어퍼 세트

수학에서 부분 순서가 정해진 집합(X, of)의 상부 집합(X, ≤)은 ^[1]s가 S에 있고 x가 s(즉, s ≤ x)보다 크면 x가 S에 있는 부분집합 S x X이다.즉, 이것은 S의 어떤 요소에 대한 X의 어떤 x 요소도 반드시 S의 요소라는 것을 의미한다.하위 집합(하향 폐쇄 집합, 하향 집합, 감소 집합, 초기 세그먼트 또는 반 이상이라고도 함)이라는 용어는 S의 일부 요소에 대한 X의 어떤 요소 x도 반드시 S의 요소라는 특성을 가진 X의 부분 집합 S인 것과 유사하게 정의된다.

정의

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (X,\leq )}$을(를) 사전 정렬된 집합으로$$ 한다.X{X\displaystyle}(또한 설정된 블라인드를 마감했다 집합, 수상하거나, 동중 성자 핵이라고 불리는)[1]에 상단 세트는 하위 집합 U⊆ X이 만약 ∈ U{u\in\displaystyle U}, if)∈ X{\displaystyle Xx\in}가 ≤ u),{u\leq x\displaystyle,}한 다음 그런∈ U.{\displaystyle x\in{\displaystyle U\subseteq X}. u$}$ 즉$$, $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$은(는) 다음을 충족한다$$.

${\displaystyle \mathrm{모든}}$${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \in }$ U$${\$displaystyle u\in$U} 및$$ $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle x\leq$ x$}$일 경우 $x$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U}$. ${\displaystyle$ x$\in U.}$에 대해

The dual notion is a lower set (also called a downward closed set, down set, decreasing set, initial segment, or semi-ideal), which is a subset ${\displaystyle L\subseteq X}$ such that that if ${\displaystyle l\in L}$ and if ${\displaystyle x\in X}$ satisfies ${\displaystyle x\leq l,}$ then ${\displaystyle x\in }$${\displaystyle L}$. ${\displaystyle$ x$\in L.}$ 즉$$, $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) 다음을 만족한다$$.

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ L ${\displaystyle l\in L}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{모든<img\; alt="l\backslash in\; L"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/4af31b518b8600dc8ff15041dc353769574d4631"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:5.117ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="61">}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle x\leq l}$일 경우 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle L}$. ${\displaystyle x\in L.}$에 대해

이상적인 또는 이상적인 용어는 때때로 하위 집합의 동의어로 사용된다.^[2][3][4]이러한 용어의 선택은 격자의 하위 집합이 반드시 하위 집합인 것은 아니기 때문에 격자의 이상적인 개념을 반영하지 못한다.^[2]null

특성.

• 부분적으로 주문된 모든 세트는 그 자체의 상위 세트다.
• 상위 집합의 모든 집합의 교차점과 결합은 다시 상위 집합이다.
• 모든 상위 세트의 보완점은 하위 세트, 그리고 그 반대다.
• 부분적으로 주문된 집합(X, ≤)의 경우, 포함 관계가 있는 상위 집합의 집합은 완전 격자, 상위 집합 격자이다.
• 부분 순서 집합 X의 임의 부분 집합 Y가 주어질 경우 Y가 포함된 가장 작은 상위 집합은 위쪽 화살표를 사용하여 yY로 표시된다(상단 폐쇄 및 하부 폐쇄 참조).null
  • Y가 포함된 가장 작은 하한 세트는 아래 화살표를 사용하여 ↓Y로 표시된다.
• 하위 집합이 ↓{x} 형식인 경우 주 집합이라고 하며, 여기서 x는 X의 요소다.
• 유한 부분 순서 집합 X의 모든 하한 집합 Y는 Y: Y = ↓Max(Y)의 모든 최대 원소를 포함하는 최소 하한 집합과 동일하며, 여기서 Max(Y)는 Y의 최대 원소를 포함하는 집합을 의미한다.
• 지시된 하위 세트를 주문 이상이라고 한다.
• 어떤 상부 세트의 최소 요소들이 반제기를 형성한다.null
  • 반대로 안티체인 A는 A의 일부 y에 대해 상위 집합 {x: x ≥ y를 결정한다.내림차인 조건을 만족하는 부분 주문의 경우 반창고와 상위 세트 사이의 대응은 1-1이지만, 더 일반적인 부분 주문의 경우 이는 사실이 아니다.

