케이리 테이블

Cayley table

19세기 영국 수학자 아서 케이리(Arthur Cayley)의 이름을 딴 케이리(Cayley) 표는 덧셈이나 곱셈표를 연상시키는 사각형 표에 그룹 원소의 가능한 모든 생산물을 배열하여 유한집단의 구조를 기술하고 있다.어떤 요소들이 어떤 요소들의 반대인지, 어떤 요소들이 그룹 중심부의 크기와 내용인지 등 그룹의 많은 특성들을 Cayley 표에서 찾을 수 있다.

Cayley 테이블의 간단한 예는 일반 곱하기 아래의 {1, -1} 그룹에 대한 것이다.

× 1 −1
1 1 −1
−1 −1 1

역사

Cayley 표는 Cayley의 1854년 논문 "Ion n The Theory of Groups, = = 1"에서 처음 제시되었다.그 논문에서 그들은 단순히 표라고 불렸고, 단지 예증일 뿐이며, 나중에 그들의 창조자를 기리기 위해 Cayley 테이블로 알려지게 되었다.

구조 및 배치

많은 Cayley 테이블은 아벨리안이 아닌 그룹을 설명하기 때문에 그룹의 이진 작동에 관한 제품 ab는 그룹의 모든 a와 b에 대해 제품 ba와 동일하다고 보장되지 않는다.혼동을 피하기 위해 행에 레이블을 붙이는 요인(케이리(Cayley)이 먼저고, 열에 레이블을 붙이는 요인(또는 추가 요인)이 두 번째라는 것이 관례다.예를 들어, a행과 b행의 교차점은 다음 예와 같이 ba가 아니라 ab이다.

* a b c
a a의2 AB ac
b ba b2 bc
c ca cb c2

속성 및 사용

동시성

Cayley 테이블은 우리에게 그룹이 아벨리안인지 아닌지를 알려준다.아벨리파의 집단 운영은 상쇄적이기 때문에, 그 집단은 그 집단의 케이리 테이블의 값이 대각선을 따라 대칭인 경우에만 아벨리안이다.일반적인 곱셈에 따른 순서 3의 순환군, 위와 위, {1, -1}은 둘 다 아벨리아 집단의 예로서, 그들의 케이리 테이블의 대칭성에 대한 검사에서 이를 검증한다.이와는 대조적으로, 가장 작은 비아벨리아 그룹인 순서 6의 디헤드랄 그룹은 대칭적인 카이리 표를 가지고 있지 않다.

연관성

결연성은 그룹을 대할 때 공리로 받아들여지기 때문에 케이리 테이블을 대할 때 당연하게 받아들여지는 경우가 많다.그러나 케이리 테이블은 퀘이시 그룹의 운영을 특성화하는 데도 사용될 수 있는데, 퀘이시 그룹은 공리로 연관성을 가정하지 않는다(실제로 케이리 테이블은 유한 마그마의 작동을 특성화하는 데 사용될 수 있다).불행히도, 수술은 단순히 그것의 Cayley 테이블을 쳐다보는 것만으로 연관성이 있는지 아닌지를 판단하는 것은 일반적으로 불가능하다.은 연관성이 방정식에 의존하는 반면, 테이블은 제품을 보여주기 때문이다그러나 빛의 연관성 테스트는 무력에 비해 적은 노력으로 연관성을 판별할 수 있다.

순열

취소 특성은 그룹(그리고 실제로 Quas그룹도 포함)에 대해 보유하기 때문에 Cayley 테이블의 어떤 행이나 열도 동일한 요소를 두 번 포함할 수 없다.따라서 표의 각 행과 열은 그룹 내 모든 요소의 순열이다.이것은 어떤 Cayley 테이블이 유효한 그룹 연산을 상상할 수 있는가를 크게 제한한다.

행 또는 열이 동일한 요소를 두 번 이상 포함할 수 없는 이유를 확인하려면 a, x 및 y를 구분하여 모두 그룹의 요소가 되도록 하십시오.그런 다음 요소 a를 나타내는 행에서 x에 해당하는 열에는 제품 도끼가 포함되고, 마찬가지로 y에 해당하는 열에는 제품 ay가 포함된다.만약 이 두 가지 제품이 동일하다면(즉, 우리의 가설인 동일한 요소를 두 번 포함) 도끼는 Ay와 동일할 것이다.그러나 취소법은 지켜지기 때문에 만약 도끼 = ay, 그렇다면 x = y, 모순이라고 결론 내릴 수 있다.따라서 우리의 가설은 부정확하며, 행은 같은 원소를 두 번 포함할 수 없다.정확히 동일한 주장이 칼럼 대소문자를 입증하기에 충분하며, 따라서 각 행과 열에는 두 번 이상의 요소가 포함되어 있지 않다고 결론짓는다.집단이 유한하기 때문에, 비둘기구멍 원리는 집단의 각 원소가 각 행과 각 열에 정확히 한 번 나타나도록 보장한다.

