상호직교 라틴어 제곱

콤비네이터학에서, 동일한 크기(순서)의 라틴어 사각형 두 개가 위치의 순서 쌍체 항목이 모두 구별되는 경우 직교한다고 한다.모두 동일한 순서의 라틴 사각형 집합으로, 모든 쌍이 직교하는 것을 상호 직교 라틴 사각형 집합이라고 한다.결합학에서 이 직교성 개념은 통계학에서 차단의 개념과 강하게 관련되어 있으며, 이것은 독립 변수가 숨겨진 교란 상관관계가 없이 진정으로 독립적임을 보장한다.따라서 "직교"는 한 변수의 값을 아는 것이 다른 변수의 가능한 값에 대한 더 이상의 정보를 제공하지 않는다는 점에서 "독립적"과 동의어다.

직교 라틴어 사각형 한 쌍은 전통적으로 그래코-라틴 사각형이라고 불렸으나, 그 용어는 이제 어느 정도 구식이 되었다.

그라코라틴 정사각형

$각각$ $n개$ 의 기호로 구성된 Graeco-Latin 사각형 또는 오일러 사각형 또는 $순서$ $n$ 의 직교 라틴 사각형 쌍( $동일$ 수도 있음)은 n × $n개$ 의 셀 배열로, $s$ 는 $S$ 에 있고 $t$ 는 $T$ 에 있으므로 $,$ 모든 행과 모든 $열$ 이 S와 각 엘리메의 각 요소를 포함하는 것이다 $.$ $t$ 의 nt는 정확히 한 번이고, 두 개의 셀이 동일한 순서 쌍을 포함하지 않는다.

Graeco-Latin 정사각형(직교 라틴 정사각형)
주문3길
주문4길
순서 5

s좌표(라틴 문자라고 생각할 수 있음)와 t좌표(그리스 문자)의 배열은 각각 라틴 사각형을 이룬다.따라서 그라코-라틴 사각형은 두 개의 직교 라틴 사각형으로 분해될 수 있다.여기서 Orthogonality는 Cartesian $제품$ S × $T$ 의 모든 쌍 $(s,$ $t)$ 이 정확히 한 번 발생하는 것을 의미한다.

직교 라틴어 사각형은 레온하르트 오일러가 자세히 연구했는데, 이 두 세트는 라틴 알파벳의 첫 n $대문자$ $S =$ { $A,$ $B,$ $C, ...},$ 그리고 T $=$ ${α, β, γ,$ γ, ...}, 그리스 알파벳의 첫 n $소문자$ —그래코-라틴 사각형 이름을 정하라.

존재

그라코-라틴 정사각형을 직교 라틴 정사각형의 한 쌍으로 볼 때, 각각의 라틴 정사각형에는 직교 짝이 있다고 한다.임의의 라틴어 사각형에서는 각 행에 하나씩, 그리고 모든 항목이 구별되는 각 열에 하나씩의 위치를 선택하는 것을 그 사각형의 횡단이라고 부른다.^[1]그래코-라틴 사각형의 한 기호를 생각해 보라.이 기호를 포함하는 위치는 모두 다른 행과 열에 있어야 하며, 더욱이 이러한 위치의 다른 기호는 모두 구별되어야 한다.따라서, 라틴 사각형의 한 쌍으로 볼 때, 첫 번째 사각형의 한 기호를 포함하는 위치는 두 번째 사각형의 횡단(그리고 그 반대도 마찬가지)에 해당한다.

주어진 라틴어 사각형의 순서는 n개의 분리된 횡단들을 가지고 있는 경우에만 직교 짝을 가지고 있다.^[2]

(국경이 없는) 모든 이상질서의 Cayley 테이블은 직교 짝을 가진 라틴 사각형을 형성한다.^[2]

따라서 Graeco-Latin 정사각형은 모든 홀수 순서에 대해 존재한다. 이러한 순서에 존재하는 그룹이 있기 때문이다.그러한 그라코-라틴 정사각형은 집단 기반이라고 한다.

오일러는 4의 배수인 그래코-라틴 정사각형의 주문을 시공할 수 있었고,^[2] 다음과 같은 결과를 알고 있는 것 같았다.

