희가르드 분열

기하학적 위상의 수학적 분야에서 희가르드 분할(Danish: [ [hehe̝ˀˀkkkkk] (듣기)은 콤팩트 지향적인 3매니폴드를 분해한 것으로, 이를 두 개의 핸들베이드로 나눈 데서 비롯된다.

정의들

V와 W는 속 g의 취급이 되게 하고, ƒ은 V의 경계에서 W의 경계로 동형성을 역행하는 방향이 되게 한다. ƒ을 따라 V를 W에 붙임으로써 우리는 콤팩트한 방향의 3-manifold를 얻는다.

M=V\cup _{f}W.

모든 폐쇄적이고 방향성이 있는 3-매니폴드는 그렇게 얻을 수 있다; 이것은 모이즈로 인해 3-매니폴드의 삼각성에 대한 깊은 결과로부터 온다.이는 부드러운 선형 구조나 조각 같은 선형 구조를 허용할 필요가 없는 고차원 다지관과 강하게 대비된다.희가르드 분열의 존재는 부드럽다고 가정하면, 모스 이론에서 비롯된 핸들 분해에 관한 스메일의 연구에서도 나타난다.

M을 두 개의 손잡이로 분해하는 것을 희가르드 분할이라고 하며, 이들의 공통 경계 H를 분열의 희가르드 표면이라고 한다.스플릿은 동위원소까지 고려된다.

접착 지도 ƒ은 H의 매핑 클래스 그룹에서 이중 코세트를 취할 때까지만 지정하면 된다.매핑 클래스 그룹과의 이러한 연결은 W. B. R. R. R. R. R. R. R. Rickorish에 의해 처음 이루어졌다.

또한 Heegaard splitting은 핸들베이스를 압축체로 대체함으로써 경계가 있는 소형 3-매니폴드에 대해 정의할 수 있다.접착 맵은 압축 본체의 양의 경계 사이에 있다.

닫힌 곡선은 점, 펑크 또는 경계 요소에 대해 동일시적이지 않은 경우 필수라고 한다.^[1]

H에 $\alpha$ V와 W의 디스크를 경계로 하는 필수 단순 폐쇄 곡선 $\alpha$ $\alpha$ 이(가) 있는 경우 Heegaard 분할은 축소할 수 없다. 분할은 축소할 수 없는 경우 취소할 수 없다.하켄의 보조정리에서는 모든 분할이 환원 가능한 다지관에서 환원될 수 있다는 것을 따른다.

A Heegaard splitting is stabilized if there are essential simple closed curves $\alpha$ and $\beta$ on H where $\alpha$ bounds a disk in V, $\beta$ bounds a disk in W, and $\alpha$ and $\beta$ interse딱 한 번만 ct를 찍다발트하우젠의 정리에서는 모든 환원 가능한 다지관의 분할이 안정화된다.

H에 $\beta$ 분리 필수 단순 폐쇄 곡선 $\alpha$ $\alpha$ 및 $\beta$ ${\displaystyle$ $\alpha }$ 이 $\alpha$ $\alpha$ (가) 있는 경우 희가드 분할은 약하게 축소할 수 있으며, 여기서 $\beta$ $\beta$ 은 $\beta$ 약하게 축소되지 않으면 강력하게 해석할 수 없다.le

Heegaard spliting은 하위 속 3-manifold의 주변 3-manifold의 다른 분할이 없다면 최소 또는 최소 속이다.쪼개지는 표면의 최소값 g는 M의 Heegaard속이다.

