G-모듈

수학에서 G군이 주어지는 G-모듈은 G가 M에서 아벨 그룹 구조와 양립할 수 있도록 작용하는 아벨 그룹 M이다.이 광범위하게 적용되는 개념은 G. Group (co)homology의 대표성이 일반 G-modules를 연구하기 위한 중요한 도구 집합을 제공한다는 것을 일반화한다.

G-모듈이라는 용어는 또한 G가 선형적으로 작용하는 R-모듈의 보다 일반적인 개념(즉, R-모듈 자동화의 그룹으로서)에 사용된다.

정의 및 기본

G를 단체로 하자.왼쪽 G-모듈은 아벨 그룹 M과 함께 왼쪽 그룹 작용 ρ: G × M → M으로 구성된다^[1].

g·(a + b) = g·a + g·b

여기서 g·a는 ρ(g,a)을 의미한다.오른쪽 G-모듈은 유사하게 정의된다.왼쪽 G-모듈 M을 부여하면 a·g = g⁻¹·a를 정의해 오른쪽 G-모듈로 전환할 수 있다.

f : M → N 함수는 f가 집단 동형성과 G 등가성 둘 다일 경우 G-modules(또는 G-선형 지도, 또는 G-호모형성)의 형태론이라고 한다.

왼쪽(존중적으로 오른쪽) G-모듈의 집합과 그 형태는 아벨 범주 G-모드(resp)를 형성한다.Mod-G).G-Mod 범주(resp).Mod-G)는 왼쪽(오른쪽) ZG-modules 범주로 식별할 수 있다. 즉, 그룹 링 위의 모듈로 식별할 수 있다.

A submodule of a G-module M is a subgroup A ⊆ M that is stable under the action of G, i.e. g·a ∈ A for all g ∈ G and a ∈ A. Given a submodule A of M, the quotient module M/A is the quotient group with action g·(m + A) = g·m + A.

예

• 그룹 G를 주어지는 아벨 그룹 Z는 사소한 작용 g·a = a를 가지는 G-모듈이다.
• M은 f(x, y) = a², b, c 정수를 갖는 도끼 + 2bxy + cy의² 이항 2차 형태 집합으로 하고, G = SL(2, Z) (Z 위에 2×2 특수 선형 그룹)으로 한다.정의

${\displaystyle (g\cdot f)(x,y)=f(x,y)^{t}=f(x,y)\cdot {\bmatrix}\bmatrix}\nd\nd\nd{bmatrix})=f(\cdmx+\cdmx,\ndmx\bines y)}}}})}}}$

어디에

${\displaystyle g={\displaystyle g={bmatrix}\reason &\reason &\reason \end{bmatrix}}}$

및 (x, y)g는 행렬 곱하기입니다.그렇다면 M은 가우스가 연구한 G-모듈이다.^[2]정말, 우리는 가지고 있다.

${\displaystyle g(f(x,y))=gf(x,y)^{t}=f(x,y)^{t^{t}=f(x,y)^{t}=f(gh)f(x,y)=(gh)f(x,y).}$

• 만약 V가 필드 K에 대한 G의 표현이라면, V는 G-모듈이다(추가되는 아벨 그룹이다).

위상군

G가 위상학 그룹이고 M이 아벨 위상학 그룹이라면 위상학 G-모듈은 액션 맵 G×M → M이 연속되는 G-모듈이다(G×M에서 제품 위상학을 취하는 위치).^[3]

즉 위상학 G-module은 통상적인 관계 g(a + a′) = ga + ga′, (g′)a = g(g′a), 1a = a를 만족하는 연속 지도 G×M → M과 함께 아벨 위상학 그룹 M이다.

메모들

참조

• 제6장