순서가 2의 홀수 배수인 경우(일부 양의 $정수$ k의 경우 4k + 2와 동일) 그룹 기반 그래코-라틴 제곱은 존재할 수 없다.^[3]

역사

이 과목에 대한 그의 원래 수학적인 치료법은 인정되었지만, 직교 라틴어의 제곱은 오일러보다 앞서 있다.카드놀이와 관련된 오래된 퍼즐의 형태로,^[4] 4 x 4 세트의 제작은 1725년 자크 오자남에 의해 출판되었다.^[5]문제는 모든 에이스, 왕, 왕비, 잭을 표준 카드 갑판에서 꺼내 4 x 4 격자로 배열하여 각 행과 기둥마다 4벌의 슈트와 각 액면가 1벌씩 모두 포함시키는 것이었다.이 문제에는 몇 가지 해결책이 있다.

이 문제의 일반적인 변형은 16개의 카드를 배열하여 각 대각선에는 행과 기둥의 제약 외에도 4개의 얼굴 값과 4개의 슈트가 모두 포함되도록 하는 것이었다.

1959년 11월 자신의 수학 게임 칼럼에 이 문제를 실었던 마틴 가드너에 따르면,^[6] 뚜렷한 해결책의 수는 Rouse Ball에 의해 72개로 잘못 기재되었다.이 실수는 캐슬린 올레렌쇼에 의해 144라는 정확한 값이 발견될 때까지 여러 해 동안 계속되었다.144개의 용액은 각각 8개의 반사와 회전을 가지며, 총 1152개의 용액을 제공한다.144×8 솔루션은 다음과 같은 두 가지 등가 등급으로 분류할 수 있다.

해결책	정상형식
솔루션 #1	A♠ K♥ Q♦ J♣ Q♣ J♦ A♥ K♠ J♥ Q♠ K♣ A♦ K♦ A♣ J♠ Q♥
솔루션 #2	A♠ K♥ Q♦ J♣ J♦ Q♣ K♠ A♥ K♣ A♦ J♥ Q♠ Q♥ J♠ A♣ K♦

두 솔루션 각각에 대해, 24×24 = 576 솔루션은 네 개의 슈트와 네 개의 얼굴 값을 독립적으로 허용함으로써 도출될 수 있다.양복과 얼굴값이 다르기 때문에 어떤 순열도 이 두 해결책을 서로 바꾸지는 않을 것이다.

36명의 장교 문제

1~7급(체스 조각) 및 연대(컬러)를 위한 36명의 장교 퍼즐 일반화 – 사례 2 및 6에는 해결책이 없음

위의 카드 문제와 비슷한 문제가 세인트루이스에 떠돌고 있었다. 1700년대 후반에 페테르부르크와 민화에 따르면, 캐서린 대왕은 오일러에게 당시 자신의 궁정에 거주하고 있었기 때문에 이 문제를 해결해 줄 것을 요청했다고 한다.^[7]이 문제는 36명의 장교 문제로 알려져 있는데 ^[8]오일러는 다음과 같이 소개했다.^[9]^[10]

한동안 많은 사람들의 독창성을 발휘해 온 매우 호기심 많은 질문이, 새로운 분석의 장을 여는 것 같은, 특히 결합에 대한 연구를 하는 나를 다음의 연구에 참여시켰다.문제는 6개 연대에서 36명의 장교들을 정사각형으로 배치하여 각 선(수평과 수직 모두)에 서로 다른 계급과 다른 연대의 장교 6명이 배치되도록 하는 것이다.
— Leonhard Euler

오일러의 억측과 디스프루프

1959년 11월 Scientific American order-10 Graeco-Latin 정사각형 다시 그리기 - SVG 파일에서 글자 위를 맴돌며 배경을 숨긴다.

오일러는 문제를 해결할 수 없었지만, 이 작품에서는 $n$ 이 홀수 또는 4의 배수인 그라코-라틴 정사각형을 구성하는 방법을 시연했다.그는 2제곱의 순서가 존재하지 않고 6제곱의 순서를 구성할 수 없다는 것을 관찰하면서, 이상하게도 짝수 n $n$ $2$ ( $mod$ 4)에 대해서는 존재하지 않는다고 추측했다 $.$ 여섯 칸의 순서가 없는 것은 1901년 개스톤 타리에 의해 기진맥진 증빙을 통해 확인되었다.^[11]^[12]그러나 오일러의 추측은 1950년대 후반까지 해법에 저항했지만, 이 문제는 조합학에서 중요한 작업으로 이어졌다.^[13]

1959년 R.C.보스와 S.S.슈리칸데는 수학적인 통찰력을 이용해 22단계의 몇 가지 백작샘플(Uiler 스포일러를 이중으로 만들었다)을 만들었다.^[14]그럼 E. T. 파커는 레밍턴 랜드의 UNIVAC 사업부에서 일하던 중 UNIVAC 1206 밀리터리 컴퓨터에서 1시간 컴퓨터 검색을 사용하여 주문 10의 예를 발견했다(이것은 디지털 컴퓨터에서 해결된 최초의 조합 문제 중 하나였다).