일반화 희가르드 스플릿

A generalized Heegaard splitting of M is a decomposition into compression bodies $V_{i},W_{i},i=1,\dotsc ,n$ and surfaces $H_{i},i=1,\dotsc ,n$ such that ${\displaystyle \partial _{+}V_{i}=\partial$ $_{+}W_{i}=$ $H_{i}}$ 및 $\partial _{+}V_{i}=\partial _{+}W_{i}=H_{i}$ $\partial _{-}W_{i}=\partial _{-}V_{i+1}$ - $\partial _{-}W_{i}=\partial _{-}V_{i+1}$ = $\partial _{-}W_{i}=\partial _{-}V_{i+1}$ - $\partial _{-}W_{i}=\partial _{-}V_{i+1}$ $\partial _{-}W_{i}=\partial _{-}V_{i+1}$ + $\partial _{-}W_{i}=\partial _{-}V_{i+1}$ ${\$ 압축 기관의 인테리어해야 할 쌍별 분할되고 그들의 조합해야 할 모든 M{M\displaystyle}. 표면은 Hi{\displaystyle H_{나는}}은submanifold V나는 나는 M{M\displaystyle}의 W_{나는}}{\displaystyle V_{나는}\cup W∪.(여기서 각 Vi과 위창수는 모든 점을 주목한 Heegaard 표면을 형성하다.o둘 이상의 구성요소를 갖는 것으로 간주)

일반화된 Heegaard 분할은 각 V $V_{i}\cup W_{i}$ $V_{i}\cup W_{i}$ $V_{i}\cup W_{i}$ ${\$ 이(가) 강하게 불분명할 경우 $V_{i}\cup W_{i}$ 강하게 불분명하다고 한다.

희가어드 스플릿에 대해 매듭에 대해 정의된 얇은 위치에 대한 유사한 개념이 있다.연결된 표면 S, c(S)의 복잡성은 $\operatorname {max} \left\{0,1-\chi (S)\right\}$ 0 $\operatorname {max} \left\{0,1-\chi (S)\right\}$ $\operatorname {max} \left\{0,1-\chi (S)\right\}$ - $\operatorname {max} \left\{0,1-\chi (S)\right\}$ ( S $\operatorname {max} \left\{0,1-\chi (S)\right\}$ ) $\operatorname {max} \left\{0,1-\chi (S)\right\}$ } ${\$ 로 정의된다 $\operatorname {max} \left\{0,1-\chi (S)\right\}$ 연결되지 않은 표면의 복잡성은 구성 요소의 복잡성 합이다.일반화된 Heegaard 분할의 복잡성은 다중 집합 {c(S_i)}이며, 여기서 지수는 일반화된 분할에서 Heegaard 표면 위를 흐른다.이러한 다중 집합은 사전순으로 잘 정렬될 수 있다(단조적으로 감소).일반화된 희가르드 분열은 그 복잡성이 미미하다면 얇다.

예

3-sphere: 3-sphere $S^{3}$ $S^{3}$ ${\$ 는 길이가 1인 $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ 의 벡터 집합이다 $S^{3}$ . $xyz$ 를 x $y$ z $xyz$ 하이퍼플레인과 $xyz$ 교차하면 2-sphere가 된다.이것은 S $S^{3}$ {\ $displaystyle S^{3}$ 의 표준식 영분할이다 $S^{3}$ 반대로, 알렉산더의 트릭에 의해 0분할을 인정하는 모든 다지관은 S $S^{3}$ {\ $displaysty$ S $^{3}$ 에 대해 동형이다 $S^{3}$
Under the usual identification of $\mathbb {R} ^{4}$ with $\mathbb {C} ^{2}$ we may view $S^{3}$ as living in $\mathbb {C} ^{2}$ . Then the set of points where each coordinate has norm ${\displaystyle 1/{\s$ $qrt{2}}:}$ 는 $1/{\sqrt {2}}$ 클리포드 토러스(Clifford torus), $T^{2}$ $T^{2}$ ${\$ S ${\$ 의 표준 속이다(Hopf 번들에서의 논의도 참조).
안정화: M에서 H를 분할하는 희가르드가 있을 때 H의 안정화는 쌍( $(M,H)$ , $(M,H)$ ) ${\$ 디스플레이 $스타일(M,H)}$ 과 $(M,H)$ 쌍 $\left(S^{3},T^{2}\right)$ $\left(S^{3},T^{2}\right)$ , $\left(S^{3},T^{2}\right)$ $\left(S^{3},T^{2}\right)$ ) ${\$ 스타일 $\left(S^{3},T^{2}\right)$ 의 연결된 합을 취함으로써 형성된다 $\left(S^{3},T^{2}\right)$ 안정화 절차로 안정된 스플릿을 산출한다는 것을 쉽게 알 수 있다.따라서 분할이 표준 분할의 안정이라면 분할이 표준이다.
렌즈 공간: 모두 1의 속분할을 표준으로 가지고 있다.문제의 렌즈 공간을 규정하는 데 사용되는 인지도 지도 $S^{3}$ $S^{3}$ 3 $S^{3}$ {\ $displaystyle$ S $^{3}$ 에 있는 클리포드 토러스 그림이다.렌즈 공간에만 속 1의 스플릿이 있는 투토루스의 매핑 클래스 그룹 구조에서 따온 것이다.
삼토루스: 3토러스 $T^{3}$ $T^{3}$ ${\$ 이 $S^{1}$ $S^{1}$ ${\$ 순환) 3장의 카세트 제품임을 $T^{3}$ 상기하십시오.Let $x_{0}$ be a point of $S^{1}$ and consider the graph ${\displaystyle \Gamma =S^{1}\times \{x_{0}\}\times \{x_{0}\}\cup \{x_{0}\}\times S^{1}\times \{x_{0}\}\cup \{$ $x_{0}\}\times \{x_{0}\}\times S^{1}}$ . It is an easy exercise to show that V, a regular neighborhood of $\Gamma$ , is a handlebody as is $T^{3}-V$ . Thus the boundary of V in $T^{3}$ is a Heegaard splitting and this is the standard splitting of ${$ $\displaystyle T^{3$ 다른 어떤 속 3 희가르드 분할이 이 속과 토리당화한다는 것은 찰스 프로만과 조엘 하스로부터 증명되었다.미셸 보일로와 장 피에르 오탈은 일반적으로 3토루스의 어떤 희가르드 분열도 이 예를 안정시킨 결과와 동등하다는 것을 증명했다.

