222, doi:10.4007/annals.2007.166.95, ISSN 0003-486X, MR 2342692 G의 아핀 그라스만어 기하학적 관점에서 G의 이중 집단을 설명한다.