1959년 4월, 파커, 보세, 슈리칸데는 오일러의 추측이 $모두$ n≥ $10$ 에 대해 거짓임을 보여주는 논문을 발표했다 $.$ ^[15]따라서 $graeco-Latin$ 정사각형은 n = $2, 6$ 을 제외한 모든 $주문$ n > $1$ 에 대해 존재한다 $.$ 1959년 11월호 Scientific American에서 마틴 가드너는 이 결과를 발표했다.^[6]앞표지는 오일러의 추측에 대한 10 × 10 반박이다.

36명의 얽힌 장교들 문제

집단적으로 불가능한 문제에 대한 양자적 해결.체스 조각이 중첩 위치에 있는 양자 상태라면, 크기 6의 직교 양자 라틴 사각형이 존재한다.체스 조각의 상대적 크기는 해당 양자 상태의 기여를 나타낸다.^[16]

양자 영역으로의 상호 직교 라틴 사각형의 확장은 2017년부터 연구되어 왔다.^[17]이러한 설계에서, 기호의 고유성 대신 배열의 원소는 행과 열에서 서로 직교해야 하는 양자 상태를 말한다.2021년 인도-폴란드 물리학자 팀(Rather, Burchardt, Bruzda, Rajchel-Mieldzioche, Lakshminarayan, and Schyczkowski)은 크기가 6인 상호 직교 양자 라틴 제곱의 예를 제공하는 일련의 양자 상태를 발견했다. 즉, 동등하게 36명의 장교들이 얽혀 있다.^[18]^[19]이 설정은 36명의 오일러 장교 문제의 일반화를 해결하는 것은 물론 새로운 양자 오류 감지 코드를 제공하여 하나의 오류 발생을 인증하는 3개의 6단계 시스템으로 6단계 시스템을 인코딩할 수 있게 한다.

상호 직교 라틴 사각형(MOLS) 예제

모든 정사각형 쌍이 직교(Graeco-Latin square)인 같은 순서의 라틴 사각형 집합은 상호 직교 라틴 사각형 집합(또는 쌍방향 직교 라틴 제곱)이라고 하며, 일반적으로 순서가 명시될 때 MLS 또는 MOLS(n)로 약칭된다.

예를 들어 다음과 같은 방법으로 MOLS(4) 세트를 제공한다.^[20]

{\displaystyle{\begin{행렬}1&, 2&, 3&, 4\\2&, 1&, 4&, 3\\3&, 4&, 1&, 2\\4&, 3&, 2&, 1\end{매트릭스}}\qquad\qquad{\begin{행렬}1&, 2&, 3&, 4\\4&, 3&, 2&, 1\\2&, 1&, 4&, 3\\3&, 4&, 1&, 2\end{매트릭스}}\qquad\qquad{\begin{행렬}1&, 2&, 3&, 4\\3&, 4&, 1&, 2\\4&, 3&, 2&, 1\\2&, 1&a.융점, 4&, 3\end{매트릭스}}.}

그리고 MOLS(5):^[21]

{\displaystyle{\begin{행렬}1&, 2&, 3&, 4&, 5\\2&, 3&, 4&, 5&, 1\\3&, 4&, 5&, 1&, 2\\4&, 5&, 1&, 2&, 3\\5&, 1&, 2&, 3&, 4\end{매트릭스}}\qquad{\begin{행렬}1&, 2&, 3&, 4&, 5\\3&, 4&, 5&, 1&, 2\\5&, 1&, 2&, 3&, 4\\2&, 3&, 4&, 5&, 1\\4&, 5&, 1&, 2&, 3\end{매트릭스}}\qquad{\begin{행렬}1&, 2&, 3&, 4&, 5\\5&, 1&, 2&, 3&, 4\\4&, 5&, 1&, 2&, 3\\3&, 4&, 5&, 1&, 2\\2&, 3&, 4&, 5&, 1\end{매트릭스}}\qquad{\begin{행렬}1&, 2&, 3&, 4&, 5\\4&, 5&, 1&, 2&, 3\\2&, 3&, 4&, 5&, 1\\5&, 1&, 2&, 3&, 4\\3&, 4&, 5&, 1&, 2\end{{pair}}}.}