정리

알렉산더 보조정리: 동위원소까지, 2-sphere를 3-sphere에 내장하는 독특한 (편상 선형)이 있다. (높은 차원에서는 이것을 쇤파리 정리라고 한다.차원 2에서는 이것이 요르단 곡선 정리)이다.이는 다음과 같이 재작성할 수 있다: $S^{3}$ $S^{3}$ ${\$ 의 속 0 분할은 고유하다 $S^{3}$ .
발트하우젠 정리: $S^{3}$ $S^{3}$ ${\$ 의 각 분할은 0의 고유한 분할을 안정화하여 얻는다 $S^{3}$ .

이제 M이 폐쇄적인 방향의 세 마니폴드라고 가정해보자.

레이데미스터-싱어 정리: M에 $H_{2}$ 있는 $H_{1}$ 스플리팅 $H_{1}$ 1 $H_{1}$ {\ $displaystyle$ $H_{2}$ { $H_{2}$ } $H_{2}$ 및 H 2 {\displaystyle $H_{2$ }}개의 경우, M에 $H$ 세 번째 $스플리팅$ H {\ $displaystyle$ H $}$ 이(가) 있는데, 이는 양쪽 모두의 안정화다.
하켄 보조정리: $S_{1}$ $S_{1}$ ${\$ }가 $S_{1}$ M에서 필수 투 sphere이고 H가 Heegaard 분할이라고 가정하자.그 다음 M meeting H에 하나의 $S_{2}$ 곡선으로 필수적인 2-sphere $S_{2}$ 2 ${\$ }}개가 있다.

분류

희가드 스플릿의 세트가 완전히 알려진 3마니폴드의 여러 등급이 있다.예를 들어 월트하우젠의 정리에서는 $S^{3}$ ${\$ 의 모든 스플릿이 표준임을 $S^{3}$ 보여준다.렌즈 공간도 마찬가지다(프란시스 보나혼과 오탈이 증명했다).

세이퍼트 섬유 공간의 스플릿은 더욱 미묘하다.여기서 모든 스플릿은 수직 또는 수평으로 동위원소화될 수 있다(요아프 모리아와 제니퍼 슐텐스가 증명함).

