호몰로지 미러 대칭

끈 이론
기본 객체
스트링 우주열 브레인 D-브레인
섭동 이론
보소닉 슈퍼스트링(타입 I, 타입 II, 헤테로틱)
자극적이지 않은 결과
S-듀얼리티 T이중성 U-이중성 M이론 F이론 AdS/CFT 대응
현상학
현상학 우주론 풍경.
수학
거울 대칭 괴물 문샤인
관련 개념 만물의 이론 등각장론 양자 중력 초대칭성 초중력 트위스터 스트링 이론 N = 4 초대칭 양-밀스 이론 칼루자-클레인 이론 다중 우주 홀로그래픽 원리
이론가 아가나기치 아르카니하메드 아티야 은행 베렌슈타인 부소 클리버 커트라이트 다이크그라프 디스트러 더글러스 더프 드발리 페라라 피슐러 프리단 게이츠 글리오지 고파쿠마르 초록의 그린 징그러워 굽서 구코프 거스 핸슨 하비 호아바 호로위츠 기븐스 카흐루 카쿠 카로시 칼루자 카푸스틴 클레바노프 니즈니크 콘체비치 클라인 린데 말라세나 만델스탐 마롤프 마르티네크 민왈라 무어 모틀 묵히 마이어스 나노풀로스 나스타세 네크라소프 네베우 닐슨 판 니우웬후이젠 노비코프 올리브 우구리 오브루트 폴친스키 폴랴코프 라자라만 라몬드 랜달 란지바르대미 로체크 럼 사그노티 셔크 슈바르츠 세이베루 센 셴커 시겔 실버스타인 선 슈타우다허 슈타인하르트 스트로밍거 선드럼 서스킨드 '호프트 없음' 타운센드 트리베디 투록 바파 베네치아노 베린데 베린데 웨스 위튼 야우 요네야 자몰로드치코프 자몰로드치코프 자슬로 주미노 츠비바흐
역사 용어집
v t

호몰로지 미러 대칭은 막심 콘체비치에 의해 만들어진 수학적 추측이다.그것은 끈 이론을 연구하는 물리학자들이 처음 관찰한 거울 대칭이라고 불리는 현상에 대한 체계적인 수학적 설명을 추구한다.

역사

1994년 취리히에서 열린 국제수학자대회 연설에서 콘체비치(1994)는 칼라비 쌍에 대한 거울 대칭을 추측했다.Yau 다지관 X와 Y는 X의 대수적 기하학(X의 간섭성 단층 유도 범주)으로 구성된 삼각 범주 및 Y의 심플렉틱 기하학(후카야 유도 범주)으로 구성된 또 다른 삼각 범주의 등가성으로 설명될 수 있다.

에드워드 위튼은 원래 N=(2,2) 초대칭 장 이론의 위상적 비틀림을 그가 A와 B 모델 위상 끈 이론이라고^{[citation needed]} 부르는 것으로 묘사했습니다.이러한 모델은 리만 표면에서 고정 대상(보통 칼라비)으로의 지도와 관련이 있다.야우 매니폴드거울 대칭의 수학적 예측의 대부분은 거울 X의 B-모델과 Y의 A-모델의 물리적 동등성에 포함되어 있다.리만 표면에 빈 경계가 있으면 닫힌 문자열의 월드시트를 나타냅니다.열린 문자열의 경우를 다루려면 초대칭성을 유지하기 위해 경계 조건을 도입해야 합니다.A-모델에서 이러한 경계조건은 일부 추가 구조(종종 브레인 구조라고 함)와 함께 Y의 라그랑지안 서브매니폴드의 형태로 나타난다.B-모형에서 경계조건은 X의 정형(또는 대수) 서브매니폴드의 형태로 나타나며, 그 위에 정형(또는 대수) 벡터 다발이 있다.이것들은 관련 카테고리를^{[citation needed]} 작성하기 위해 사용하는 오브젝트입니다.그것들은 종종 각각 A와 B로 불린다.범주의 형태론은 두 개의^{[citation needed]} 분기 사이에 뻗어 있는 열린 끈의 질량 없는 스펙트럼에 의해 주어진다.

닫힌 문자열 A 및 B 모델은 완전한 문자열 이론의 일부인 이른바 토폴로지 섹터만 캡처합니다.마찬가지로 이들 모델의 브랜드는 D-브랜스인 완전한 동적 객체에 대한 토폴로지 근사치일 뿐입니다.그럼에도 불구하고, 이 작은 끈 이론에서 비롯된 수학은 깊고 어려웠다.

프린스턴 고등연구소의 수학학교는 2016-17학년도 동안 호몰로지 거울 대칭에 (말장난 의도가 없는) 1년을 할애했다.참가자 중에는 MIT의 Paul Seidel, IHES의 Maxim Kontsevich, UC ^[1]Berkeley의 Denis Auroux가 있었습니다.