예를 들어 Graeco-Latin 정사각형과 유사한 "복합" 행렬 형태로 MILS를 나타낼 수 있지만,

1,1,1,1	2,2,2,2	3,3,3,3	4,4,4,4	5,5,5,5
2,3,5,4	3,4,1,5	4,5,2,1	5,1,3,2	1,2,4,3
3,5,4,2	4,1,5,3	5,2,1,4	1,3,2,5	2,4,3,1
4,2,3,5	5,3,4,1	1,4,5,2	2,5,1,3	3,1,2,4
5,4,2,3	1,5,3,4	2,1,4,5	3,2,5,1	4,3,1,2

위의 MLS(5) 예제의 경우, MOLS를 직교 배열로 압축적으로 표현하는 것이 더 일반적이다(아래 참조).^[22]

지금까지 주어진 MILS의 예에서는 각 사각형에 대해 동일한 알파벳(심볼 세트)을 사용했지만, 그래코-라틴 사각형이 보여주듯이 이것은 필요하지 않다.사실, 완전히 다른 기호 세트는 MILS 세트의 각 사각형에 사용될 수 있다.예를 들어,

두 개의 텍스트, 전경색, 배경색 및 서체는 한 쌍의 직교 라틴 사각형을 형성한다.
피오르드족	턱받이	가래질하다	키비우트	징키
징키	피오르드족	턱받이	가래질하다	키비우트
키비우트	징키	피오르드족	턱받이	가래질하다
가래질하다	키비우트	징키	피오르드족	턱받이
턱받이	가래질하다	키비우트	징키	피오르드족

4개의 MOLS가 각각 다음과 같은 알파벳을 갖는 위의 복합 MOLS(5) 예를 나타낸다.

배경색: 검정, 마룬, 티, 네이비, 은색
전경색:흰색,빨간색,석회색,파란색,노란색
본문: 피오르드, 턱박스, 가래, 키비우트, 진키
활자체 계열: 세리프, 산세리프, 슬래브-세리프, 필기체 및 모노스페이스.

상호 직교 라틴 제곱의 수

MILS 집합의 상호 직교성 속성은 영향을 받지 않는다.

모든 사각형의 행을 동시에 허용하면서
모든 사각형의 열을 동시에 허용
모든 사각형에서 독립적으로 항목 허용.

이러한 연산을 사용하여 모든 MILS 집합을 표준 형태로 넣을 수 있는데, 이는 모든 사각형의 첫 번째 행이 동일하고 일반적으로 어느 정도 자연적인 순서로 배열한다는 것을 의미하며, 한 사각형은 첫 번째 열도 이 순서로 배열한다.^[23]본 섹션의 시작 부분에 있는 MLS(4)와 MLS(5)의 예는 표준 형태로 제시되었다.

표준형식으로 MLS( $n$ ) 세트를 넣고 각 사각형의 두 번째 행과 첫 번째 열에 입력된 항목을 검사하면 $n$ - 1제곱 이하가 존재할 수 있음을 알 수 있다.^[24] $n$ - 1 MLS( $n$ )의 세트를 전체 MLS 집합이라고 한다.완전한 집합은 $n$ 이 소수 또는 소수 전력일 때 존재하는 것으로 알려져 있다(아래 유한 필드 구조 참조).단, 주어진 순서 $n$ 에 대해 존재할 수 있는 MILS의 수는 일반 $n$ 에 대해서는 알려져 있지 않으며, 조합에 관한 연구 영역이다.

투영 평면

$n$ - 1 MLS( $n$ )의 세트는 n $순서$ 의 유한 아핀 평면에 해당한다(아래 그물 참조).^[10]모든 유한 아핀 평면은 동일한 순서의 유한 투사 평면으로 고유하게 확장할 수 있으므로, 이 동등성은 또한 이러한 투사 평면의 존재 측면에서도 표현될 수 있다.^[25]

위에서 언급한 바와 같이, $n$ 이 원시 또는 원시 세력일 경우 완전한 MLS( $n$ ) 집합이 존재하므로, 그러한 명령의 투영 평면이 존재한다.이것들과 다른 순서를 가진 유한 투영 평면, 따라서 그러한 순서의 완전한 MOLS 세트는 존재하지 않는 것으로 알려져 있다.^[10]

