쌍곡선 3-매니폴드

수학에서, 위상학과 미분 기하학에서, 쌍곡선 3-매니폴드는 쌍곡선 메트릭을 갖춘 차원 3의 다양체이다. 즉, 모든 단면 곡선이 -1과 같은 리만 메트릭이다.일반적으로 이 메트릭도 완전해야 한다. 이 경우 다지관은 이산적인 등각선 그룹(Kleinian 그룹)에 의해 3차원 쌍곡선 공간의 몫으로 실현될 수 있다.

페렐만이 증명한 서스턴의 기하학적 추측으로부터 다음과 같이 유한 부피의 쌍곡선 3-매니폴드는 3차원 위상학에서 특히 중요하다.클라이니아 군 연구는 또한 기하학적 군 이론에서 중요한 주제이다.

토폴로지에서의 중요성

쌍곡선 기하학은 차원 3의 8개의 기하학 중 가장 풍부하고 이해도가 낮다(예를 들어, 다른 모든 기하학에서는 이 기하학으로 유한 체적 다양체를 명시적으로 열거하는 것이 어렵지 않지만, 이는 쌍곡선 다양체의 경우와는 거리가 멀다).기하학 추측의 증명 후에 쌍곡선 3-매니폴드의 위상 특성을 이해하는 것이 3차원 위상의 주요 목표이다.칸-마코비치, 와이즈, 아골 등의 최근의 비약적인 발전은 이 주제에 대한 가장 오랜 미해결 질문에 답했지만,^[1] 아직 해결되지 않은 덜 중요한 질문들이 많이 있다.

치수 2에서는 거의 모든 닫힌 표면이 쌍곡선입니다(구, 투영 평면, 토러스 및 클라인 병을 제외한 모든 표면).차원 3에서 이것은 사실과 거리가 멀다: 무한히 많은 비고압 폐쇄 다지관을 구성할 수 있는 많은 방법이 있다.반면에, "일반적인 3-매니폴드는 쌍곡선 경향이 있다"는 발견적 진술은 많은 맥락에서 검증된다.예를 들어, 위성 매듭이나 토러스 매듭이 아닌 모든 매듭은 ^[2]쌍곡선이다.게다가 쌍곡선 매듭의 거의 모든 Dehn 수술은 쌍곡선 다지관을 낳는다.링크(Thurston의 쌍곡선 Dehn 수술 정리)에도 유사한 결과가 적용되며, 모든 3-매니폴드는 3-구체의 링크에서 수술로 획득되기 때문에 이것은 비공식 진술에 더 정확한 의미를 부여한다."거의 모든" 다양체가 차원 3에서 쌍곡선이라는 또 다른 의미는 랜덤 모델의 그것이다.예를 들어 최소 2개의 속은 거의 확실히 쌍곡선이다(접착 지도의 복잡도가 무한대로 ^[3]갈 때).

3-매니폴드의 쌍곡선 기하학과 그것의 위상과의 관련성은 유한 부피의 쌍곡선 3-매니폴드의 쌍곡선 구조가 그것의 호모토피 유형에 의해 유일하게 결정된다는 Mostow 강성 정리에서 비롯된다.특히 부피와 같은 기하학적 불변량을 사용하여 새로운 위상 불변량을 정의할 수 있다.

구조.

유한 부피의 다양체

이 경우 다지관의 형상을 이해하는 중요한 도구 중 하나는 두께가 얇은 분해입니다.이는 유한 부피의 쌍곡선 3-매니폴드가 두 부분으로 분해된다는 것을 나타냅니다.

• 주입 반지름이 절대 상수보다 큰 두꺼운 부분
• 그리고 그 보완물인 얇은 부분은 고체 토리와 쿠스의 분리된 결합이다.

기하학적으로 유한한 다양체

두께-얇은 분해는 모든 쌍곡선 3-마니폴드에 유효하지만 일반적으로 얇은 부분은 위에서 설명한 것과 같지 않습니다.쌍곡선 3-매니폴드는 접히는 볼록한 서브매니폴드(볼록한 코어)를 포함하고 두꺼운 부분이 콤팩트하다면 기하학적으로 유한하다고 한다(모든 다양체가 볼록한 코어를 가지고 있지만 일반적으로 ^[4]콤팩트하지 않다).가장 간단한 경우는 다양체에 "cusps"(즉, 기본 그룹은 포물선 요소를 포함하지 않음)가 없는 경우이며, 이 경우 다양체는 이 부분 집합에 대해 공압적으로 작용하는 그룹에 의해 닫힌 볼록 부분 집합의 몫인 경우에만 기하학적으로 유한하다.

최종 생성된 기본 그룹을 가진 다지

이것은 만족스러운 구조 이론이 있는 쌍곡선 3-매니폴드의 더 큰 클래스입니다.다음 두 가지 이론이 있습니다.

