매핑 클래스 그룹

수학에서, 기하학 위상의 하위 분야에서, 매핑 클래스 그룹은 위상 공간의 중요한 대수적 불변량입니다.간단히 말해 매핑 클래스 그룹은 공간의 대칭에 해당하는 특정 이산 그룹입니다.

동기

위상 공간, 즉 공간 내의 점들 사이에 어떤 근접성 개념이 있는 공간을 생각해보세요.우리는 공간에서 그 자체로의 동형 사상의 집합, 즉 연속적인 역수를 갖는 연속 지도를 고려할 수 있습니다: 공간을 부수거나 붙이지 않고 연속적으로 공간을 늘리고 변형하는 함수.이 동형 사상들의 집합은 공간 그 자체로 생각될 수 있습니다.그것은 기능적 구성 하에 그룹을 형성합니다.우리는 또한 이 새로운 동형의 공간에 위상을 정의할 수 있습니다.이 새로운 함수 공간의 열린 집합은 원래 위상 공간 전체에 걸쳐 K와 U 범위에 따라 콤팩트 부분 집합 K를 열린 부분 집합 U로 매핑하는 함수 집합으로 구성되며, 유한 교차점(위상학의 정의에 의해 열려 있어야 함)과 임의 결합(다시 열려 있어야 함)으로 완성됩니다.이것은 함수의 공간에 대한 연속성의 개념을 제공하여 동형 사상 자체의 연속적인 변형을 고려할 수 있습니다. 호모토피라고 합니다.우리는 동형 사상의 호모토피 클래스를 취하고, 동형 사상의 공간에 이미 존재하는 함수적 구성 그룹 구조로부터 그룹 구조를 유도함으로써 매핑 클래스 그룹을 정의합니다.

정의.

매핑 클래스 그룹이라는 용어는 유연한 용법을 가지고 있습니다.대부분의 경우 다양체 M의 맥락에서 사용됩니다.M의 매핑 클래스 그룹은 M의 오토모피즘의 아이소토피 클래스 그룹으로 해석됩니다.따라서 만약 M이 위상다양체라면, 매핑 클래스 그룹은 M의 동형 사상의 동위원소 클래스 그룹입니다. 만약 M이 매끄러운 다양체라면, 매핑 클래스 그룹은 M의 동형 사상의 동위 원소 그룹은 M의 동형 사상의 그룹입니다.개체 X의 자동 형식 그룹이 자연 토폴로지를 가질 때마다 X의 매핑 클래스 그룹은 Aut ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle }$X${\displaystyle }$) / ${\displaystyle {Aut}_{}}$ 0 ⁡ (${\displaystyle X}$ )$${\$displaystyle \operatorname {Aut}$ ($X)$ /\$operatorname {Aut} _{0}$ (${\displaystyle X}$$)\}$로 ${\displaystyle \mathrm{정의}}$됩니다. ${\displaystyle {\mathrm{여기}}_{}}$서 ${\displaystyle {Aut}_{}}$ 0 ⁡ (${\displaystyle }$X )$${\$displaystyle \operatorname {Aut} _{0}$ (X$)$는 Aut ⁡ (${\displaystyle X}$ )$${\$displaystyle$}의 ${\displaystyle \mathrm{ID}}$ 경로 구성 요소입니다.$\operatorname {Aut}$ ($X$ . (콤팩트 오픈 토폴로지에서는 경로 성분과 동위 원소 클래스가 일치하므로, 즉, 동위^{[citation needed]} 원소인 경우 두 지도 f와 g가 동일한 경로 성분에 있습니다.)위상 공간의 경우 일반적으로 콤팩트 오픈 위상입니다.저차원 토폴로지 문헌에서 X의 매핑 클래스 그룹은 일반적으로 MCG${\displaystyle {}_{}}$X)로 표시되지만, 종종 π 0 (${\displaystyle \mathrm{Aut}}$ ⁡ ( ${\displaystyle X))}${\$displaystyle \pi$ _${0}(\operatorname {Aut}$ ($X$로 표시되며, 여기서 X가 속한 범주에 대해 Aut를 적절한 그룹으로 대체합니다.여기서 π 0$${\$displaystyle \pi_{0}}$은 공간의 0번째 호모토피 그룹을 나타냅니다.

따라서 일반적으로 그룹의 정확한 순서는 짧습니다.

${\displaystyle 1\rightarrow \operatorname {Aut} _{0}(X)\rightarrow \operatorname {Aut}(X)\rightarrow \operatorname {MCG}(X)\rightarrow 1.}$

종종 이 시퀀스는 ^[1]분할되지 않습니다.

