최대 및 최소 요소

수학에서 특히 순서 이론에서, 일부 사전 정렬된 집합의 부분 집합 S의 최대 요소는 S의 어떤 다른 요소보다 작지 않은 S의 요소다.일부 사전 정렬된 집합의 부분 집합 S의 최소 요소는 S의 다른 요소보다 크지 않은 S의 요소로 정의된다.

최대 원소와 최소 원소의 개념은 각각 최대 원소와 최소 원소로 알려진 최대 원소와 최소 원소의 개념보다 약하다.사전 정렬된 집합의$$ 하위 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 최대값은 $S{\displaystyle }$${\displaystyle$ $S$$}$의 요소로서$$, S , ${\displaystyle$ S$}$의 다른 요소보다 크거나 같으며$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 최소값은 다시 한 번에 정의된다$$.부분적으로 정렬된 세트의 특별한 경우, 최대 한 개, 최대 한 개까지 있을 수 있지만 최대 한 개 이상의 최대 또는 최소 요소가 여러 개 있을 수 있다.^[1][2]완전히 순서가 정해진 집합까지 더 전문화하면, 최대 원소와 최대 원소의 개념은 일치하고 최소 원소와 최소의 개념은 일치한다.

예를 들어, 컬렉션에서

격납 장치에 의해 정렬된 {d, o} 요소는 집합에 세트가 없으므로 최소값이고, {g, o, a, d} 요소는 이를 포함하는 집합이 없으므로 최대값이며, {d, o, o, f} 요소는 최소값과 최대값이다.$이$와는 대조적으로$$S. {\$displaystyle$ S$.}$에 대한 최대값이나 최소값이 존재하지 않는다.

조른의 보조정리기는 모든 완전 주문 부분 집합이 상한을 가지는 부분 주문 집합은 적어도 하나의 최대 요소를 포함하고 있다고 말한다.이 보조마차는 잘 정돈된 정리 및 선택의^[3] 공리와 동등하며, 한-바나흐 정리, 키르즈즈즈브라운 정리, 타이코노프의 정리, 모든 벡터 공간에 대한 하멜 기초의 존재, 모든 분야에 대한 대수적 폐쇄의 존재와 같은 다른 수학적 영역에서 주요한 결과를 내포하고 있다.

정의

Let ${\displaystyle (P,\leq )}$ be a preordered set and let ${\displaystyle S\subseteq P.}$ A maximal element of ${\displaystyle S}$ with respect to ${\displaystyle \,\leq \,}$ is an element ${\displaystyle m\in S}$ such that

$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S}$이(가) ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \le }$ s${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ m$\leq s,}$을(를) 만족하는 경우 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ m${\displaystyle }$. ${\displaystyle s\leq$ m$.}$을(를) 반드시 ${\displaystyle \mathrm{충족}}$해야 한다.

마찬가지로 ${\displaystyle \le }$ ${\$에 대한 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 최소 요소는 다음과 같은$$ 요소 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \in }$ S ${\displaystyle m\in S}$이다.

$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S}$이(가) ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \le }$ m${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ s$\leq$ m$,}$을(를) 충족하면 반드시 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle s}$. ${\displaystyle m\leq s.}$

Equivalently, ${\displaystyle m\in S}$ is a minimal element of ${\displaystyle S}$ with respect to ${\displaystyle \,\leq \,}$ if and only if ${\displaystyle m}$ is a maximal element of ${\displaystyle S}$ with respect to ${\displaystyle \,\geq ,\,}$ where by definition, ${\displa$$ystyle q\geq$ p$}$ $p{\displaystyle q}$ q$${\$displaystyle$ p$\leq}$인 경우에만 $해당$됨${\displaystyle (\mathrm{모든}}$ p , q,${\displaystyle q}$ ${\displaystyle$ p$,q\in$ P$}).$

If the subset ${\displaystyle S}$ is not specified then it should be assumed that ${\displaystyle S:=P.}$ Explicitly, a maximal element (respectively, minimal element) of ${\displaystyle (P,\leq )}$ is a maximal (resp. minimal) element of ${\displaystyle S:=P}$ with respect to ${\display$$스타일 \,\leq .}$

If the preordered set ${\displaystyle (P,\leq )}$ also happens to be a partially ordered set (or more generally, if the restriction ${\displaystyle (S,\leq )}$ is a partially ordered set) then ${\displaystyle m\in S}$ is a maximal element of ${\displaystyle S}$ if and only if ${\displaystyl$$e S}$은(는${\displaystyle )}$m; {\$displaystyle$ m$;}$보다 엄격히 큰 요소를 포함하지$$ 않으며, 이는 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$ {\$displaystyle$ m$\leq s}$ $및$ m${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle s}$. {\$displaystyle m\$neq $s.}$과$($는) 같은 ${\displaystyle \in }$ $S{\displaystyle }$ ${\\displaystystylease$ s {\$}$이 없음을 의미한다.$$ 최소 요소에 대한 특성은 ${\displaystyle \le }$. ${\displaystyle \,\$$geq$ $\,}$을(를) 대신 사용하여$$ 얻는다.