따라서 집단의 케이리 테이블은 라틴 사각형의 한 예다.

또 다른 간단한 증거: 취소 속성은 그룹의 각 x에 대해 y f(x,y)=xy의 단일 변수 함수가 일대일 지도여야 함을 의미한다.그리고 유한 집합의 1대 1 지도는 순열이다.

Cayley 테이블 구성

그룹 구조상 해당 그룹 운영에 대한 완전한 특성화가 없어도 결측 요소가 있는 케이리 테이블을 '충전'할 수 있는 경우가 매우 많다.예를 들어, 각 행과 열에는 그룹의 모든 요소가 포함되어야 하기 때문에, 모든 요소가 하나의 요소를 저장하고 하나의 빈 자리가 있는 경우, 그룹에 대해 다른 어떤 것도 모른 채, 해당 요소가 나머지 빈 공간을 차지해야 한다는 결론을 내릴 수 있다.일반적으로 그룹에 대한 이러한 관찰과 다른 관찰을 통해 우리는 문제의 그룹에 대해 거의 알지 못하는 그룹의 Cayley 테이블을 구성할 수 있다는 것이 밝혀졌다.

유한집단의 "정체성 골격"

왜냐하면 어떤 그룹에서도, 심지어 비아벨리안 그룹에서도, 모든 원소는 그 자신의 역행으로 통용되기 때문에, 케이리 테이블의 신분 원소의 분포는 테이블의 대각선 전체에 걸쳐 대칭이 될 것이다.대각선 위에 놓여 있는 것들은 그들만의 독특한 역이다.

케이리 테이블의 행과 열의 순서는 사실 임의적이기 때문에, 다음과 같은 방법으로 순서를 정하는 것이 편리하다: 항상 자신의 역인 집단의 정체성 원소부터 시작하여 자기 자신의 역인 모든 원소를 먼저 나열하고, 그 뒤에 서로 인접하여 열거된 인버들의 쌍을 나열한다.

그러면, 특정 질서의 유한 집단의 경우, 케이리 테이블의 정체성 요소들이 주요 대각선 주위에 군집되어 있기 때문에, 그렇게 이름 붙여진 "아이덴티티 몰골"을 특징 짓기 쉽다.

역은 사실이 아니지만(예를 들어 주기 그룹 C와8 쿼터니온 그룹 Q는 비이형적이지만 동일 정체성 골격을 가지고 있음) 서로 다른 정체성 골격을 가진 집단이 이형일 수 없다는 것을 증명하는 것은 비교적 사소한 일이다.

요소 e, a, b, c, d, f를 포함하는 6개 요소 그룹을 고려하십시오.관례상 e는 그룹의 정체성 요소다.아이덴티티 요소는 항상 그 자신의 역이며, 그 역은 독특하기 때문에, 이 그룹에 6개의 원소가 있다는 사실은 e 이외의 원소가 적어도 하나의 역이 되어야 한다는 것을 의미한다.그래서 우리는 다음과 같은 가능한 해골을 가지고 있다.

  1. 모든 원소들은 그들 자신의 장본인이다.
  2. d와 f를 절약하는 모든 원소는 그들 자신의 invers이다. 이 두 원소는 각각 다른 원소의 반대가 된다.
  3. a는 자신의 역, b와 c는 invers, d와 f는 invers이다.

우리의 특별한 예에서, 순서 6의 첫 번째 유형의 집단은 존재하지 않는다; 실제로, 단순히 특정한 신분적 몰골을 상상할 수 있다고 해서 그것에 맞는 집단이 존재한다는 것을 일반적으로 의미하지는 않는다.

모든 원소가 자신의 역인 모든 집단은 아벨리안이다: a와 b를 집단의 원소가 되게 하고, 그 다음 ab = (ab)−1 = ba−1−1 = ba = ba.

신원 골격 채우기

일단 특정 신원 유골이 결정되면, 케이리 표 작성에 착수할 수 있다.예를 들어 위에서 설명한 두 번째 유형의 순서 6 그룹의 ID 골격을 예로 들어보자.

e a b c d f
e e
a e
b e
c e
d e
f e

분명히 e-row와 e-column은 즉시 작성될 수 있다.

e a b c d f
e e a b c d f
a a e
b b e
c c e
d d e
f f e

이 작업이 완료되면 진행 방법에 대해 몇 가지 가능한 옵션이 있다.우리는 ab의 가치에 초점을 맞출 것이다.그룹의 각 요소는 각 행에 한 번, 그리고 각 열에 한 번만 나타나야 하기 때문에, 가능한 유일한 유효 값은 c, d 또는 f이다.그러나 우리는 두 요소 d와 f를 교환하는 것이 우리가 이미 가지고 있는 것과 정확히 같은 표를 만들 수 있다는 것을 알 수 있다. 임의로 선택된 라벨을 위해 절약할 수 있다.따라서 우리는 이 두 가지 옵션 모두 이소모르퍼리즘에 이르기까지 동일한 결과를 초래할 것으로 예상할 수 있으며, 따라서 우리는 그 중 하나만 고려할 필요가 있다.

