로그 분포

로그

확률 질량 함수 함수는 정수 값에서만 정의된다.연결선은 단지 눈을 위한 안내선일 뿐이다.
누적분포함수
매개변수	${\displaystyle 0<1}$
지원	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\ldots \}}$
PMF	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}}}$
CDF	${\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B}(p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$
평균	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}}$
모드	${\displaystyle 1}$
분산	${\displaystyle -{\frac {p^{2}+p\ln(1-p)}{(1-p)^{2}(\ln(1-p))^{2}}}}$
MGF	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pe^{t})}{\ln(1-p)}{\text{{}}{}}}}{\text{} for }}}}}}}$
CF	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pe^{it}}}}{\ln(1-p)}}$
PGF	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}{\text{{}}}}$

확률과 통계에서 로그 분포(로그 시리즈 분포 또는 로그 시리즈 분포라고도 함)는 Maclaurin 시리즈 확장에서 파생된 이산 확률 분포다.

${\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac{p^{2}}:{{p^{3}{3}}}{\frac{p^{3}}}}$

이것으로부터 우리는 정체성을 얻는다.

${\displaystyle \sum \{k=1}^{\inflat }{-1}{\ln(1-p)}\;{\frac {p^{k}}}{k}=1.}$

이는 로그(p) 분산 랜덤 변수의 확률 질량 함수로 직접 이어진다.

${\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}}}}$

k ≥ 1의 경우, 그리고 0 < p < 1. 위의 정체성 때문에 분포가 적절하게 정상화된다.null

누적분포함수는

${\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B}(p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$

여기서 B는 불완전한 베타 함수다.null

Log(p) 분산 랜덤 변수와 조합된 포아송은 음의 이항 분포를 가진다.즉, N이 포아송 분포를 갖는 랜덤 변수이고, X_i = 1, 2, 3, ...가 각각 로그(p) 분포를 갖는 독립적으로 분포된 랜덤 변수의 무한 시퀀스라면,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{{N}X_{i}}}}$

음의 이항 분포를 가지고 있다.이런 식으로 음이항 분포는 복합 포아송 분포로 보인다.null

R. A. Fisher는 상대적인 종의 풍요를 모형화하는 데 사용한 논문에서 로그 분포를 설명했다.^[1]null

참고 항목

• 포아송 분포(Maclaurin 시리즈에서도 파생됨)

참조

추가 읽기

• Johnson, Norman Lloyd; Kemp, Adrienne W; Kotz, Samuel (2005). "Chapter 7: Logarithmic and Lagrangian distributions". Univariate discrete distributions (3 ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-27246-5.
• Weisstein, Eric W. "Log-Series Distribution". MathWorld.