존재와 고유성

최대 요소들은 존재할 필요가 없다.

예 1: ${\displaystyle S\mathbb{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle \subseteq }$ R ${\$를) 두십시오. $여기$서 R ${\$은 실제 숫자를 나타낸다$.$$모든{\displaystyle }$ $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle m\in$ S$,}$ $s$${\displaystyle }$= m${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle$ s$=m+1\$$in$ $S}$ 그러나$$ < ${\displaystyle m\leq s},$ $m$${\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$ ${\displaystym$ m$=s}.$

Example 2: Let ${\displaystyle S=\{s\in \mathbb {Q} ~:~1\leq s^{2}\leq 2\},}$ where ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ denotes the rational numbers and where ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ is irrational.

In general ${\displaystyle \,\leq \,}$ is only a partial order on ${\displaystyle S.}$ If ${\displaystyle m}$ is a maximal element and ${\displaystyle s\in S,}$ then it remains possible that neither ${\displaystyle s\leq m}$ nor ${\displaystyle m\leq s.}$ This leaves open the possi두 가지 이상의 최대 요소가 존재한다는 빈도

Example 3: In the fence ${\displaystyle a_{1}<b_{1}>a_{2}<b_{2}>a_{3}<b_{3}>\ldots ,}$ all the ${\displaystyle a_{i}}$ are minimal and all ${\displaystyle b_{i}}$ are maximal, as shown in the image.

Example 4: Let A be a set with at least two elements and let ${\displaystyle S=\{\{a\}~:~a\in A\}}$ be the subset of the power set ${\displaystyle \wp (A)}$ consisting of singleton subsets, partially ordered by ${\displaystyle \,\subseteq .}$ This is the discrete poset where no two elements are comparable and thus every element ${\displaystyle \{a\}\in S}$ is maximal (and minimal); moreover, for any distinct ${\displaystyle a,b\in A,}$ neither ${\displaystyle \{a\}\subseteq \{b\}}$ nor ${\displaystyle \{b\}\subseteq \{a\}.$$}$

최대요소

을 부분적으로 순서 집합(P, ≤), x의<>에 의해 정의된다; 베{\displaystyle x<, y}if)y{\displaystyle x\leq y}, 탭≠는 y. ≤{\displaystyle x\neq y.}임의의 경우 ≤{\displaystyle \,\leq\와 같이,}의 재귀적이지 않은 커널<>로 표시됩니다;{\displaystyle \,<, \,}{\displaystyle(P,\leq),}.회원들${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle x,y\in P,}$ 정확히$$ 다음 사례 중 하나가 적용된다.

1. < y ${\displaystyle x<y}$;
2. ${\displaystyle x}$= y ${\displaystyle x=y}$;
3. < x ${\displaystyle y<x}$;
4. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$과 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$은(는) 비교할 수 없다.

${\displaystyle \mathrm{부분}}$ 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ P ${\displaystyle S\subseteq P}$ 및 일부$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle$ x$\in S,}$

• 사례 1이 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle y\in$ S$,}$에 적용되지 않는 경우, $x$ ${\displaystyle x}$은 $위$에서 정의한 S$$${\displaystyle }$, ${\displaystyle S}$의 최대 요소임$$.
• 사례 1과 사례 4가 어떠한 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle y\in$ S$,}$에도 적용되지 않는 경우, $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$는 $S{\displaystyle }$ . ${\displaystyle$ S}의 가장 큰 요소라고 불린다$.$

따라서 최대 원소의 정의는 최대 원소의 정의보다 강하다.

