상이한 통합

수학적 분석 영역인 분수 미적분학에서, 다른 통합은 결합된 분화/통합 연산자다.f의 q-differental인 함수 to에 적용되며, 여기서 다음과 같이 표시된다.

\mathb {D} ^{q}f

부분파생상품(q > 0일 경우) 또는 부분적분(q < 0일 경우)이다.q = 0이면 함수의 q-th 차이점은 함수 자체다.부분적 통합과 분화의 맥락에서, 서로 다른 통합에 대한 몇 가지 합법적인 정의가 있다.

표준 정의

가장 일반적인 네 가지 형태는 다음과 같다.

리만-리우빌은 통합성이 다르다.
이것은 가장 간단하고 사용하기 쉬우며, 결과적으로 가장 자주 사용된다.임의의 질서에 대한 반복적인 통합을 위한 코시 공식의 일반화다.여기서 $n=\lceil q\rceil$ = $n=\lceil q\rceil$ $n=\lceil q\rceil$ $n=\lceil q\rceil$ ${\displaystyle$ n $=\lceil q\rceil$ $n=\lceil q\rceil$ ${\begin{aligned}{}_{a}^{RL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int _{a}^{t}(t-\tau )^{n-q-1}f(\tau )d\tau \end{aligned}}$
그룬발트-레트니코프는 통합성이 다르다.
그룬발트-레트니코프 차등적합성은 파생상품의 정의를 직접 일반화한 것이다.리만-리우빌이 통합적으로 다른 것보다 사용하기가 더 어렵지만, 리만-리우빌이 해결할 수 없는 문제를 해결하는 데 쓰일 때도 있다. ${\begin{aligned}{}_{a}^{GL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {t-a}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(t-j\left[{\frac {t-a}{N}}\right]\right)\end{aligned}}$
Weyl은 서로 다른 통합이다.
이것은 공식적으로 리만-리우빌의 서로 다른 통합성과 유사하지만, 일정 기간 동안 적분 0을 갖는 주기적 기능에 적용된다.
카푸토는 서로 다르다.
리만-리우빌의 서로 다른 통합과는 반대로, 상수 $f(t)$ ( t $){\displaystyle f(t)}$ 의 카푸토 파생상품은 0과 $f(t)$ .더욱이, 라플라스 변환의 형태는 $a$ $a$ 에서 한정된 정수 순서 파생상품을 계산하여 초기 조건을 간단하게 평가할 수 있다 $a$ ${\begin{aligned}{}_{a}^{C}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}\int _{a}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{(t-\tau )^{q-n+1}}}d\tau \end{aligned}}$

변환을 통한 정의

${\mathcal {F}}$ 서 F ${\$ 로 표시된 연속 푸리에 변환을 호출하십시오 ${\mathcal {F}}$

F(\omega )={\mathcal {F}\{f(t)\}\}={\frac {1}{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\inft}^{-\f(t)e^{-i\omega t}\,dt

연속 푸리에 변환을 사용하여 푸리에 공간에서 분화는 다음과 같은 곱으로 변환한다.

{\mathcal {F}\왼쪽[{\frac {df(t)}{dt}\오른쪽]=i\omega {\mathcal {F}[f(t)]}

그렇게

{\dfrac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}={\mathcal {F}^{-1}\좌측\{(i\omega )^{n}{\mathcal {F}[f(t)]\오른쪽\}}}}}}

에 일반화된.

\mathb {D}^{q}f(t)={\mathcal {F}^{-1}\좌측\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F}[f(t)]\right\}}.

Under the bilateral Laplace transform, here denoted by ${\mathcal {L}}$ and defined as ${\textstyle {\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$ , differentiation transforms into a multiplication

{\mathcal{L}\왼쪽[{\frac {df(t)}{dt}\right]=s{\mathcal{L}[f(t)].

임의의 순서에 따라 일반화 및^q Df(t)에 대한 해결은 다음과 같다.

\mathb {D}^{q}f(t)={\mathcal{{L}^{-1}\왼쪽\{s^{q}{\mathcal {L}[f(t)]\right\}.

기본 형식 속성

선형성 규칙

\mathb {D}^{q}(f+g)=\mathb {D}^{q}(f)+\mathb {D}^{q}(g)

\mathb {D} ^{q}(af)=a\mathb {D} ^{q}(f)

제로 규칙

\mathb {D}^{0}f=f

제품 규칙

{\displaystyle \mathb {D} _{t}^{q}(fg)=\sum _{j=0}^{\infit }{q \mathb {D} _{t}(f)\mathb {d} _{t}^{q-j}(g)를 선택하십시오.

일반적으로 구성(또는 세미그룹) 규칙은 다음과 같이 충족되지 않는다.^[1]

\mathb {D} ^{a}\mathb {D} ^{b}f\neq \mathb {D} ^{a+b}f

참고 항목

소수점 통합업체

참조

^ 참조Kilbas, A. A.; Srivastava, H. M.; Trujillo, J. J. (2006). "2. Fractional Integrals and Fractional Derivatives §2.1 Property 2.4". Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier. p. 75. ISBN 9780444518323.

Miller, Kenneth S. (1993). Ross, Bertram (ed.). An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. Wiley. ISBN 0-471-58884-9.
Oldham, Keith B.; Spanier, Jerome (1974). The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order. Mathematics in Science and Engineering. Vol. V. Academic Press. ISBN 0-12-525550-0.
Podlubny, Igor (1998). Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications. Mathematics in Science and Engineering. Vol. 198. Academic Press. ISBN 0-12-558840-2.
Carpinteri, A.; Mainardi, F., eds. (1998). Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. Springer-Verlag. ISBN 3-211-82913-X.
Mainardi, F. (2010). Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. Imperial College Press. ISBN 978-1-84816-329-4. Archived from the original on 2012-05-19.
Tarasov, V.E. (2010). Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. Nonlinear Physical Science. Springer. ISBN 978-3-642-14003-7.
Uchaikin, V.V. (2012). Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Nonlinear Physical Science. Springer. Bibcode:2013fdpe.book.....U. ISBN 978-3-642-33910-3.
West, Bruce J.; Bologna, Mauro; Grigolini, Paolo (2003). Physics of Fractal Operators. Springer Verlag. ISBN 0-387-95554-2.

외부 링크

MathWorld – 분수 미적분학
MathWorld – Fractal 파생 모델
전문 저널:미적분 및 응용 분석(1998-2014)과 미적분 및 응용 분석(2015년)
전문 저널:분수 미분 방정식(FDE)
전문 저널:분수 미적분학의 통신 (ISSN 2218-3892)
전문 저널: 분수 미적분 및 응용 분야 저널(JFCA)
Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T. (2002). "Initialized Fractional Calculus". Information Technology. Tech Briefs Media Group.
https://web.archive.org/web/20040502170831/http:///unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
이고르 포들루브니의 관련 서적, 기사, 링크, 소프트웨어 등의 소장품.
Podlubny, I. (2002). "Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation" (PDF). Fractional Calculus and Applied Analysis. 5 (4): 367–386. arXiv:math.CA/0110241. Bibcode:2001math.....10241P.
Zavada, P. (1998). "Operator of fractional derivative in the complex plane". Communications in Mathematical Physics. 192 (2): 261–285. arXiv:funct-an/9608002. Bibcode:1998CMaPh.192..261Z. doi:10.1007/s002200050299.

[1] 참조Kilbas, A. A.; Srivastava, H. M.; Trujillo, J. J. (2006). "2. Fractional Integrals and Fractional Derivatives §2.1 Property 2.4". Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier. p. 75. ISBN 9780444518323.

[1]

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