유한 투사 평면의 비존재에 관한 유일한 일반적인 결과는 브루크-라이저 정리인데, 이 정리에서는 순서 $n$ 의 투사 평면이 존재하고 $n$ ≡ 1 (모드 4) 또는 $n$ ≡ 2 (모드 4)의 투사 평면이 존재한다면 $n$ 은 반드시 두 (정자) 제곱의 합이어야 한다고 되어 있다.^[26]예를 들어, 이것은 명령 6과 14의 투영 평면을 배제하지만, $n$ 이 조건을 만족시킬 때 평면의 존재를 보장하지는 않는다.특히 $n$ = 10은 조건을 만족시키지만, 매우 긴 컴퓨터 검색에서 보듯이 순서 10의 투영면은 존재하지 않으며,^[27] 이는 순서 10의 9 MLS가 존재하지 않음을 의미한다.

다른 존재 결과는 알려져 있지 않다.2020년 현재, 완전한 MOLS 세트의 존재가 결정되지 않은 가장 작은 순서는 12이다.^[update]^[10]

맥네이시 정리

MOLS( $n$ )의 최소 수는 $n$ = 2 또는 6을 제외한 모든 $n$ 에 대해 2인 것으로 알려져 있으며, 여기서 1이다.그러나, 더 많은 것을 말할 수 있다, 즉,^[28]

맥니쉬의 정리:If $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ is the factorization of the integer $n$ into powers of distinct primes $p_{1},p_{2},\cdots ,p_{r}$ then

MOLS(

n

)의 최소 수

\geq {\underset {i}{\operatorname {min} }}\{p_{i}^{\alpha _{i}}-1\}.

\geq {\underset {i}{\operatorname {min} }}\{p_{i}^{\alpha _{i}}-1\}.

\geq {\underset {i}{\operatorname {min} }}\{p_{i}^{\alpha _{i}}-1\}.

\geq {\underset {i}{\operatorname {min} }}\{p_{i}^{\alpha _{i}}-1\}.

- 1

\geq {\underset {i}{\operatorname {min} }}\{p_{i}^{\alpha _{i}}-1\}.

.

{\displaystyle \geq {\underset {i}{min}}}\{p_{i}^{

p_

{alpha _{i}-1\}.

}

맥네이쉬의 정리는 매우 좋은 하한을 주지 않는데, 예를 들어, $n$ 2 2 (mod 4)가 있으면, 즉 원소화에 단 2가 있다면, 그 정리는 1의 하한을 $부여$ 하고, n > 6이 되면 격퇴한다. $반면$ 에 n이 원소의 힘일 때는 정확한 값을 부여한다.

일반 합성수의 경우 MOLS의 개수를 알 수 없다. $n$ = 2, 3, 4...로 시작하는 처음 몇 개의 값은 1, 2, 3, 4, 1, 6, 7, 8, ...이다(OEIS의 경우 시퀀스 A001438).

$정확$ 한 MILS( $n$ ) 수를 알 수 없는 가장 작은 경우는 n = 10이다.그라코-라틴 네모난 건축에서 적어도 2개가 있어야 하고, 순서 10의 투영 평면의 비존재로부터는 9개가 채 안 된다.그러나 많은 연구자들이 그러한 세트를 발견하려고 시도했음에도 불구하고 3개의 MLS(10) 세트는 발견되지 않았다.^[29]

충분히 큰 $n$ 의 경우, MOLS의 수가 n ${\sqrt[{14.8}]{n}}$ 8 ${\$ 보다 크므로 ${\sqrt[{14.8}]{n}}$ 모든 $k$ 의 경우, MOLS의 $수$ 가 k일 정도로 한정된 $n$ 만 존재한다.^[30] $더욱이$ n > 90 모두에 대해 최소 6이다.

유한장구축

$q$ 가 prime 또는 prime power일 때마다 전체 MLS( $q$ ) 집합이 존재한다.이는 $q$ 가 프라임 파워 또는 프라임 파워일 때만 존재하는 유한장 GF( $q$ )에 기초한 건설에서 비롯된다.^[31]GF( $q$ )의 곱셈 그룹은 주기적인 그룹이며, 따라서 발전기 λ을 가지고 있는데, 이는 전장의 0이 아닌 모든 원소가 distinct의 구별되는 힘으로 표현될 수 있다는 것을 의미한다. GF( $q$ )의 $q$ 원소의 이름을 다음과 같이 짓는다.