동등하게 하위 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 최대 요소는${\displaystyle }S{\displaystyle }$.^{[proof 1]} {\$displaystyle S}$의 다른 모든 요소보다 큰$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 요소로 정의할 수 있다$$$.$

$S{\displaystyle }$, ${\displaystyle S,}$의 가장 큰 원소는 S ,${\displaystyle S,}$의 최대 원소이기도 하고 유일한$$^{[proof 2]} 원소다.^{[proof 3]}대조적으로 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 최대 요소가 여러 개 있으면$$ 가장 큰 요소를 가질 수 없다. 예 3을 참조하십시오.$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 오름차순 체인 조건을 만족하는$$ 경우, $P{\displaystyle }${\$displaystyle$P}의$$ 하위 $집합{\displaystyle }$ S$${\$displaystyle S}$이(가) 최대 요소 하나를 갖는 경우에만 최대 요소를 갖는다$$.^{[proof 4]}

${\displaystyle \le }$ ${\$을(를) S ${\displaystyle S}$에 대한 전체 순서(${\displaystyle }$ 위쪽의 그림에서$$ S${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$4 ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle S=\{1,2,4\}}}})$로 제한하면 최대 원소와 최대 원소의 개념이 일치한다.^{[proof 5]}이것은 필요한 조건이 아니다. $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 가장 큰 요소를 가질$$ 때마다 상술한 개념도 일치한다.$P{\displaystyle }$. ${\displaystyle P.}$의 2개 요소 부분 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 최대 요소와 최대 요소의 개념이 일치할 경우$$ ${\displaystyle \le }$ ${\$은(는) $P{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ P$.}$의 총 주문이다$$.

지시된 집합

완전히 순서가 정해진 집합에서 최대 요소와 최대 요소라는 용어가 일치하므로, 두 용어는 총 주문만 고려하는 분석과 같은 분야에서 서로 교환하여 사용된다.이 관찰은 부분적으로 주문한 집합의 완전 순서 하위 집합뿐만 아니라 지시된 집합을 통한 순서 이론적 일반화에도 적용된다.지시된 집합에서 모든 요소 쌍(특히 비교할 수 없는 원소의 쌍)은 집합 내에서 공통 상한을 가진다.지시된 집합이 최대 요소를 가지고 있다면, 그것은 또한 최대 요소로서,^{[proof 7]} 따라서 그것의 유일한 최대 요소다.최대 또는 최대 요소가 없는 지시 집합의 경우 위의 예 1과 2를 참조하십시오.

비슷한 결론은 최소한의 요소에도 적용된다.

더 자세한 소개 정보는 순서 이론에 관한 글에서 찾을 수 있다.

특성.

• 각 유한 비빈 부분 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에는 최대 요소와 최소 요소가 모두 있다$$.예를 들어, 무한 부분 집합에는 일반적인 순서의 정수$$ $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$가) 있을 필요가 없다.
• 부분 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 최대 요소 집합은 항상 반제(antichain)이며, 즉$,$ S {\$displaystyle$S}의 다른 최대 요소 두 가지는 비교가$$ 되지 않는다.최소요소에도 동일하게 적용된다.

예

• 파레토 효율에서 파레토 최적은 파레토 개선의 부분 순서에 관한 최대 요소로서, 최대 요소 세트를 파레토 프런티어라고 한다.
• 결정 이론에서 인정된 결정 규칙은 지배적인 결정 규칙의 부분적 순서에 관한 최대 요소다.
• 현대 포트폴리오 이론에서는 리스크와 수익에 대한 제품 질서와 관련하여 최대 요소들의 집합을 효율적인 프런티어라고 부른다.
• 집합 이론에서 집합은 모든 비어 있지 않은 하위 집합의 가족이 포함 관계에 의해 정렬되었을 때 최소 요소를 갖는 경우에만 유한하다.
• 추상 대수학에서, 최대 공통 구분자의 개념은 원소 집합의 공통 구분자가 둘 이상의 최대 요소를 가질 수 있는 숫자 시스템에 최대 공통 구분자를 일반화하기 위해 필요하다.
• 계산 기하학에서 점 집합의 최대치는 좌표상 지배의 부분적인 순서와 관련하여 최대값이다.

소비자 이론

경제학에서는 부분 순서 대신 사전 순서(일반적으로 총 사전 순서)를 사용하여 비대칭의 공리를 완화할 수 있다. 최대 요소와 유사한 개념은 매우 유사하지만 아래에 자세히 설명된 바와 같이 다른 용어를 사용한다.

