산술 쌍곡선 3-매니폴드

수학에서, 더 정확하게 집단 이론과 쌍곡 기하학에서, 산술 클라인 집단은 콰터니온 알헤브라의 명령을 사용하여 구성된 클라인 집단의 특별한 계급이다.그것들은 산술 집단의 특별한 예들이다.산술적 쌍곡선 3-매니폴드는 산술 클라인 그룹에 의한$$ 쌍곡선 공간 H ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 지수다.이 다양성들은 몇몇 특히 아름답고 주목할 만한 예들을 포함하고 있다.

정의 및 예제

콰터니온 알헤브라스

필드 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에 대한 쿼터니온 $대수학$은 4차원 중앙 단순 F {\$displaystyle F}$ -algebra이다$$.quaternion 대수에는 기본 $1{\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle j,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle$1, i$,j,ij}$이(가) 있으며 $여기$서 i ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ F ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$ i$^{2$}\$n2}\$$in{\displaystyle }$ F$^{\times },$ ${\displaystyle \mathrm{i<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; i^\{2\},j^\{2\}\backslash in\; F^\{\backslash times\; \}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/12214dfa7e0e07fd1b2640dad697eea18c030ee9"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:11.069ex;\; height:3.009ex;"\; papago-attr-id="38">}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle j}$ i ${\displaystyle ij=-j}$가 있다$.$

$행렬{\displaystyle }$ M ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( F ${\displaystyle )}$ {\$displaystyle F}$ -algebra와$$ 행렬 $M{\displaystyle {}_{}}$ 2 (${\displaystyle F}$ ) ${\displaystyle M_{2}(F)}$의 대수로 이형인 경우$$ 쿼터니온 대수는 F ${\$$displaystystyle F}$에 대해 분할된다고 한다$.$ 대수적으로 닫힌 영역에 대한 쿼터니온 대수는 항상 분할된다.

If ${\displaystyle \sigma }$ is an embedding of ${\displaystyle F}$ into a field ${\displaystyle E}$ we shall denote by ${\displaystyle A\otimes _{\sigma }E}$ the algebra obtained by extending scalars from ${\displaystyle F}$ to ${\displaystyle E}$ where we view ${\displaystyle F}$ a$s{\displaystyle }$ ▼ ${\displaystyle \sigma }$을(를) 통해 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 하위 필드$.$

산술 클라인 그룹

$P{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{G}}_{}}$ L ${\displaystyle 2\mathbb{}{}_{}}$( C${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathb {C} )}$의 부분군은 다음과 같은 구성을 통해 얻을 수 있는 경우 쿼터니언 대수에서 파생되었다고 한다$$.$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) $이미지$가 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 포함되지 않은$$ C ${\$ {$C}$에 정확히 두 개의 내장되어 있는 숫자 필드(하나의 조합은 다른 조합)로$$ 합시다.$$내장형${\displaystyle }\tau {\displaystyle }$ : ${\displaystyle F\mathbb{}}$→ R $[\$에 대해$$ $A{\displaystyle }${\$displaystyle A$}을(를) F$${\$displaystyle F}$에 대한 쿼터니온 대수(quaternion 대수)로$$ 설정하십시오.$F\to \mathb {R}$ 대수$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\tau }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathbb{}}${\$displaystyle A\otimes$_{\$tau$}\$mathb${R$}}}}$은(는) 해밀턴 쿼터니온과 이형성이다$$.Next we need an order ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ in ${\displaystyle A}$. Let ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{1}}$ be the group of elements in ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ of reduced norm 1 and let ${\displaystyle \Gamma }$ be its image in ${\displaystyle M_{2}$$(\mathbb {C} )}$ via ${\displaystyle \phi }$. We then consider the Kleinian group obtained as the image in ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$ of ${\displaystyle \phi ({\mathcal {O}}^{1})}$.

The main fact about these groups is that they are discrete subgroups and they have finite covolume for the Haar measure on ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$. Moreover, the construction above yields a cocompact subgroup if and only if the algebra ${\displaystyle A}$ is not split over ${\dis$$플레이스타일 F$ 불명확함은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 단지 복잡한 임베딩에서만 분할된다는$$ 사실에 따른 다소 즉각적인 결과물이다.공동 부피의 정밀성은 증명하기가 더 어렵다.^[1]

산술 클라인 그룹이란 quaternion 대수에서 파생된 그룹과 동등한 P ${\displaystyle {\mathrm{G}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2}}_{}}$( ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrmatrix$ {$PGL} _{2}(\mathb$ {$C} )$의 어떤 하위그룹이다.산술 클라인 집단은 이산형이고 유한한 공동 볼륨(이것은 그들이 P $G{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathb {C} )}$의 래티스임을 의미한다.

예

Examples are provided by taking ${\displaystyle F}$ to be an imaginary quadratic field, ${\displaystyle A=M_{2}(F)}$ and ${\displaystyle {\mathcal {O}}=M_{2}(O_{F})}$ where ${\displaystyle O_{F}}$ is the ring of integers of ${\displaystyle F}$ (for example ${\displaystyle F}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle Q\mathbb{}}$ (${\displaystyle i}$) ${\displaystyle$ F$=\mathb {Q}(i)}$ 및$$ ${\displaystyle O_{}}$= ${\displaystyle Z\mathbb{}}$[ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle O_{F}=\mathb {Z}[i]}$ $$.이렇게 해서 얻은 집단은 비앙치 집단이다.그들은 cocompact가 아니며, 비앙치 집단의 결합에 필적할 수 없는 모든 산술 클라인 집단은 cocompact이다.

