캐릭터 그룹

수학에서 문자 그룹은 복합적으로 가치가 있는 함수에 의한 집단의 표현 그룹이다.이러한 함수는 1차원 매트릭스 표현으로 생각할 수 있으며, 문자 이론의 관련 맥락에서 발생하는 그룹 캐릭터의 특별한 사례도 그러하다.그룹이 행렬로 표현될 때마다 행렬의 추적에 의해 정의된 함수를 문자라고 부르지만, 이러한 트레이스는 일반적으로 그룹을 형성하지는 않는다.이러한 1차원 문자의 몇 가지 중요한 특성은 일반적으로 문자에 적용된다.

• 등장인물은 배우자 수업에서 불변한다.
• 해석할 수 없는 표현들의 문자는 직교한다.

유한한 아벨리아 집단에 대한 문자 집단의 일차적인 중요성은 숫자 이론에 있는데, 여기서 디리클레 문자를 구성하는 데 사용된다.주기 그룹의 문자 그룹은 이산 푸리에 변환 이론에도 나타난다.국소적으로 콤팩트한 아벨리아 그룹의 경우 (연속성을 가정하는) 문자 그룹은 푸리에 분석의 중심이다.null

예선

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 아벨리안 그룹이 되게$$ 하라.${\displaystyle \mathrm{함수}}$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle \setminus }${ 0${\displaystyle }$} ${\displaystyle f:$$G\to \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ mapping the group to the non-zero complex numbers is called a character of ${\displaystyle G}$ if it is a group homomorphism from ${\displaystyle G}$ to ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$—that is, if ${\displaystyle f($${\displaystyle {g\_\mathrm{}}_{}}$${1}g_{2}}=f(g_{1}})f(g_{2}})}$ 모든$$ $g{\displaystyle {}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{1}, g_{2}\in$ G$\}.$

If ${\displaystyle f}$ is a character of a finite group ${\displaystyle G}$, then each function value ${\displaystyle f(g)}$ is a root of unity, since for each ${\displaystyle g\in G}$ there exists ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ such that ${\displaystyle g^{k}=e}$, and hence $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle g{}^{}}$) ${\displaystyle k{}^{}}$= f${\displaystyle }$( ${\displaystyle g^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle e}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(g)^{k}=f(g^{k})=f(e)=1$

각 문자 f는 G, 즉 f(hgh⁻¹) = f(g)의 결합성 클래스에 대한 상수다.이 때문에 캐릭터를 클래스 함수라고 부르기도 한다.null

유한한 아벨의 순서 n은 정확히 구별되는 문자를 가지고 있지 않다.이것들은 f₁, ..., f로_n 표시된다.함수 ${\displaystyle f}$는₁ 사소한 표현으로, ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ G ${\displaystyle g\in G}$에 $대해{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ 1 ($$g${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ {\$displaystyle f_{1$}($g)=1}$에 의해 주어진다$.$ G의 주 문자라고 불리며, 나머지는 비주요 문자라고 불린다.null

정의

만약 G가 아벨 그룹이라면_k, f의 문자 집합은 점의 곱셈 아래 아벨 그룹을 형성한다.That is, the product of characters ${\displaystyle f_{j}}$ and ${\displaystyle f_{k}}$ is defined by ${\displaystyle (f_{j}f_{k})(g)=f_{j}(g)f_{k}(g)}$ for all ${\displaystyle g\in G}$. This group is the character group of G and is sometimes denoted as $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$$hat{G$$\}\}.$${\displaystyle \stackrel{}{}}$G$$^ {\$displaystyle {\$hat {$}}$의 ID 요소는 주 문자 f이고₁, 문자 f의_k 역수는 역수 1/f이다_k.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 순서 n의 유한한 경우 $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$도 순서$$ n이다.이 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$, 모든 ${\displaystyle g}$g G ${\displaystyle$ g$\in$G}에$$ ${\displaystyle 대해{}_{}}$ f ${\displaystyle k_{}}$g${\displaystyle }$) = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle f_{k}(g)$ =$1}$이므로 문자의 역행은 복합 결합체와 동일하다$.$null

대체 정의

는 U(1)를 사용하여 캐릭터 group[1]pg 29에 대한 다른 정의){z∈ C∗:z=1}{\displaystyle U(1)=\{z\in \mathbb{C}^{*}:z=1\}}단지 C∗{\displaystyle \mathbb{C}^{*}}대신 대상으로. comple기 때문에 격자의 문자 그룹에 복잡한 tori 공부하고 이가 유용한 곳입니다.)원환체${\displaystyle V}$ /${\displaystyle \lambda \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ V$/\Lambda }}$은(는) 호칭-흠버트 정리를 통해 이중 토러스(Dual Torus)에 대해 표준적으로 이형성이 있다$$.그것은

${\displaystyle {\text{홈}}(\Lambda ,U(1)\cong V^{\ve }/\Lambda ^{}=X^{\ve }}}}}}}}}$

문자 그룹에서 명시적 요소를 다음과 같이 표현할 수 있다: $U{\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle U(1)}$의 요소를 다음과 같이 표현할 수 있음을$$ 상기한다.

${\displaystyle e^{2\pi ix}}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$에 대해$.$ 만일 우리가 $격자$를 V$${\$displaystyle V$}의 기본 실제 벡터 공간의 하위 그룹으로 간주한다면$,$ 그러면 동형성.