호모토피 범주에서 작업하는 경우 X의 매핑 클래스 그룹은 X의 호모토피 등가의 호모토피 클래스 그룹입니다.

매핑 클래스 그룹에는 자주 연구되는 부분군이 많이 있습니다.M이 지향 다양체인 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$, Aut${\displaystyle }$⁡${\displaystyle }$( $)$ {\$displaystyle${Aut} ($M)$은 M의 지향 보존 오토모피즘이 될 것이며, 따라서 M이 지향 반전 오토모피즘을 인정한다면 M의 매핑 클래스 그룹(지향 다양체인)은 M의 매핑 클래스 그룹에서 인덱스 2가 될 것입니다.마찬가지로, M의 모든 호몰로지 군에서 항등식으로 작용하는 부분군을 M의 토렐리 군이라고 합니다.

예

구

모든 범주(평활함, PL, 위상, 호모토피)^[2]

${\displaystyle \operatorname {MCG}(S^{2})\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z},}$

±1도 지도에 해당합니다.

토러스

호모토피 범주에서

${\displaystyle \operatorname {MCG}(\mathbf {T}^{n})\simeq \operatorname {GL}(n,\mathbb {Z})}$

이것은 n차원 $토러스$ ${\displaystyle {}^{}}$ = ( $S$1 ) ${\displaystyle n^{}}${\$displaystyle \mathbf {T}$^{n} = ($S^{1})^{$n}}가 Eilenberg-MacLane 공간이기 때문입니다.

${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle \ge }$5 {\$displaystyle n\geq$^[3]5}인 경우 다른 범주의 경우 다음과 같은 분할 정확한 시퀀스가 있습니다.

위상공간 범주에서

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty}\to \operatorname {MCG}(\mathbf {T}^{n})\to \operatorname {GL}(n,\mathbb {Z})\to 0}$

PL-카테고리에서

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty}\opplus {\binom {n}{2}}\to \operatorname {MCG}(\mathbf {T}^{n})\to \operatorname {GL}(n,\mathbb {Z})\to 0}$

(직접합을 나타내는 숫자).매끄러운 카테고리에서

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty}}\opplus {\binom {n}{2}\oplus \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\Gamma _{i+1}\to \operatorname {MCG}(\mathbf {T}^{n})\to \operatorname {GL}(n,\mathbb {Z})\to 0}$

여기서 ${\displaystyle {\Delta i}_{}}$ ${\$ _${i}}$는 호모토피 구의 케르베어-밀노르 유한 아벨리아 군이고 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$2 ${\displaystyle$ \$mathbb {Z} _{2$}는 차수 2의 군입니다.

표면

표면의 매핑 클래스 그룹은 주로 연구되어 왔으며, 때때로 Teichmuller 모듈 그룹(MCG${\displaystyle }$≥(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \operatorname${MCG$}($위의\$mathbf {T}^{2})$의 ${\displaystyle \mathrm{특별}}$한 경우에 주목하십시오. 이는 그것들이 Teichmuller 공간에 작용하고 몫은 표면과 동형인 리만 표면의 모듈리 공간이기 때문입니다.이러한 그룹은 쌍곡선 그룹과 상위 선형^{[citation needed]} 그룹 모두와 유사한 특징을 나타냅니다.이들은 서스턴의 기하학적 3-매니폴드 이론(예: 표면 묶음)에 많은 응용을 가지고 있습니다.이 그룹의 요소들은 또한 그들 스스로 연구해 왔습니다: 중요한 결과는 닐슨입니다.서스턴 분류 정리, 그리고 그룹에 대한 생성 패밀리는 어떤 의미에서 "가장 단순한" 매핑 클래스인 덴 트위스트에 의해 주어집니다.모든 유한 그룹은 닫힌 방향 ^[4]표면의 매핑 클래스 그룹의 하위 그룹입니다. 실제로 어떤 유한 그룹이라도 어떤 콤팩트한 리만 표면의 등각류 그룹으로 실현할 수 있습니다(즉시 기본 위상 표면의 매핑 클래스 그룹에 주입됨을 의미함).

방향을 잡을 수 없는 표면

방향을 지정할 수 없는 일부 지표면에는 간단한 프리젠테이션이 있는 매핑 클래스 그룹이 있습니다.예를 들어, 실수 사영 $평면{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle R\mathbb{})}$ ${\displaystyle \mathbf {P}^{2}(\mathbb {R})}$의 모든 동형은 항등식입니다.

