갈루아 연장

수학에서 갈루아 확장은 정규적이고 분리가 가능한 대수적 자기장 확장 E/F이다.^[1] 또는 동등하게 E/F는 대수학이고, 자동형 집단인 오토(E/F)가 고정하는 영역은 정확하게 기초 필드 F이다.갈루아 연장이라는 것의 의의는 그 연장이 갈루아 집단을 가지고 있으며 갈루아 이론의 근본 정리를 준수한다는 것이다.^[a]

에밀 아르틴의 결과로 다음과 같이 갈루아 확장을 구성할 수 있다.E가 주어진 분야이고 G가 고정된 필드 F를 가진 E의 유한한 자동화 그룹이라면 E/F는 갈루아 확장이다.^[2]

갈루아 확장의 특성화

Emil Artin의 중요한 정리는 유한 확장 $E{\displaystyle }$/ ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle$ $E$$/F}$에 대해 $다음{\displaystyle }$ 각$$ 문장은 E${\displaystyle }$/ F ${\displaystyle$ E$/F}$이(가) 갈루아라는 문장과 동등하다고 명시하고 있다.

• ${\displaystyle E}$/ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E/F}$은(는) 일반 확장이며 분리 가능한 확장이다.
• ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$은(는) $F{\displaystyle }$. ${\displaystyle F$로 계수를 갖는 분리 가능한 다항식의 분할 필드다$.$$}$
• ${\displaystyle \mathrm{자동}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle E}$/ F${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle E}$: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle \!\operatorname {Aut}(E/F)$ = $[E:F],},$ 즉 자동화$$ 횟수는 확장의 정도와 같다.

기타 동등한 진술은 다음과 같다.

• $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$에 루트가 하나 이상 있는$$ F${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle F[x]}$의 모든 수정 불가능한 다항식은 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$에 걸쳐$$ 분할되며$$ 분리할 수 있다.
• ${\displaystyle \mathrm{자동}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle E}$/ F${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ge }$[ ${\displaystyle E}$: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle \!\operatorname {Aut}(E/F) \geq [E:F],},$ 즉 자동화$$ 횟수는 적어도 확장의 정도인 것이다.
• ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{Aut}}$ ${\displaystyle (E}$ ${\displaystyle )}$. ${\displaystyle \operatorname {Aut}(E$)의 하위 그룹의 고정 필드다$.$$}$
• ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{Aut}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle E}$/ ${\displaystyle F}$)의 고정 필드 입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut}(E/F).$$}$
• $E{\displaystyle /F}$ ${\displaystyle E/F}$의 하위 필드와 ${\displaystyle \mathrm{Aut}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (E/F}$)의 하위 그룹 간에 일대일 대응 관계가 있다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut}(E/F).$$}$

예

갈루아 확장의 예를 구성하는 두 가지 기본적인 방법이 있다.

• ${\displaystyle \mathrm{필드}}$ $E{\displaystyle }$ ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $E$ 자동 ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle }$E${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut$$E)}$의 하위 그룹을 선택하고 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$을(를) 고정 필드로 설정하십시오$$.
• $필드{\displaystyle }$ F ${\displaystyle$ F$\},$ F${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle F[x$의 분리 가능한 다항식을 선택하고 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$을(를) 분할 필드로 설정하십시오$$.

합리적인 수 필드에 인접한 2의 제곱근은 갈루아의 확장을, 2의 세제곱근에 인접한 것은 비갈루아의 확장을 나타낸다.이 두 확장자는 특성 0을 가지기 때문에 분리할 수 있다.$그$ 중 첫 ${\displaystyle {번째}^{}}$는 x 2 -${\displaystyle {}^{}2}$의$분할장$이다$.$ 두 $번째$는 단일성의 복잡한 입방근을 포함하는 정상적인 폐쇄를 가지고 있으며, 따라서 분할장이 아니다.실제로 실수에 포함되어 있고, ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}3}$ - 2 ${\displaystyle$ x$^{3}-2}$은(는) 진짜 뿌리가 하나뿐이기 때문에, 정체성 이외의 자동형성은 없다.자세한 예는 갈루아 이론의 기본 정리 페이지를 참조하십시오.

$임의{\displaystyle }$ 필드 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 대수학적 $폐쇄{\displaystyle \stackrel{}{}}$ K${\displaystyle$ K$}$이(가) 완벽한 필드인$$$$ 경우에만 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ K$}$에 대해 갈루아입니다$$.

메모들

인용구

참조

추가 읽기