반응 표면 방법론

통계에서, 반응 표면 방법론(RSM)은 여러 설명 변수와 하나 이상의 반응 변수 사이의 관계를 탐구한다. 이 방법은 George E. P. Box와 K. B에 의해 도입되었다. 1951년 윌슨 RSM의 주요 아이디어는 최적의 반응을 얻기 위해 일련의 설계된 실험을 사용하는 것이다. Box와 Wilson은 이것을 하기 위해 2급 다항식 모델을 사용할 것을 제안한다. 그들은 이 모형이 근사치일 뿐이라는 것을 인정하지만, 그러한 모형은 공정에 대해 거의 알려져 있지 않은 경우에도 추정하고 적용하기 쉽기 때문에 이 모형을 사용한다.

RSM과 같은 통계적 접근법을 채택하여 운용 요인의 최적화에 의한 특수 물질의 생산을 극대화할 수 있다. 최근에는, 제형 최적화를 위해, 적절한 실험 설계(DoE)를 이용한 RSM이 광범위하게 사용되고 있다.^[1] 기존 방법과 달리 공정 변수 간의 교호작용은 통계적 기법에 의해 결정될 수 있다.^[2]

반응 표면 방법론의 기본 접근법

1급 다항식 모형을 추정하는 쉬운 방법은 요인 실험 또는 부분 요인 설계를 사용하는 것이다. 이것은 어떤 설명 변수가 관심 있는 반응 변수에 영향을 미치는지 결정하기에 충분하다. 일단 유의미한 설명 변수만 남아 있는 것으로 의심되면, 2차 다항식 모델을 추정하기 위해 중심 합성 계획법 설계와 같은 보다 복잡한 설계를 구현할 수 있는데, 이것은 기껏해야 근사치에 불과하다. 그러나 2차 모델을 사용하여 관심 반응 변수의 최적화를(최대화, 최소화 또는 특정 목표 달성)할 수 있다.

중요 RSM 속성 및 기능

Orthogonality: k-요인의 개별 효과를 교란(또는 최소) 없이 독립적으로 추정할 수 있는 속성. 또한 직교성은 상관 관계가 없도록 모형 계수의 최소 분산 추정치를 제공한다.

ROTATability: 요인 공간의 중심에 대한 설계의 회전 점의 속성. 설계점 분포 모멘트는 일정하다.

균일성: 중심점 수를 제어하는 데 사용되는 CCD 설계의 세 번째 특성은 균일한 정밀도(또는 균일성)이다.

특수 기하학

큐브

큐빅 디자인은 키퍼, 앳킨슨, 도네브, 토바이어스가, 하딘과 슬로운이 논의한다.

구

구면 디자인은 키퍼와 하딘과 슬로운이 논의한다.

심플렉스 기하학 및 혼합물 실험

혼합물 실험은 실험의 설계에 관한 많은 책과 Box와 Draper, Atkinson, Didv, Tobias의 반응 표면 방법론 교과서에서 논의된다. 존 코넬의 고급 교과서에 광범위한 토론과 조사가 등장한다.

확장

다중 목적 함수

반응 표면 방법론의 일부 확장에서는 다중 반응 문제를 다룬다. 한 반응에 대해 최적의 것은 다른 반응에 대해 최적이 아닐 수 있기 때문에 다중 반응 변수는 어려움을 야기한다. 다른 확장은 특정 값을 목표로 하는 동안 단일 반응의 변동성을 줄이거나 해당 반응의 변동성이 너무 커지는 것을 방지하면서 최대값 또는 최소값에 도달하는 데 사용된다.

실무적 우려

반응 표면 방법론은 통계적 모델을 사용하므로, 실무자들은 최상의 통계적 모델도 현실에 대한 근사치라는 것을 알아야 한다. 실제로 모델과 파라미터 값은 모두 알 수 없으며, 무지와 더불어 불확실성을 겪게 된다. 물론 추정치의 오류와 모형의 불충분 때문에, 추정 최적 지점은 현실적으로 최적일 필요는 없다.