α₀ = 0, α₁ = 1, α₂ = λ, α₃ = λ², ..., α_{$q$ -1} = λ^{$q$ -2}.

자, λ^{$q$ -1} = 1이고 α의 관점에서 제품 규칙은 α_$i$_$j$ = α이고_$t$ $여기$ 서 t = $i$ + $j$ -1 ( $mod$ q -1)이다.라틴 사각형은 다음과 같이 구성되며, 라틴 사각형 L의_$r$ (i, j)번째 항목( $r$ $j$ 0)은 L_$r$( $i,j$ ) = α_$i$ + αα이며_$r$_$j$, 여기서 모든 연산은 GF( $q$ )에서 발생한다.필드가 프라임 필드( $q$ = $p$ a prime)인 경우, 필드 요소가 통상적인 방식으로 표현되는 필드인 경우, 위의 명명 규칙을 삭제하여 L_$r$( $i,j$ ) = $i$ + $rj$ 로 간소화할 수 있으며 여기서 $r$ ≠ 0과 $i$ , $j$ , $r$ 은 GF( $p$ )의 요소이며 모든 운영은 GF(P)에 있다.위의 MILS(4)와 MILS(5)의 예는 알파벳의 변경에도 불구하고 이 구조에서 비롯되었다.

모든 MILS가 이 구조에서 발생하는 것은 아니다.이 현장 시공에서 얻은 MLS의 전체 집합과 연관된 투영 평면은 데스칼레스의 투영 평면이라는 특수한 유형이다.비Desarguestian 투영 평면이 존재하며, 이에 상응하는 전체 MOLS 세트는 유한한 필드로부터 얻을 수 없다.^[32]

직교 배열

강도 2와 지수 1의 직교 배열 OA( $k,n$ )는 A( $강도$ )의 두 열 내에서 모든 순서가 지정된 기호 쌍이 $정확히$ A(지수)의 한 행에 나타나도록 n 크기 n의 집합에서 입력된 $n 2$ × k $배열$ $A$ ( $k$ ≥ 2, $n$ ≥ 1, 정수)이다.^[33]

OA( $s$ + 2, $n$ )는 s MLS( $n$ )와 동일하다.^[33]예를 들어, 위에 제시된 MLS(4)의 예와 여기서 반복한다.

{\displaystyle{\begin{행렬}1&, 2&, 3&, 4\\2&, 1&, 4&, 3\\3&, 4&, 1&, 2\\4&, 3&, 2&, 1\\&.L_{1}&,&\end{매트릭스}}\qquad\qquad{\begin{행렬}1&, 2&, 3&, 4\\4&, 3&, 2&, 1\\2&, 1&, 4&, 3\\3&, 4&, 1&, 2\\&.L_{2}&,&\end{매트릭스}}\qquad\qquad{\begin{행렬}1&, 2&, 3&, 4\\3&, 4&, 1&, 2\\4&, 3&, 2&, 1\\2&, 1&, 4&, 3\\&.L_{3}&,&\end{매트릭스}}}

OA(5,4)를 형성하는 데 사용할 수 있다.

r	c	L₁	L₂	L₃
1	1	1	1	1
1	2	2	2	2
1	3	3	3	3
1	4	4	4	4
2	1	2	4	3
2	2	1	3	4
2	3	4	2	1
2	4	3	1	2
3	1	3	2	4
3	2	4	1	3
3	3	1	4	2
3	4	2	3	1
4	1	4	3	2
4	2	3	4	1
4	3	2	1	4
4	4	1	2	3

여기서 r과 c라는 레이블이 붙은 열의 항목은 사각형의 위치의 행과 열을 나타내며 나머지 행은 고정된 r과 c 값에 대한 나머지 행은 각 라틴어 사각형의 해당 위치의 항목으로 채워진다.이 과정은 되돌릴 수 있다. $s$ ≥ 3의 OA( $s$ , $n$ )가 주어진 경우, r과 c 역할을 수행할 두 개의 열을 선택한 다음 나머지 열의 항목으로 라틴 사각형을 작성한다.

보다 일반적인 직교 배열은 상호 직교 라틴 큐브와 같은 MLS 개념의 일반화를 나타낸다.