만일 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 행렬 대수에서 이형성이 아닌$$ 가상의 2차수 필드 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에 대한 쿼터니온 대수라면$$, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 주문 단위 그룹은 cocompact이다$$.

산술 다지관의 트레이스 필드

클라인 그룹의 불변 추적 필드(또는, 기본 그룹의 모노드로미 영상을 통해 쌍곡선 다지관의)는 그 원소의 사각형 트레이스에 의해 생성되는 필드다.기본 그룹이 숫자 $필드{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$에 대한 쿼터니언 대수에서 파생된 다지관의 그것과 동등한 산술 다지관의 경우 $불변$ 추적 필드는 F ${\displaystyle$ F$}$과 같다$.$

사실 사람들은 그들의 기본 집단의 원소들의 흔적을 통해 산술 다지관의 특징을 파악할 수 있다.클라인 그룹은 다음 세 가지 조건이 실현되는 경우에만 산술 그룹이다.

• 불변 추적 필드 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) 하나의 복잡한 위치를 가진 숫자 필드임.
• 그 원소의 흔적은 대수 정수다.
• $그룹$의 ▼ ${\displaystyle \gamma}$에 대해 $t{\displaystyle }$= T ${\displaystyle r\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ (${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle$ t$=\mathrm {Trace}(\gamma ^{2})$ 및$$ 내장 $\sigma {\displaystyle }$: ${\displaystyle F\mathbb{}}$→ R ${\$:$F$$\to \mathb {R}$} ${\displaystyle \sigma }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \sigma (t) \leq$ 2$\}$ .

산술 쌍곡선 3매니폴드의 기하학적 구조와 스펙트럼

부피식

볼륨의 경우 숫자 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 대한 쿼터니온 대수 $A$의 최대 순서에서 도출된$$ 산술 3 다지관 $M$${\displaystyle }$= $γ$ $\$$displaystyle$ $M=\Gammatcal {O}\bmattb{H} ^$3}{3$}}$에 대해 다음과$$ 같은 표현이 있다.^[2]

${\displaystyle \mathrm {vol} (M)={\frac {2 D_{F} ^{\frac {3}{2}}\cdot \zeta _{F}(2)}{2^{2r+1}\cdot \pi ^{2r}}}\cdot \prod _{{\mathfrak {p}} D_{A}}(N({\mathfrak {p}})-1).}$

where ${\displaystyle D_{A},D_{F}}$ are the discriminants of ${\displaystyle A,F}$ respectively, ${\displaystyle \zeta _{F}}$ is the Dedekind zeta function of ${\displaystyle F}$ and ${\displaystyle r=[F:\mathbb {Q} ]}$.

정밀도 결과

앞 단락의 부피 공식의 결과는 다음과 같다.

> ${\displaystyle$ v$>0}$을(를) 감안할 때 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$보다 체적이 작은 산술적 쌍곡선 3–manifold가 많아야 한다$.$

이는 쌍곡선 딘 수술을 통해 무한히 많은 비 등축성 쌍곡선 3-매니폴드를 한정된 볼륨으로 생산할 수 있다는 사실과 대조적이다.특히, 코롤리란 쿠스로 된 쌍곡선 다지관이 주어지는 것으로, 그 위에서 정밀하게 많은 Dehn 수술은 산술적인 쌍곡선 다지관을 산출할 수 있다.

주목할 만한 산술 쌍곡선 3마니폴드

Weeks 다지관은 가장 작은 부피의^[3] 쌍곡선 3 manifold이고 Meyerhoff 다지관은 다음으로 가장 작은 부피 중 하나이다.

그림 8 매듭의 세 개의 보완점인 산술 쌍곡선 3은 관리되고^[4] 모든 구스형 쌍곡선 3-매니폴드 중에서 가장 작은 체적을 달성한다.^[5]

스펙트럼과 라마누잔 추측

The Ramanujan conjecture for automorphic forms on ${\displaystyle \mathrm {GL} (2)}$ over a number field would imply that for any congruence cover of an arithmetic three-manifold (derived from a quaternion algebra) the spectrum of the Laplace operator is contained in ${\displaystyle [1,+\infty )}$.

3차원 위상에서의 산술 다지관

이안 아골의 작품에 이어 현재 모두 사실로 알려진 Thurston의 많은 추측들(예: 가상의 하켄 추측)은 구체적인 방법을 사용하여 산술 다지관에 대한 검사를 먼저 받았다.^[6][7]일부 산술 사례에서 Virtual Haken 추측은 일반적인 방법으로 알려져 있지만, 그것의 해법이 순수한 산술적 방법으로 달성될 수 있을지는 알 수 없다(예를 들어, 양의 첫 베티 숫자를 가진 일치 부분군을 발견함으로써).

산술 다지관은 첫 번째 베티 수가 사라지는 주입도 반경이 큰 다지관의 예를 제공하는 데 사용할 수 있다.^[8][9]

윌리엄 서스턴의 한 마디는 "...흔히 특별한 아름다움을 지닌 것 같다"^[10]는 것이다.이는 이러한 다지관의 위상과 기하학 사이의 관계가 일반적인 것보다 훨씬 더 예측 가능하다는 것을 보여주는 결과에 의해 입증될 수 있다.예를 들면 다음과 같다.

• 주어진 속 g의 경우, 속 g의 섬유로 원 위에 섬유질인 쌍곡선 3–매너폴드가 아주 미세하게 많다.^[11]
• 기껏해야 히가아드 속과 같은 쌍곡선 3-매니폴드가 많다.^[12]

메모들

참조

• Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), The arithmetic of hyperbolic 3-manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol. 219, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98386-8, MR 1937957