예

수학자들이 그 추측을 입증할 수 있었던 것은 몇 가지 사례뿐이었다.콘체비치는 그의 연설에서 이 추측은 세타 함수를 이용한 타원 곡선의 경우에 입증될 수 있다고 논평했다.이 경로를 따라, 알렉산더 폴란드척과 에릭 자슬로우는 타원 곡선에 대한 추측 버전의 증거를 제공했습니다.후카야 겐지는 아벨 변종의 추측 요소를 확립할 수 있었다.나중에, 콘체비치와 얀 소이벨만은 SYZ 추측의 아이디어를 사용하여 아핀 다양체에 대한 비칭 토러스 다발에 대한 추측의 대부분을 증명했다.2003년, Paul Seidel은 4차 표면의 경우 추측을 증명했다.2002년 Hausel & Thaddeus(2002)는 Hitchin 시스템과 Langlands 이중성의 맥락에서 SYZ 추측을 설명했다.

호지 다이아몬드

조화(p,q)-차동 형식의 공간(즉, 코호몰로지, 즉 닫힌 형식의 모듈로 정확한 형식)의^p,q 치수 h는 일반적으로 호지 다이아몬드라고 불리는 다이아몬드 모양으로 배열된다.이 (p,q)-베티 수치는 Friedrich ^[2][3][4]Hirzebruch가 설명한 생성 함수를 사용하여 완전한 교차로에 대해 계산할 수 있다.예를 들어 3차원 다지관의 경우 Hodge 다이아몬드의 p와 q 범위는 0에서 3까지입니다.

			h3,3
		h3,2		h2,3
	h3,1		h2,2		h1,3
h3,0		h2,1		h1,2		h0,3
	h2,0		h1,1		h0,2
		h1,0		h0,1
			h0,0

미러 대칭은 원래 매니폴드에 대한 (p, q)번째 미분 형식^p,q h의 치수 번호를 카운터^n-p,q 쌍 매니폴드에 대한 h의 치수 번호로 변환한다.즉, 모든 칼라비에게-호지 다이아몬드는 거울 칼라비의 호지 다이아몬드와 θ 라디안의 회전에 의해 변하지 않는다.야우 매니폴드는 θ/2 라디안 회전으로 관련된다.

1차원 칼라비로 보이는 타원 곡선의 경우-야우 다지관, 호지 다이아몬드는 특히 단순합니다. 다음 그림입니다.

	1
1		1
	1

2차원 칼라비로 보이는 K3 표면의 경우-Yau 다지관은 Betti 숫자가 {1, 0, 22, 0, 1)이므로 Hodge 다이아몬드는 다음과 같습니다.

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

보통 칼라비라고 불리는 3차원의 경우-야우 매니폴드, 아주 흥미로운 일이 일어났어.대각선을 따라 대칭적인 호지 다이아몬드를 가진 거울 쌍, 예를 들어 M과 W가 있다.

M의 다이아몬드:

			1
		0		0
	0		a		0
1		b		b		1
	0		a		0
		0		0
			1

W의 다이아몬드:

			1
		0		0
	0		b		0
1		a		a		1
	0		b		0
		0		0
			1

끈 이론에서 M과 W는 A모델과 B모델에 대응합니다.거울 대칭은 호몰로지 차원뿐만 아니라 거울 쌍의 심플렉틱 구조와 복잡한 구조도 대체한다.그것이 균질 거울 대칭의 기원이다.

1990-1991년에 칸델라스 외 연구진은 열거형 대수 기하학뿐만 아니라 전체 수학에 큰 영향을 미쳤고, 동기부여는 콘체비치(1994)였다.이 종이에서 두 개의 5중 3중 거울 쌍은 다음과 같은 호지 다이아몬드를 가지고 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 거울 대칭 추측 - 보다 수학적인 기사
• 위상 양자장 이론
• 범주론
• 플로어 호몰로지
• 후카야 카테고리
• 파생 카테고리
• 5등분 3중

레퍼런스

• Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991). "A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory". Nuclear Physics B. 359 (1): 21–74. Bibcode:1991NuPhB.359...21C. doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6. MR 1115626.
• Kontsevich, Maxim (1994). "Homological algebra of mirror symmetry". arXiv:alg-geom/9411018.
• Kontsevich, Maxim; Soibelman, Yan (2000). "Homological Mirror Symmetry and torus fibrations". arXiv:math.SG/0011041.
• Seidel, Paul (2003). "Homological mirror symmetry for the quartic surface". arXiv:math.SG/0310414.
• Hausel, Tamas; Thaddeus, Michael (2002). "Mirror symmetry, Langlands duality, and the Hitchin system". Inventiones Mathematicae. 153 (1): 197–229. arXiv:math.DG/0205236. Bibcode:2003InMat.153..197H. doi:10.1007/s00222-003-0286-7. S2CID 11948225.