그물

A (기하학) ( $k,n$ )-net은 점이라고 불리는 n $원소$ 의² 집합이며, $두$ 개의 구별되는 선이 최대 한 지점에서 교차하는 특성과 함께 각각 n 크기라고 불리는 $n개$ 의 부분 집합이다.더욱이, 선들은 $각각$ n개의 선을 포함하는 $k개$ 의 평행 등급으로 분할될 수 있다.^[34]

$a$ ( $n$ + 1, n)-net은 n $순서$ 의 아핀 평면이다.

$k$ MLS( $n$ ) 세트는 a ( $k$ + 2, $n$ )-net과 같다.^[10]

$k$ MLS( $n$ )에서 a ( $k$ + 2, n)-net을 구성하려면 MOLS를 직교 배열, OA( $k$ + 2, $n$ )로 나타낸다(위 참조).직교 배열의 각 행에 있는 $항목들$ 의 순서 쌍은, $r$ 과 c라는 라벨이 붙어 있는 열에서, $망$ 의² n 포인트의 좌표로 간주된다.각 열(즉, 라틴 사각형)은 평행 클래스에서 선을 정의하는 데 사용된다.L_i 레이블로 표시된 열에 의해 결정된 $n개$ 의 선은 l로_ij 표시된다.L의_ij 점은 L 열의_i 항목이 $j$ 인 행에 해당하는 좌표를 가진 점일 것이다. $r$ 및 $c$ 열에 해당하는 두 개의 추가 병렬 클래스가 있다. $선$ _j $r$ 과_j c는 첫 번째 좌표가 $j$ 인 점과 두 번째 좌표가 각각 $j$ 인 점으로 구성된다.이 공사는 되돌릴 수 있다.^[35]

예를 들어, 위 섹션의 OA(5,4)를 사용하여 a (5,4)-넷(순서 4의 부속 평면)을 구성할 수 있다.각 선의 점은 다음과 같다(아래 각 행은 선의 병렬 클래스임).

$l$ ₁₁:	(1,1) (2,2) (3,3) (4,4)	$l$ ₁₂:	(1,2) (2,1) (3,4) (4,3)	$l$ ₁₃:	(1,3) (2,4) (3,1) (4,2)	$l$ ₁₄:	(1,4) (2,3) (3,2) (4,1)
$l$ ₂₁:	(1,1) (2,4) (3,2) (4,3)	$l$ ₂₂:	(1,2) (2,3) (3,1) (4,4)	$l$ ₂₃:	(1,3) (2,2) (3,4) (4,1)	$l$ ₂₄:	(1,4) (2,1) (3,3) (4,2)
$l$ ₃₁:	(1,1) (2,3) (3,4) (4,2)	$l$ ₃₂:	(1,2) (2,4) (3,3) (4,1)	$l$ ₃₃:	(1,3) (2,1) (3,2) (4,4)	$l$ ₃₄:	(1,4) (2,2) (3,1) (4,3)
$r$ ₁:	(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)	$r$ ₂:	(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)	$r$ ₃:	(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)	$r$ ₄:	(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
$c$ ₁:	(1,1) (2,1) (3,1) (4,1)	$c$ ₂:	(1,2) (2,2) (3,2) (4,2)	$c$ ₃:	(1,3) (2,3) (3,3) (4,3)	$c$ ₄:	(1,4) (2,4) (3,4) (4,4)

횡단 설계

k $그룹$ 의 크기 $n$ 과 지수 λ을 가진 횡단 설계는 T[ $k$ , λ; $n$ ]로 표시되며,^[36] 다음과 같은 경우 3중( $X,$ G, $B$ )이다.

$X$ 는 $kn$ variableset of kn variable;
$G =$ { $G 1,$ $G 2, ...,$ $G k$ }은(는) $X$ 의 파티션을 구성하는 k n-set(그룹이라고 하지만 대수적 의미에서는 그렇지 않음)의 계열이다.
$B$ 는 각 K $세트$ 가 각 그룹 $G$ 와_i 정확히 한 가지 품종에서 교차하고, 다른 그룹에 속하는 모든 한 쌍의 품종이 $B$ 의 정확히 blocks 블록에서 함께 발생하도록 k-세트(블록이라고 함)의 품종이다.