상부 폐쇄 및 하부 폐쇄

Given an element ${\displaystyle x}$ of a partially ordered set ${\displaystyle (X,\leq ),}$ the upper closure or upward closure of ${\displaystyle x,}$ denoted by ${\displaystyle x^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle x^{\uparrow },}$ or ${\displaystyle \uparrow x,}$ is d다음을 통해 구현:

${\displaystyle x^{\uparrow X}=\uparrow x=\왼쪽\{u\in X:x\leq u\오른쪽\}}}$

$x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\downarrow }^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$, ${\displaystyle x^{\downarrow$ X$}},$ $x$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{\downarrow },$ 또는$$ $\downarrow {\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$, ${\displaysty \downarrow x,}$로 표시되는 x의 하부 닫힘 또는 하향 닫힘은 다음에 의해 정의된다$$.

${\displaystyle x^{\downarrow X}=\downarrow x=\왼쪽\{l\in X:l\leq x\right\}.}$

$\uparrow {\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \uparrow x}$ 및$$ $\downarrow {\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \downarrow x}$ 집합은 각각 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을(를) 요소로$$ 포함하는 가장 작은 상위 집합과 하위 집합이다$$.보다 일반적으로 하위 집합 $A{\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle A\subseteq X,}$이(가) A의 상/상단 폐쇄와 하/하단 폐쇄를 정의하며$$, $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\uparrow }^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$ ${\$ A$^{\uparrow$ X$}$와 A ${\displaystyle {\downarrow }^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$ ${\$가 각각$$ 표시한다.

${\displaystyle A^{\uparrow X}=A^{\uparrow }=\bigcup _{a\in A}\uparrow \!a}$ and ${\displaystyle A^{\downarrow X}=A^{\downarrow }=\bigcup _{a\in A}\downarrow \!a.$$}$

이렇게 해서 ↑x = ↑{x}, ↓x = ↓{x}, 여기서 이 형식의 상위 집합과 하위 집합을 주 집합이라고 한다.한 세트의 상부 폐쇄와 하부 폐쇄는 각각 이 세트가 포함된 가장 작은 상부 세트와 하부 세트다.null

X의 동력 집합에서 그 자체로 기능하는 것으로 볼 때 상하의 폐쇄는 쿠라토프스키 폐쇄 공리를 모두 만족시키기 때문에 폐쇄 운용자의 예다.결과적으로, 집합의 상부 폐쇄는 집합이 포함된 모든 상위 집합의 교차점과 같으며, 하위 집합의 경우에도 유사하다.실제로 폐업 사업자의 일반적인 현상이다.예를 들어, 집합의 위상학적 폐쇄는 그것을 포함하는 모든 닫힌 집합의 교차점이다. 벡터 집합의 범위는 그것을 포함하는 모든 하위 공간의 교차점이다. 그룹의 하위 집합에 의해 생성된 하위집단은 그것을 포함하는 모든 하위집단의 교차점이다. 링의 하위집합에 의해 생성되는 이상은 모든 i의 교차점이다.그것을 포함하는 거래들, 기타 등등.null

또 요소 x의 엄격한 상부 폐합 ∈ X{\displaystyle Xx\in}{y∈X:x<, y}로 정의되고 더 일반적으로 우리가 stri의 요소의 엄격한 상부 폐쇄의 일치로 정의된 부분 집합 A⊆ X,{\displaystyle A\subseteq X,}의 엄격한 상부 폐쇄성, 유사한 정의를 만들 수 있다 말할 수 있다.ct폐쇄를 늦추다그러나 이러한 '폐쇄'는 실제로 폐쇄 운영자가 아니라는 점에 유의하십시오. 예를 들어 싱글톤 세트 {x}의 엄격한 상부 폐쇄에는 {x}이(가) 포함되어 있지 않기 때문이다.null

서수

서수 번호는 일반적으로 모든 더 작은 서수 번호 집합으로 식별된다.따라서 각 서수 번호는 모든 서수 번호의 등급에서 하위 집합을 형성하며, 이는 세트 포함에 의해 완전히 정렬된다.null

참고 항목

• Cofinal set – 일부 순서가 지정된 집합(${\displaystyle X}$, ≤)의 하위 집합 U로, 모든 원소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ x$\$$in X,}$에 대해 포함되며, 일부$$ 원소 y는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaysty$ x\$leq y.}$
• 추상적 단순화 복합체(일명:독립 시스템) - 격납건물 관계에 대해 아래로 닫히는 세트 패밀리.

참조

• Blanck, J. (2000). "Domain representations of topological spaces" (PDF). Theoretical Computer Science. 247 (1–2): 229–255. doi:10.1016/s0304-3975(99)00045-6.
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
• 호프만, K. H. (2001)낮은 분리 공리(T₀) 및 (T₁)