또한 하나 또는 여러 개의 값들이 나중에 모순으로 이어질 수 있다는 점, 즉 단순히 그것들이 사실 전혀 엉뚱한 값이 아니었다는 것을 의미한다는 점에 유의해야 한다.

ab = c

왼쪽과 오른쪽을 교대로 곱하면 한 방정식을 다른 방정식을 모두 내포하는 방정식의 순환으로 확장할 수 있다.

  • 왼쪽의 ab = c를 a gives b = ac로 곱하기
  • b = 오른쪽에 ac를 c로 곱하면 b = a가 된다.
  • 왼쪽의 a에 b를 곱하면 c = ba가 된다.
  • 우측에 c = ba를 a로 곱하면 ca = b가 된다.
  • 왼쪽의 b에 c를 곱하면 a = cb가 된다.
  • 오른쪽에 있는 a = cb를 b로 곱하면 ab = c가 된다.

이 모든 제품을 채우면 Cayley 테이블은 이제 다음과 같이 보인다(빨간색으로 표시된 새로운 요소:

e a b c d f
e e a b c d f
a a e c b
b b c e a
c c b a e
d d e
f f e

우리는 이제 광고의 가치에 초점을 맞출 것이다.그룹의 각 요소는 각 행에 한 번, 그리고 각 열에 한 번, 한 번만 나타나야 하기 때문에, 광고의 유효한 유일한 가치는 f이다.

왼쪽과 오른쪽을 교대로 곱하면 한 방정식을 다른 방정식을 모두 내포하는 방정식의 순환으로 확장할 수 있다.

  • 멀티플링 광고 = 왼쪽의 f에 a gives d = af
  • 오른쪽에2 d = af를 d로 곱하면 d = a가 된다.
  • d2 = 왼쪽에 a를 f로 곱하면 d = fa가 된다.
  • 곱하기 d = 오른쪽 fa에 a gives da = f
  • 왼쪽에 f를 f로 곱하면 a = f가2 된다.
  • 오른쪽에 a = f를2 d로 곱하면 광고 = f

이 모든 제품을 채우면 Cayley 테이블은 이제 다음과 같이 보인다(파란색으로 표시된 새로운 요소:

e a b c d f
e e a b c d f
a a e c b f d
b b c e a
c c b a e
d d f a e
f f d e a

우리는 이제 bd의 가치에 초점을 맞출 것이다.불행히도 그룹의 각 요소는 각 행에 한 번, 그리고 각 열에 한 번, 그리고 한 번만 나타나야 하기 때문에 bd의 유효한 값은 없다.

이는 우리가 선택한 옵션(ab=c)이 모순을 일으키지 않고서는 어떤 가치도 bd에 할당될 수 없는 지점으로 우리를 이끈다는 것을 의미한다.그러므로 우리는 그 ab c c를 보여주었다.

만약 우리가 비슷한 방법으로 모든 옵션이 모순으로 이어진다는 것을 보여준다면, 우리는 우리가 시작했던 정체성 골격을 가진 어떤 순서 6의 그룹도 존재하지 않는다고 결론지어야 한다.

ab = d

왼쪽과 오른쪽을 교대로 곱하면 한 방정식을 다른 방정식을 모두 내포하는 방정식의 순환으로 확장할 수 있다.

  • a gives b = add 왼쪽에 a gives b = add
  • b를 곱하면 오른쪽에 f가 bf = a가 된다.
  • bf = 왼쪽에 a를 b로 곱하면 f = ba가 된다.
  • 곱하기 f = 오른쪽 ba에 a가 주어 fa = b
  • 왼쪽의 b에 d를 곱하면 a = db가 된다.
  • a = 오른쪽에 db를 b로 곱하면 ab = d가 된다.

이 모든 제품을 채우면 Cayley 테이블은 이제 다음과 같이 보인다(빨간색으로 표시된 새로운 요소:

e a b c d f
e e a b c d f
a a e d b
b b f e a
c c e
d d a e
f f b e

우리는 이제 ac의 가치에 초점을 맞출 것이다.그룹의 각 요소는 각 행에 한 번, 그리고 각 열에 한 번, 한 번만 나타나야 하기 때문에, 유효한 AC 값만 f이다.