T[ $k$ ,1; $n$ ] 설계의 존재는 k-2 MLS( $n$ )의 존재와 동등하다.^[37]

횡단 설계 T[ $k$ ,1; $n$ ]는 $그물(k$ ,n)의 이중 발생 구조다.즉, $nk$ points와 $nblock$ 을² 가지고 있다.각 점은 $n개$ 의 블럭으로 되어 있으며, 각 블럭에는 $k개$ 의 점이 포함되어 있다.점들은 크기가 $n$ 인 $k$ 동등성 등급(그룹)으로 분류되어 같은 그룹의 두 점이 블록에 포함되지 않고 다른 그룹의 두 점이 정확히 하나의 블록에 속한다.^[38]

예를 들어, 이전 섹션의 (5,4)-넷을 사용하여 T[5,1;4] 횡단 설계를 구성할 수 있다.그물의 포인트( $i, j$ )와 관련된 블록은 $b$ 로_ij 표시된다.설계의 포인트는 $r파운드$ _i $i$ , $c파운드$ _j 5j, $l파운드$ 의_ij 5i+ $j$ 로 구한다.따라서 설계점은 정수 1, ..., 20으로 표시된다.설계 블럭은 다음과 같다.

$b$ ₁₁:	6 11 16 1 5	$b$ ₂₂:	6 13 19 2 10	$b$ ₃₃:	6 14 17 3 15	$b$ ₄₄:	6 12 18 4 20
$b$ ₁₂:	7 12 17 1 10	$b$ ₂₁:	7 14 18 2 5	$b$ ₃₄:	7 13 16 3 20	$b$ ₄₃:	7 11 19 4 15
$b$ ₁₃:	8 13 18 1 15	$b$ ₂₄:	8 11 17 2 20	$b$ ₃₁:	8 12 19 3 5	$b$ ₄₂:	8 14 16 4 10
$b$ ₁₄:	9 14 19 1 20	$b$ ₂₃:	9 12 16 2 15	$b$ ₃₂:	9 11 18 3 10	$b$ ₄₁:	9 13 17 4 5

다섯 개의 "그룹"은 다음과 같다.

6 7 8 9
11 12 13 14
16 17 18 19
1 2 3 4
5 10 15 20

그래프 이론

$k$ MLS( $n$ ) 집합은 전체( $k$ + 2)-부품 그래프 K를_n,...,n 전체 순서 $k$ + 2의 하위 그래프로 분할하는 에지 분할과 동일하다.^[10]

적용들

상호 직교 라틴어 정사각형은 응용 범위가 매우 다양하다.그것들은 실험의 통계적 설계, 토너먼트 스케줄링, 그리고 코드의 수정과 검출 오류에서 시공을 위한 출발점으로 사용된다.오일러의 그라코-라틴 광장에 대한 관심은 마법의 광장을 건설하려는 그의 욕망에서 비롯되었다.프랑스 작가 조르주 페렉은 1978년 소설 '라이프: 사용자 설명서'를 10×10 그라코-라틴 광장을 중심으로 구성했다.

참고 항목

메모들

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참조

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외부 링크

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Weisstein, Eric W. "36 Officer Problem". MathWorld.
오일러의 컨버전스에서의 라틴 스퀘어와 오일러 스퀘어에 관한 연구
Graeco-Latin 정사각형(자체적으로 구성되지 않음)을 즉시 구성할 수 있도록 지원하는 Java Tool
정사각형을 제외한 모든 것: 마법의 사각형에서 스도쿠까지
Magic Square, Graecco-Latin Square를 1x1에서 10x10까지 해결하는 Javascript 애플리케이션 및 관련 소스 코드(Firefox 브라우저 및 HTML5 모바일 장치의 Javascript)와의 역사적 사실 및 상관 관계
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v t 실험 설계
과학적인 방법	과학 실험 통계설계 컨트롤 내외유효성 실험 단위 블라인딩 최적 설계:베이시안 무작위 할당 무작위화 제한된 무작위화 복제 대 하위 샘플링 표본크기
치료 그리고 막힘	치료 효과 크기 대비 상호작용 교란 직교성 막는 공변량 성가신호
모델 추론과 추론	선형 회귀 분석 보통 최소 제곱 베이시안 랜덤 효과 혼성모델 계층적 모형: 베이시안 분산 분석(아노바) 코크란의 정리 마노바(다변수) 앙코바(공분산) 평균 비교 다중 비교
디자인 완전히 임의의	요인 부분 요인 플라켓-버먼 타구치 반응 표면 방법론 다항식 및 합리적 모델링 박스벤켄 중심복합체 블록 일반화 랜덤화 블록 설계(GRBD) 라틴 사각형 그라코라틴 광장 직교 배열 라틴어 하이퍼큐브 반복측정 설계 크로스오버 연구 무작위 제어 평가판 순차 분석 순차 확률비 검정
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