Cooper & Scharlemann(1999)은 토러스 번들의 스플릿을 분류했다. (솔 기하학이 있는 3개의 매니폴드를 모두 포함한다.)그들의 연구 결과 모든 토러스 번들은 최소의 속들의 고유한 분할을 가지고 있다.토러스 번들의 다른 모든 스플릿은 최소 속 1의 안정화다.

2008년 현재, 고바야시 쓰요시의 논문에서 희가어드 스플릿이 분류되는 유일한 쌍곡선 3마니폴드들은 두 다리 매듭 보완물들이다.

응용 프로그램 및 연결

최소 표면

Heegaard splitting은 양의 단면 곡률의 콤팩트한 다지관에 최소 표면을 내장한 것이 Heegaard splitting임을 입증한 Blaine Lawson의 연구에서 먼저 최소 표면 이론에 등장했다.이 결과는 윌리엄 믹스에 의해 평평한 다지관까지 확장되었다. 그러나 그는 평평한 3-매니폴드에 내장된 최소 표면이 희가르드 표면이거나 완전히 지오데틱이라는 것을 증명했다.

Meeks와 Shing-Tung Yau는 계속해서 R $\mathbb {R} ^{3}$ {\ $displaystyle \mathbb{$ R $}$ ^{ $3}}$ 에서 유한한 속 최소 표면의 위상학적 고유성에 대한 결과를 증명하기 위해 Waldhausen의 결과를 사용했다 $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\$ 에 포함된 최소 표면의 최종 위상학적 분류는 믹스와 프로만이 부여했다 $\mathbb {R} ^{3}$ .그 결과는 히가아드 스플릿의 위상 연구를 위해 개발된 기술에 크게 의존했다.

히가아드 플로어 호몰로지

히가아드 스플리팅에 대한 간단한 조합설문인 히가아드 도표는 3마니폴드의 불변제를 구성하는 데 광범위하게 사용되어 왔다.이것의 가장 최근의 예는 피터 오즈바스와 졸탄 소보의 희가아드 플로어 호몰로지 이다.이 이론은 주변공간으로 Heegaard $g^{th}$ 의 $g^{th}$ $g^{th}$ h $g^{th}$ {\ $displaystyle$ g $^{th}}$ 대칭 $g^{th}$ 제품을 사용하고, 두 핸들베이드에 대해 자오선 원반의 경계로부터 구축된 토리를 라그랑의 하위매니폴드로 사용한다.

역사

희가르드 분할 사상은 폴 히가르드(1898)에 의해 도입되었다.히가르드 스플리팅은 1960년대에 볼프강 하켄과 프리델름 발트하우젠과 같은 수학자들에 의해 광범위하게 연구되었지만, 몇 십 년이 지나서야 그 분야는 주로 강한 불가해성의 개념을 통해 앤드류 캐슨과 카메론 고든(1987)에 의해 회춘되었다.

참고 항목

참조

^ Farb, B.; Margalit, D. A Primer on Mapping Class Groups. Princeton University Press. p. 22.

Farb, Benson; Margalit, Dan, A Primer on Mapping Class Groups, Princeton University Press
Casson, Andrew J.; Gordon, Cameron McA. (1987), "Reducing Heegaard splittings", Topology and Its Applications, 27 (3): 275–283, doi:10.1016/0166-8641(87)90092-7, ISSN 0166-8641, MR 0918537
Cooper, Daryl; Scharlemann, Martin (1999), "The structure of a solvmanifold's Heegaard splittings", Turkish Journal of Mathematics, 23 (1): 1–18, ISSN 1300-0098, MR 1701636, archived from the original on 2011-08-22, retrieved 2020-01-11
Heegaard, Poul (1898), Forstudier til en topologisk Teori for de algebraiske Fladers Sammenhang (PDF), Thesis (in Danish), JFM 29.0417.02
Hempel, John (1976), 3-manifolds, Annals of Mathematics Studies, vol. 86, Princeton University Press, ISBN 978-0-8218-3695-8, MR 0415619
Kobayashi, Tsuyoshi (2001), "Heegaard splittings of exteriors of two bridge knots", Geometry and Topology, 5 (2): 609–650

[1] Farb, B.; Margalit, D. A Primer on Mapping Class Groups. Princeton University Press. p. 22.

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