• 이러한 다양체가 경계가 있는 콤팩트 다양체의 내부와 동형임을 나타내는 변조성 정리
• 콤팩트 다양체 내부의 쌍곡 구조를 "끝 불변량"에 의해 분류하는 끝 적층 정리.

유한 부피의 쌍곡선 3-마니폴드의 구성

쌍곡선 다면체, 반사 그룹

적어도 Poincaré까지 거슬러 올라가는 쌍곡 다지체의 가장 오래된 구조는 다음과 같습니다: 3차원 쌍곡 유한 다지체의 유한 집합에서 시작합니다.이러한 다면체의 2차원 면 사이에 측면 쌍이 있다고 가정하고(즉, 이러한 각 면이 서로 등각성이 되도록 다른 면과 쌍을 이루며 2차원 쌍곡선 다각형으로 서로 등각성이 되도록 한다), 쌍을 이룬 면을 함께 붙여 얻은 공간을 고려한다(공식적으로 이것은 몫 공간으로 구함).다면체의 1-스켈레톤 이미지 외부에 잘 정의된 쌍곡선 메트릭을 가지고 있습니다.이 메트릭은 다음 두 조건이 ^[5]충족되면 공간 전체에서 쌍곡선 메트릭까지 확장됩니다.

• 접착제의 각 (비표준) 정점에 대해 해당 정점이 속한 다면체의 입체 각도의 합계는 4µ$({displaystyle$ 4$\pi$와 같다.
• 접착제의 각 모서리에 대해 해당 모서리가 속한 다면체의 이면각 합계는 ${\displaystyle \mathrm{2\mu }}$ ${displaystyle$ 2$\pi}$와 $같습니다.$

이 구성의 주목할 만한 예는 정십이면체의 반대쪽 면을 접착하여 얻은 세이퍼트-베버 공간이다.

이 구성의 변형은 쌍곡선 콕서터 폴리토프(이면각이${\displaystyle \theta }$ /${\displaystyle m}$ , m${\displaystyle n\mathbb{}}$N { $displaystyle \pi / m$ , $m$\ $in \mathbb${$N }$ )를 사용하는 것입니다.이러한 폴리토프는 쌍곡선 공간의 등각성의 이산 부분군인 클라이니아 반사군을 일으킨다.비틀림 없는 유한 지수 서브그룹을 취하면 쌍곡선 다지관을 얻을 수 있다(이전 구조에 의해 회복될 수 있으며, 적절한 슈라이어 코세트 그래프로 규정된 방법으로 원래의 콕서터 폴리토프의 복사본을 붙인다).

이상적인 사면체 및 쌍곡선 Dehn 수술 접착

이전 구조에서 얻은 매니폴드는 항상 소형입니다.커스가 있는 다지관을 얻으려면 이상적인 정점(즉, 무한대의 구에 있는 정점)을 가진 폴리토프를 사용해야 한다.이 설정에서는 접착 구조가 항상 완전한 다지관을 생성하는 것은 아닙니다.완전성은 이상적인 정점에 인접한 가장자리 주변의 이면각을 포함하는 방정식 시스템에 의해 감지되며, 이는 일반적으로 서스턴의 접착 방정식이라고 불린다.접착이 완료된 경우 이상적인 정점은 다지관에서 커스(cusp)가 됩니다.이렇게 해서 얻어진 비콤팩트, 유한 부피 쌍곡선 다지관의 예로는 정칙적인 이상 쌍곡선 사면체의 면을 함께 접착하여 구성된 기제킹 다지관이 있다.

접착이 완료되지 않은 경우 유한 체적의 완전한 쌍곡선 다지관을 구성할 수도 있습니다.이 경우 얻어진 미터법 공간의 완성은 토러스 경계를 가진 다양체이며, 일부(일반적이지 않은) 조건에서는 각 경계 구성요소에 쌍곡선 고체 토러스를 접착하여 결과 공간이 완전한 쌍곡선 메트릭을 가질 수 있다.위상적으로, 다지관은 완전한 쌍곡선 다지관에 대한 쌍곡선 Dehn 수술에 의해 얻어지며, 완전한 접착에서 비롯된다.

유한 부피의 모든 쌍곡선 3-매니폴드가 이러한 ^[6]방식으로 구성될 수 있는지는 알려지지 않았다.그러나 실제로는 이것이 계산 소프트웨어(SnapPea 또는 Regina 등)가 쌍곡선 ^[7]매니폴드를 저장하는 방법입니다.

산술적 구성

4분위 대수의 산술적 클라이니아 군의 구성은 특히 흥미로운 쌍곡 다양체를 만들어낸다.반면, 그들은 어떤 의미에서 쌍곡선 3-매니폴드 사이에 "희귀한" 존재이다(예를 들어 고정 다지관에 대한 쌍곡선 Dehn 수술로 거의 모든 파라미터에 대해 비산술 다양체가 된다).