${\displaystyle \pi :\Lambda \to U(1)}$

지도로서 고려될 수 있다.

${\displaystyle \phi :\Lambda \to \mathb {R} \xrightarrow {\exp({2\pi i\cdot }}) U(1)$

이것은 동형성의 기본적인 특성에서 따온 것이다.참고:

${\displaystyle {\displaysty}\phi(x+y)&=\expx2\pi i}f(x+y)\\\&=\phi(x)+\pi(y)\&=\expi(x)인 경우 2\pi(y)\ended}}$

원하는 요소를 제시해 주는 겁니다단체로

${\displaystyle {\text{홈}(\Lambda ,\mathb {R} )\cong {\text{홈}}(\mathb {Z} ^{2n},\mathb {R} )}$

우리는 문자집단의 이소모르퍼시즘을 그룹화하여 ${\displaystyle {\mathrm{Z2n}}^{}}$ ${\$ ~ $R$ ${\$의 동형성 그룹을 가지고 있다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \text{왜냐하면}}$ ${\displaystyle Hom\mathbb{}}$(${\displaystyle Z}$, G ) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystylease {\{\$$displaystytype$}$홈}(\mathbb {Z},G)\cong G}$ 아벨 $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$에 대해$,$

${\displaystyle {\text{홈}}(\mathb {Z} ^{2n},\mathb {R} )\cong \mathb {R} ^{2n}}}$

복합 지수(complex expective)로 작곡한 결과,

${\displaystyle {\text{홈}}(\mathbb {Z} ^{2n},U(1)\cong \mathb {R} ^{2n}/\mathb {Z} ^{2n}})$

예상한 결과야null

예

정밀하게 생성된 아벨 그룹

미세하게 생성되는 모든 아벨 그룹들은 이형성적이기 때문에

${\displaystyle G\cong \mathb {Z} ^{n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{m}\mathb {Z} /a_{i}}}}}$

캐릭터 그룹은 모든 세부적으로 생성된 사례에서 쉽게 계산될 수 있다.보편적 성질, 그리고 유한제품과 조합물 사이의 이형성으로부터 $우리$는 G ${\displaystyle G}$의 문자집단이 에 이형성을 띤다$$.

${\displaystyle {\text{홈}}(\mathb {Z} ,\mathb {C}^{*}^{}^{\oplus n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{k}{\text{}홈}}(\mathb {Z} /n_{i},\mathb {C} ^*})}$

for the first case, this is isomorphic to ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{\oplus n}}$, the second is computed by looking at the maps which send the generator ${\displaystyle 1\in \mathbb {Z} /n_{i}}$ to the various powers of the ${\displaystyle n_{i}}$-th roots of unity ${\displaystyle {\zeta }_{}}$${\displaystyle {n_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ i${\displaystyle }$/ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle i{}_{}}$) ${\displaystyle \zeta _{n_}=\exp(2\pi$ i$/n_{i$

문자의 직교성

매트릭스 요소가 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$= f${\displaystyle {}_{}{j}_{}}$ ( g k $){\displaystyle$ A_$}=f_{j}(g_{k}})$인 n${\displaystyle }$× $n${\$displaystyle$ g_{k} 행렬 A = A(G)를 고려하십시오. ${\displaystyle {여기}_{}}$서 g ${\$는 G의 k번째 요소입니다.

A의 j번째 행에 있는 항목의 합은 다음과 같다.

${\displaystyle \sum \sum _{$$A\_{\displaystyle }$${jk}=\sum _{k=1}^{nf_{j}(g_{k})=0}$ 만약$$ j ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle j\neq$ 1$\}$이면

${\displaystyle \sum _k^{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ A ${\displaystyle \mathrm{1k}{}_{}}$= n ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{1k}=n}$.

A의 k번째 열에 있는 항목의 합은 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}$$A\_{\displaystyle }$${jk}=\sum _{j=1}^{nf_{j}(g_{k})=0}$ 만약$$ k ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k\neq$ 1$\}$이면

${\displaystyle \sum _{}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{j}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ A ${\displaystyle {\mathrm{j}}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}{}_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ j${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \mathrm{1n}}$ ${\displaystyle f_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle e}$)${\displaystyle }$= n ${\displaystyle \sum \sum _{j=$1}^{$n1$}A_{$j1}=\sum _{j=1}^{j=$1}$f_{j}(e)=n$

$∗{\$은(는) A의 결합 전치물을 나타낸다$$.그러면

${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle AA^{\ast }=A^{\ast }A=nI}$.

이는 문자에 대해 원하는 직교 관계를 의미한다.

${\displaystyle \sum _k^{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {k_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$( g ${\displaystyle j_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$ $Δ$ ${\displaystyle i_{}}$ j ${\$}}{k$}^{$f_{k}}}{k}^{$k_{i}}f_{k}}}}=n\ij},$ $$}}},

여기서 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j ${\$는 Kronecker delta이고 f k${\displaystyle {}_{}{k}_{}^{}}$ (${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle f_{k}^{*}(g_{i}})$은 $f{\displaystyle {}_{}{k}_{}}$ ( ${\displaystyle g_{}}$)$${\$displaysty f_{k}(g_{i})$의 복합 결합이다$.$

참고 항목

• 폰트랴긴 이중성

참조

• 의 6장 참조