이중코드

코딩 이론에서, 선형 코드의 이중 코드

C\subset \mathb {F} _{q}^{n}}

정의된 선형 코드는

C^{\perp }=\{x\in \mathb {F} _{q}^{n}\mid \angle x, c\rangele =0\;\forall c\in C\}}

어디에

\langle x,c\rangele =\sum_{i=1}^{n}x_{i}c_{i}}}}}}

스칼라 제품이야 선형 대수학 용어에서 이중 코드는 이선형 form $\langle \cdot \rangle$ $\langle \cdot \rangle$ { { { ${\displaystyle \langle \cdot \rangle$ }}에 대한 C의 전멸기 $\langle \cdot \rangle$ C와 그 이중의 치수는 항상 길이 n:

\dim C+\dim C^{\perp }=n.}

이중 코드의 제너레이터 매트릭스는 원래 코드의 패리티 체크 매트릭스 또는 그 반대의 경우다. 듀얼 코드의 이중 코드는 항상 원본 코드다.

자가이중코드

자체 이중 코드는 자체 이중 코드다. 이것은 n이 짝수이고 희미한 C = n/2라는 것을 의미한다. 각 코드 워드의 무게가 어떤 $c>1$ c $c>1$ > $c>1$ [\ $displaystyle c>$ 1}의 배수일 정도로 자체 이중 코드가 맞는 경우 $c>1$ 다음과 같은 네 가지 유형 중 하나이다.^[1]

제1종 코드는 2배 반반인 2배 자체 이중 코드다. I타입 코드는 항상 균등하다(모든 코드 워드는 심지어 해밍 웨이트도 있다).
제2종 코드는 2배 반반인 2진법 자체 이중 코드다.
타입 III 코드는 3차 자체 이중 코드다. 타입 III 코드의 모든 코드 워드는 해밍 웨이트를 3으로 나눌 수 있다.
Type IV 코드는₄ F에 대한 자체 이중 코드다. 이것들은 다시 짝수다.

I, II, III 또는 IV 유형의 코드는 길이 n이 각각 2, 8, 4 또는 2의 배수인 경우에만 존재한다.

자체 이중 코드에 $G=[I_{k}|A]$ = $G=[I_{k}|A]$ [ $G=[I_{k}|A]$ $G=[I_{k}|A]$ $G=[I_{k}|A]$ $G=[I_{k}|A]$ ${\displaystyle G=[]$ 형식의 제너레이터 행렬이 있는 경우 $I_{k} A]}$ , then the dual code $C^{\perp }$ has generator matrix $[-{\bar {A}}^{T} I_{k}]$ , where $I_{k}$ is the $(n/2)\times (n/2)$ identity matrix and ${\bar {a}}=a^{q}\in \mathbb {F} _{q}$ ${\bar {a}}=a^{q}\in \mathbb {F} _{q}$ ${\$