이원화 정리

위의 명시적 구조와는 대조적으로 순수하게 위상 정보로부터 3-매니폴드의 완전한 쌍곡 구조의 존재를 추론할 수 있다.이는 기하학적 추측의 결과이며 다음과 같이 진술할 수 있다(때로는 "하이퍼볼라이제이션 정리"라고도 하며, 하켄 다양체의 특수한 경우 Thurston에 의해 증명되었다).

토릭 경계가 있는 콤팩트 3-매니폴드가 환원 불가능하고 대수적으로 아토로이얼($\$injective$$ messed torus가 경계 성분과 균질하다는 의미)인 경우, 그 내부는 유한 부피의 완전한 쌍곡선 메트릭을 가진다.

원 위의 표면 다발의 경우: 이러한 다양체는 항상 축소할 수 없으며, 단색성이 의사 아노소프 맵인 경우에만 완전한 쌍곡선 메트릭을 가지고 있습니다.

지오메트리제이션 추측의 또 다른 결과는 음의 단면 곡률을 가진 리만 메트릭을 받아들이는 닫힌 3-매니폴드는 사실상 일정한 단면 곡률 -1을 가진 리만 메트릭을 받아들인다는 것이다.이것은 더 ^[8]높은 차원에서는 사실이 아니다.

가상 속성

3-매니폴드의 위상 특성은 충분히 복잡하기 때문에 많은 경우 특성이 다지관 클래스에 대해 사실상 유지된다는 것, 즉 클래스 내의 모든 다지관에 대해 다지관의 유한한 피복 공간이 존재한다는 것을 아는 것이 흥미롭다.쌍곡선 3-매니폴드의 가상 성질은 발트하우젠과 서스턴이 제레미 칸, 블라드 마르코비치, 프레데릭 하글룬드, 다니 와이즈 등의 연구에 이어 최근 이안 아골에 의해 모두 증명한 일련의 추측의 대상이다.추측의 첫 부분은 사실상 하켄 추측과 논리적으로 관련이 있었다.강도의 순서는 다음과 같습니다.^[9]

1. (표면 부분군 추측)부피가 유한한 쌍곡선 다양체의 기본 그룹은 (자유롭지 않은) 표면 그룹(닫힌 표면의 기본 그룹)을 포함합니다.
2. (거의 하켄의 추측)유한 부피의 쌍곡선 3-매니폴드는 사실상 Haken이다. 즉, 임베딩이 기본 그룹 사이의 주입 지도를 유도하도록 내장된 닫힌 표면을 포함한다.
3. 유한 부피의 모든 쌍곡선 3-매니폴드는 0이 아닌 첫 번째 베티 수를 갖는 유한 덮개를 가진다.
4. 유한 부피의 모든 쌍곡선 3-매니폴드는 기본군이 비벨 자유군에 투영되는 유한 덮개를 가진다. (이러한 군을 보통 큰 군이라고 부른다.)

위의 1-3을 의미하지만 선험자는 4와 관련이 없는 또 다른 추측(Agol에 의해 증명됨)은 다음과 같습니다.

(5) (가상적으로 조작된 추측)유한 부피의 모든 쌍곡선 3-매니폴드는 원 위의 표면 다발인 유한 덮개를 가지고 있다.

모든 쌍곡선 3-마니폴드의 공간

기하학적 수렴

클라이니아 그룹의 시퀀스는 샤바우티 위상에 수렴하면 기하학적으로 수렴된다고 합니다.몫으로 얻어진 다양체의 경우, 이는 뾰족한 그로모프-하우스도르프 메트릭에서 수렴되는 것에 해당한다.

예르겐센서스턴 이론

쌍곡선 부피는 모든 쌍곡선 다양체의 공간을 정렬하는 데 사용할 수 있습니다.주어진 부피에 대응하는 다지관 집합은 최대 유한하며, 볼륨 집합은 잘 정렬되어 있고 순서 유형 ${\displaystyle {\delta }^{}}$ ${\$이다. 보다 정확히 말하면, 서스턴의 쌍곡선 Dehn 수술 정리는$$m {\$displaystyle$ m$}$의 다지관 집합이 있는 다지관 집합의 한계임을 암시한다.${\displaystyle l}$0< \ $displaystyle$0 \ $leq l$< m}에 대한 cusps$$. 따라서 격리된 지점은 콤팩트 매니폴드의 볼륨이며, 정확히 하나의 첨단이 있는 매니폴드는 콤팩트 매니폴드의 한계입니다.Jörgensen의 결과와 함께, 정리는 또한 모든 수렴 시퀀스가 한계 ^[10]다양체의 Dehn 수술에 의해 얻어져야 한다는 것을 증명한다.

준후키아 군

주어진 속 준후크시안 표면군의 배열은 이중 한계 정리와 같이 이중으로 퇴화된 표면군으로 수렴할 수 있다.

메모들

레퍼런스

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