전환율 매트릭스

확률론에서 전환율 매트릭스(강도 매트릭스^[1][2] 또는 최소 발전기 매트릭스라고도^[3] 한다)는 연속 시간 마코프 체인이 상태 간에 전환되는 순간 속도를 설명하는 숫자의 배열이다.

전환율 매트릭스 Q(때로는 작성된^[4] A) 요소 q_ij(i ≠ j의 경우)는 i에서 출발하여 상태 j에 도달하는 비율을 나타낸다.대각선 원소 Q는_ii 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle q_{i}=-\sum _{j\neq i}q_{ij}.}$

따라서 행렬의 행은 합이 0이다(정의 섹션의 조건 3 참조).

정의

Q 행렬(q_ij)은 다음 조건을^[5] 만족한다.

1. ${\displaystyle 0\leq -q_{i}<\displaystyle }$
2. ${\displaystyle 0\leq q_{ij}\mathrm {for} \;i\neq j}$
3. ${\displaystyle \sum _{j}q_{ij}=0:\mathrm {for} \\mathrm {all} \;i}$

이 정의는 정점이 마르코프 체인의 상태에 해당하는 지시된 가중 그래프의 라플라크어로 해석할 수 있다.

예

M/M/1 대기열은 속도 μ인 도착과 속도 μ인 서비스를 사용하여 대기열 시스템의 작업 수를 계산하는 모델로서 전환율 매트릭스를 가진다.

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-\lambda &\lambda \\\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&&\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda &\\&&&&\ddots \end{pmatrix}}.}$

참조