대수적 폐쇄

수학, 특히 추상대수학에서 필드 K의 대수적 폐쇄는 대수적으로 닫힌 K의 대수적 확장이다.그것은 수학의 많은 폐쇄 중 하나이다.null

조른의 보조정리나^[1][2][3] 약한 초박막 보조정리기를 사용하면 모든 분야가 대수적 폐쇄를 가지고 있으며, 필드 K의 대수적 폐쇄는 K의 모든 구성원을 고정시키는 이소모르프까지 유일하다는 것을 알 수 있다.^[4][5]이러한 본질적인 고유성 때문에 우리는 종종 K의 대수적 폐쇄보다는 K의 대수적 폐쇄에 대해 이야기한다.

필드 K의 대수적 폐쇄는 K의 가장 큰 대수적 확장이라고 생각할 수 있다.이를 보기 위해 L이 K의 대수적 확장인 경우 L의 대수적 폐쇄도 K의 대수적 폐쇄인 것이므로 L은 K의 대수적 폐쇄 안에 포함되어 있다는 점에 유의한다.K의 대수적 폐쇄 또한 K를 포함하는 대수적으로 닫힌 가장 작은 필드인데, M이 K를 포함하는 어떤 대수적으로 닫힌 필드라면 K에 대한 대수학인 M의 원소들이 K의 대수적 폐쇄를 형성하기 때문이다.

필드 K의 대수적 폐쇄는 K가 무한하면 K와 카디널리티가 같고, K가 유한하면 헤아릴 수 없이 무한하다.^[3]null

예

• 대수학의 기본 정리는 실수의 장에 대한 대수적 폐쇄가 복합수의 장이라고 명시하고 있다.
• 합리적 수 영역의 대수적 폐쇄는 대수적 수들의 분야다.
• 복잡한 숫자 내에는 대수적으로 닫히는 필드가 많고, 대수적 숫자의 필드를 엄격히 포함한다. 이것들은 합리적인 숫자의 초월적 확장의 대수적 폐쇄(예: Q(()의 대수적 폐쇄)이다.
• prime power order q의 유한한 영역에 대해 대수적 폐쇄는 각 양의 정수 n에 대해 순서 q의ⁿ 필드(사실상 이 복사본의 결합)의 복사본을 포함하는 카운트할 수 있는 무한의 필드다.^[6]

대수적 폐쇄 및 분할 영역의 존재

$S{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$ ${\displaystyle \in }$ ∈ } } }${\displaystyle }$} ${\displaystyle$ S$=\{f_{\lambda$}$\lambda \in \Lambda \}}}$은(는) K[x]의 모든 단일 불가역 다항식의 집합이다$$.For each ${\displaystyle f_{\lambda }\in S}$, introduce new variables ${\displaystyle u_{\lambda ,1},\ldots ,u_{\lambda ,d}}$ where ${\displaystyle d={\rm {degree}}(f_{\lambda })}$. Let R be the polynomial ring over K generated by ${\displa$$ystyle u_{\lambda ,i}$ 모든$$ ${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$ ${\displaystyle \in }$ ∈${{\displaystyle$\lambda \in $\lambda$ \$in$ \$lambda }$ 및 all${\displaystyle }i{\displaystyle }$ ${\displaystyle d\mathrm{}}$ e ${\displaystyle \mathrm{g}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle ({}_{}}$ $λ$) ${\displaystystyleq {\rm {do}(f_{\lambda$ $\}\}\}\}\}\}.$ 쓰십시오.

${\displaystyle f_{\lambda }-\prod _{i=1}^{d}(x-u_{\lambda, i})=\sum _{j=0}^{d-1r_{\lambda,j}\cdot x^{j}\in R[x]}}$

$r{\displaystyle {}_{\lambda }}$ , ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r_{\lambda$,${\displaystyle j_{}}$$}\in$ R$\}.$ $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda ,}_{}}$ ${\$에 의해 생성된 R에 내가 이상적이 되게 하라$.$ 나는 R보다 엄격히 작기 때문에, Jorn의 보조자는 I가 포함된 R에 최대 이상 M이 존재함을 암시한다.K₁=R/M 필드는 K에 계수가 있는$$ 모든 다항식 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\$이 x - (${\displaystyle u_{}}$ $-$, i + ${\displaystyle M){}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle x-(u_{\lambda ,i}+M)$의 곱으로 분할되는 속성을 가지므로$$ K에₁ 모든 뿌리를 두고 있다.K의₁ 연장 K도₂ 같은 방법으로 건설할 수 있다.이 모든 확장의 조합은 K의 대수적 폐쇄인데, 왜냐하면 이 새로운 영역에 계수가 있는 다항식은 n이 충분히 큰 일부 K에_n 계수를 가지고 있고, 그 뿌리는_n+1 K에 있고, 따라서 결합 자체에 있기 때문이다.null

K[x]의 어떤 부분 집합 S에 대해서도 K에 대한 S의 분할 영역이 존재한다는 것을 동일한 선을 따라 표시할 수 있다.

분리마감

K의 대수적 닫힘^alg K는 K의^alg 고유한 분리 가능한 확장^sep K를 K 내에 있는 모든 (알지브라질) 분리 가능한 확장자를 포함한다.이 하위 확장을 K의 분리 가능한 폐쇄라고 한다.분리 가능한 확장자의 분리 가능한 연장은 다시 분리할 수 있기 때문에, 도 > 1의 K의^sep 유한한 분리 가능한 연장은 없다. 이와는 달리, K는 분리 닫힌 대수적 확장장에 포함되어 있다.그것은 독특하다(이형성까지).^[7]null

분리 가능한 닫힘은 K가 완벽한 필드인 경우에만 전체 대수적 닫힘이다.예를 들어 K가 특성 p의 필드이고 X가 K보다 ${\displaystyle \mathrm{초월적}}$인 경우 $K{\displaystyle }$( ${\displaystyle X\text{exception 25:}}$) (${\displaystyle \text{exception 25:}}$) ${\displaystyle \supset }$ K${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$ )${\displaystyle K(X$) $({\sqrt[{p}]{X})}\supset K(X)}$는 분리할$$ 수 없는 대수적 필드 확장이다.null

일반적으로 K의 절대 갈루아 그룹은 K^sep over K의 갈루아 그룹이다.^[8]

참고 항목

• 대수적으로 닫힌 장
• 대수확장
• 푸이섹스 확장
• 전체 필드

참조

• Kaplansky, Irving (1972). Fields and rings. Chicago lectures in mathematics (Second ed.). University of Chicago Press. ISBN 0-226-42451-0. Zbl 1001.16500.
• McCarthy, Paul J. (1991). Algebraic extensions of fields (Corrected reprint of the 2nd ed.). New York: Dover Publications. Zbl 0768.12001.