소비자 이론에서 소비 공간은 어떤 세트 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이고$,$ 일반적으로 각 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle$ x$\in X}$이(가) 경제의 각 기존 상품에 대해 지정된 소비량을 나타내도록 일부 벡터 공간의 양의 직교량이다.Preferences of a consumer are usually represented by a total preorder ${\displaystyle \preceq }$ so that ${\displaystyle x,y\in X}$ and ${\displaystyle x\preceq y}$ reads: ${\displaystyle x}$ is at most as preferred as ${\displaystyle y}$. When ${\displaystyle x\preceq y}$ and ${\displaystyle y⪯}$${\displaystyle x}$ $[\displaystyle$ $y$$\preceq x}$ x ${\displaystyle$ x$}$과(와) $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ 사이에 소비자가 무관심한 것으로 해석되지만$$ $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$. ${\displaysty x=y$라고 단정할 이유는 없다$.$$}$ 선호$$ 관계는 결코 비대칭이라고 가정하지 않는다.이 맥락에서, ${\displaystyle \mathrm{어떤}}$ $B{\displaystyle ,}$ X$$, {\$displaystyle$B\$subseteq$ X$,}$ 요소의 $경우{\displaystyle }$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ B ${\displaystyle x\in B}$은(는) 최대 요소라고 한다$$.

$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⪯}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\preceq x}$을(를) 암시하며, 여기서$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle x\$$preceq$ $y$$},$ x ${\displaystyle ⪯}$ ${\displaystyle y}$ ${\$$displaystyle$ $x$$\preceq x.}$라는 $의미$에서 $다른$ 번들에 $의해{\displaystyle }$ 지배되지 않는 소비 번들로 해석된다.

공식적 정의는 주문된 집합에 대한 가장 큰 요소의 정의와 매우 유사하다는 것을 언급해야 한다.그러나 $⪯{\displaystyle }$ ${\displaystyle \preceq }$이(가) 사전 주문일$$ 때 위의 속성을 가진$$ $요소{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$은 주문의 최대 요소와 매우 비슷하게 동작한다.For instance, a maximal element ${\displaystyle x\in B}$ is not unique for ${\displaystyle y\preceq x}$ does not preclude the possibility that ${\displaystyle x\preceq y}$ (while ${\displaystyle y\preceq x}$ and ${\displaystyle x\preceq y}$ do not imply ${\displaystyle x=y}$ b단순히 무관심 $x{\displaystyle }$~ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle$ x$\sim y}$ $$.선호 사전 주문에 대한 가장 큰 요소의 개념은 가장 선호하는 선택일 것이다.즉, 일부$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x\in$ B}과$($와)

$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle x}$. ${\displaystyle$ y$\reason$ x$.}$을(를) 암시함

분명한 적용은 수요 대응의 정의에 있다.Let ${\displaystyle P}$ be the class of functionals on ${\displaystyle X}$. An element ${\displaystyle p\in P}$ is called a price functional or price system and maps every consumption bundle ${\displaystyle x\in X}$ into its market value ${\displaystyle p(x)\in \mathbb {R} _{+}}$.예산 서신은 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ :${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle \times }$ R${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$→ X $[\displaystyle \Gamma$ \$colon P\times \mathb$ {R} $_{+}\$오른쪽 화살표 $X})$의 통신으로, 모든 가격 시스템과 소득 수준을 하위 집합으로 매핑한다$$.

$수요$ 대응은 모든 $가격{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$ 및$$ 소득 수준 $m{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$$m}$을(를$)$, ${\displaystyle m}$)의 최대 요소$$ 집합에 매핑한다$$$.$

$이론상{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$과$$m {\$displaystyle$ x$^{*}}}$에 대해 $소비자{\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}}$∗$${\$displaystyle x^{\d(p,m$의 합리적인 선택이 어떤 $요소{\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle {}^{}}$ D$p$가 될 것으로$$ 예측하기 때문에 수요 대응이라고 한다$.$$}$

관련 개념

A subset ${\displaystyle Q}$ of a partially ordered set ${\displaystyle P}$ is said to be cofinal if for every ${\displaystyle x\in P}$ there exists some ${\displaystyle y\in Q}$ such that ${\displaystyle x\leq y.}$ Every cofinal subset of a partially ordered set with maximal elements must conta모든 최대 요소에서

A subset ${\displaystyle L}$ of a partially ordered set ${\displaystyle P}$ is said to be a lower set of ${\displaystyle P}$ if it is downward closed: if ${\displaystyle y\in L}$ and ${\displaystyle x\leq y}$ then ${\displaystyle x\in L.}$ Every lower set ${\displaystyle L}$ of a유한 순서 $집합{\displaystyle }$ P ${\displaystyle P}$은(는) $L{\displaystyle }$. ${\displaystyle L.}$의 모든 최대 요소를 포함하는 가장 작은 하위 집합과 동일함$$

참고 항목

• 최대 원소 및 최소 원소 – 원소 ≥(또는 )) 서로 원소
• 최소값 및 최대값 – 최대 하한 및 최소 상한
• 상한 및 하한 – 수학 전공 및 부전공

메모들

교정쇄

참조