왼쪽과 오른쪽을 교대로 곱하면 한 방정식을 다른 방정식을 모두 내포하는 방정식의 순환으로 확장할 수 있다.

  • 왼쪽의 f에 a gives c = a를 곱한 값
  • 오른쪽에 c = af를 d로 곱하면 cd = a가 된다.
  • cd = 왼쪽에 a를 c로 곱하면 d = ca가 된다.
  • d = 오른쪽에 있는 ca에 a gives da = c
  • 왼쪽의 c에 f를 곱하면 a = fc가 된다.
  • 오른쪽에 a = fc를 c로 곱하면 ac = f가 된다.

이 모든 제품을 채우면 Cayley 테이블은 이제 다음과 같이 보인다(파란색으로 표시된 새로운 요소:


e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f b c
b b f e a
c c d e a
d d c a e
f f b a e

우리는 이제 bc의 가치에 초점을 맞출 것이다.그룹의 각 요소는 각 행에 한 번, 그리고 각 열에 한 번, 한 번만 나타나야 하기 때문에, bc의 유일한 유효 값은 d이다.

왼쪽과 오른쪽을 교대로 곱하면 한 방정식을 다른 방정식을 모두 내포하는 방정식의 순환으로 확장할 수 있다.

  • 왼쪽의 d에 b를 곱하면 c = bd가 된다.
  • 오른쪽에 c = bd를 f로 곱하면 cf = b가 된다.
  • 왼쪽의 b에 c를 곱하면 f = cb가 된다.
  • 곱하기 f = 오른쪽에 있는 cb를 b로 하면 fb = c가 된다.
  • 왼쪽에 fb = c를 d로 곱하면 b = dc가 된다.
  • b = 오른쪽에 dc를 c로 곱하면 bc = d가 된다.

이 모든 제품을 채우면 Cayley 테이블은 이제 다음과 같이 보인다(녹색으로 표시된 새로운 요소).

e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f b c
b b f e d c a
c c d f e a b
d d c a b e
f f b c a e

마지막으로, 그룹의 각 요소는 각 행에 한 번, 그리고 각 열에 한 번, 한 번만 나타나야 하기 때문에, 가능한 유일한 유효2 값은 f이고, 유일한2 유효 값은 d이다.

이 제품들을 채우면, Cayley 테이블은 다음과 같이 보인다(오렌지색에 새로운 요소들).

e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f b c
b b f e d c a
c c d f e a b
d d c a b f e
f f b c a e d


모순을 얻지 못한 채 간신히 표 전체를 채웠기 때문에, 순서 6의 집단을 찾았고, 검사 결과 비아벨리안임이 밝혀졌다.이 그룹은 사실 가장 작은 비아벨리아 그룹인 디헤드랄 그룹3 D:


순열 매트릭스 생성

Cayley 테이블의 표준 형식은 열의 순서와 같은 행의 원소의 순서를 가지고 있다.또 다른 형태는 n번째 열이 n번째 행의 원소의 역에 대응하도록 열의 원소를 배열하는 것이다.우리의 D의3 예에서, f와 d는 그들 자신의 invers가 아니라, 대신에 서로 invers인 유일한 요소이기 때문에, 우리는 마지막 두 열만 바꾸면 된다.

e a b c f=d−1 d=f−1
e e a b c f d
a a e d f c b
b b f e d a c
c c d f e b a
d d c a b e f
f f b c a d e

이 특별한 예제를 통해 6개의 순열 행렬(모든 요소 1 또는 0, 각 행과 열에 정확히 1개)을 생성할 수 있다.요소를 나타내는 6x6 매트릭스는 Cayley 테이블에 원소의 문자가 있는 모든 위치에서 1을 가지며, 다른 모든 위치에서 0을 가지며, 해당 기호에 대한 Kronecker 델타 함수를 갖는다.(e는 주요 대각선 아래 모든 위치에 있으며, 이는 우리가 예상한 대로 6x6 행렬에 대한 ID 매트릭스를 제공한다.)예를 들어, 여기 우리의 요소 a를 나타내는 행렬이 있다.

e a b c f d
e 0 1 0 0 0 0
a 1 0 0 0 0 0
b 0 0 0 0 1 0
c 0 0 0 0 0 1
d 0 0 1 0 0 0
f 0 0 0 1 0 0

이것은 우리에게 순서 n의 모든 그룹이 순열 그룹 S의n 하위 그룹, 순서 n!의 하위 그룹이라는 것을 직접적으로 보여준다.

일반화

위의 속성은 그룹에 유효한 몇 가지 공리에 따라 달라진다.세미그룹, 퀘이시그룹, 마그마스와 같은 다른 대수 구조에 대해 케이리 표를 고려하는 것은 당연하지만, 위의 속성 중 일부는 지탱하지 못한다.

참고 항목

참조