그럼에도 불구하고, 대응 표면 방법론은 연구자가 제품과 서비스를 개선하는 데 도움이 되는 효과적인 추적 기록을 가지고 있다. 예를 들어, Box의 원래 반응 표면 모델링은 화학 엔지니어들이 수년간 안장 지점에 고착되어 있던 공정을 개선할 수 있게 했다. 엔지니어들은 2차 모델을 추정하기 위해 입방체 3-수준 설계를 맞출 여유가 없었고, 편향된 선형 모델은 구배를 0으로 추정했다. 박스의 설계는 2차 모델을 적합시킬 수 있도록 실험 비용을 줄였고, 이는 (장기적으로) 상승 방향으로 이어졌다.^[3][4]

참고 항목

• Box-Behnken 디자인
• 중심 합성 계획법 설계
• GEK(Gradient-enhanced Kriging)
• 응답-표면 방법론에 기초한 IOSO
• 최적 설계
• Plackett-Burman 설계
• 다항식 및 합리적인 기능 모델링
• 다항식 회귀 분석
• 확률론적 설계
• 대리모형

참조

• Box, G.E.P.; Wilson, K.B. (1951). "On the Experimental Attainment of Optimum Conditions". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 13 (1): 1–45. doi:10.1111/j.2517-6161.1951.tb00067.x.
• Box, G. E. P.와 Draper, Norman. 2007. 반응 표면, 혼합물 및 능선 분석, 제2판 [경험적 모델 구축 및 반응 표면, 1987], Wiley.
• Atkinson, A.C.; Donev, A.N.; Tobias, R.D. (2007). Optimum Experimental Designs, with SAS. Oxford University Press. pp. 511+xvi. ISBN 978-0-19-929660-6.
• Cornell, John (2002). Experiments with Mixtures: Designs, Models, and the Analysis of Mixture Data (third ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-07916-3.

• Goos, Peter] (2002). The Optimal Design of Blocked and Split-plot Experiments. Lecture Notes in Statistics. 164. Springer. ISBN 978-0-387-95515-5.
• Kiefer, Jack Carl (1985). L. D. Brown; et al. (eds.). Jack Carl Kiefer Collected Papers III Design of Experiments. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96004-3.
• Pukelsheim, Friedrich (2006). Optimal Design of Experiments. SIAM]. ISBN 978-0-89871-604-7.
• Hardin, R.H.; Sloane, N.J.A. (1993). "A New Approach to the Construction of Optimal Designs" (PDF). Journal of Statistical Planning and Inference. 37 (3): 339–369. doi:10.1016/0378-3758(93)90112-J.
• Hardin, R.H.; Sloane, N.J.A. "Computer-Generated Minimal (and Larger) Response Surface Designs: (I) The Sphere" (PDF).
• Hardin, R.H.; Sloane, N.J.A. "Computer-Generated Minimal (and Larger) Response Surface Designs: (II) The Cube" (PDF).
• Ghosh, S.; Rao, C. R., eds. (1996). Design and Analysis of Experiments. Handbook of Statistics. 13. North-Holland. ISBN 978-0-444-82061-7.
  • Draper, Norman; Lin, Dennis K.J. "Response surface designs": 343–375. Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)
  • Gaffke, Norbert; Heiligers, Berthold (1996). "30 Approximate designs for polynomial regression: Invariance, admissibility, and optimality". Approximate designs for polynomial regression: Invariance, admissibility, and optimality. Handbook of Statistics. 13. pp. 1149–99. doi:10.1016/S0169-7161(96)13032-7. ISBN 9780444820617.

역사적

• Gergonne, J. D. (1974) [1815]. "The application of the method of least squares to the interpolation of sequences". Historia Mathematica (Translated by Ralph St. John and S. M. Stigler from the 1815 French ed.). 1 (4): 439–447. doi:10.1016/0315-0860(74)90034-2.
• Stigler, Stephen M. (1974). "Gergonne's 1815 paper on the design and analysis of polynomial regression experiments". Historia Mathematica. 1 (4): 431–9. doi:10.1016/0315-0860(74)90033-0.

• Peirce, C. S. (1876). "Note on the Theory of the Economy of Research" (PDF). Coast Survey Report. Appendix No. 14: 197–201.
  • 문단 139~157에서 재인쇄되었다.
  • 에
• Smith, Kirstine (1918). "On the Standard Deviations of Adjusted and Interpolated Values of an Observed Polynomial Function and its Constants and the Guidance They Give Towards a Proper Choice of the Distribution of the Observations". Biometrika. 12 (1/2): 1–85. doi:10.2307/2331929. JSTOR 2331929.

외부 링크

• 반응 표면 설계