${\displaystyle \operatorname {MCG}(\mathbf {P}^{2}(\mathbb {R}))=1.}$

클라인 병 K의 매핑 클래스 그룹은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \operatorname {MCG}(K)=\mathbb {Z} _{2}\opplus \mathbb {Z} _{2}}$

네 가지 요소는 동일성, 뫼비우스 띠를 묶지 않은 양면 곡선의 덴 트위스트, 리코리쉬의 y 동형, 트위스트와 y 동형의 곱입니다.덴 꼬임의 사각형이 동일성에 대하여 동위원소적이라는 것을 보여주는 것은 좋은 연습입니다.

우리는 또한 닫힌 속 세 개의 방향성 없는 표면₃ N(3개의 투영 평면의 연결 합)이 다음을 가지고 있음을 언급합니다.

${\displaystyle \operatorname {MCG}(N_{3})=\operatorname {GL}(2,\mathbb {Z})입니다.}$

이것은 표면 N이 그러한 곡선 C를 따라 절단될 때 결과적인 $표면$ N ∖ ${\displaystyle C}${\$displaystyle N\setminus$ C$}$가 디스크가 제거된 토러스가 되는 독특한 단면 곡선 클래스를 가지고 있기 때문입니다.방향이 없는 표면으로서, 매핑 클래스 그룹은 GL${\displaystyle }$⁡ (${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle Z)}${\$displaystyle \operatorname {GL}$ ($2,\mathbb {Z}$ $)\}$ . (Lemma 2.1)입니다.

3-매니폴드

3-매니폴드의 매핑 클래스 그룹은 또한 상당한 연구를 받았으며 2-매니폴드의 매핑 클래스 그룹과 밀접한 관련이 있습니다.예를 들어, 임의의 유한 그룹은 콤팩트 쌍곡 3-매니폴드의 ^[6]매핑 클래스 그룹(및 등각 그룹)으로 구현될 수 있습니다.

쌍의 클래스 그룹 매핑

한 쌍의 공간(X,A)이 주어졌을 때 쌍의 매핑 클래스 그룹은 쌍의 오토모피즘의 동위 원소입니다. 여기서 (X,A)의 오토모피즘은 A를 보존하는 X의 오토모피즘으로 정의됩니다. 즉, X → X는 가역이고 f(A) = A입니다.

매듭과 링크의 대칭군

K ⊂ S가 매듭 또는 링크일 경우, 매듭의 대칭군(resp. link)는 쌍(S³, K)의 매핑 클래스 그룹으로 정의됩니다.쌍곡매듭의 대칭군은 이면체 또는 순환군으로 알려져 있으며, 또한 모든 이면체 및 순환군은 매듭의 대칭군으로 실현될 수 있습니다.토러스 매듭의 대칭군은 2차₂ Z로 알려져 있습니다.

토렐리군

공간 X의 호몰로지(및 코호몰로지)에 대한 매핑 클래스 그룹의 유도된 작용이 있음에 주목하십시오.이것은 (코)호몰로지가 기능적이고 호메오가₀ 사소하게 작용하기 때문입니다(모든 원소가 동위원소이므로 동차항성은 동차항성에 대해 사소하게 작용하고 (코)호몰로지에 대한 작용은 호메오피 하에서 불변하기 때문입니다).이 작용의 핵심은 토렐리 정리의 이름을 딴 토렐리 군입니다.

배향 가능한 표면의 경우 첫 번째 코호몰로지¹ H(Ω) ≥ Z에^2g 대한 작용입니다.방향 보존 지도는 정확히 최상부 코호몰로지 H(σ) ≅ Z. H(σ)는 컵 곱에서 나오는 심플렉틱 구조를 가지고 있습니다; 이 지도들은 오토모피즘이고, 지도들은 컵 곱을 보존하기 때문에, 매핑 클래스 그룹은 심플렉틱 오토모피즘으로 작용하고, 실제로 모든 심플렉틱 오토모피즘이 실현됩니다.짧은 정확한 순서를 산출합니다.

${\displaystyle 1\to \operatorname {Tor}(\Sigma)\to \operatorname {MCG}(\Sigma)\to \operatorname {Sp}(H^{1}(\Sigma))\cong \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbf {Z})\to 1}$

이것을 확장할 수 있습니다.

${\displaystyle 1\to \operatorname {Tor}(\Sigma)\to \operatorname {MCG} ^{*}(\Sigma)\to \operatorname {Sp} ^{\pm }(H^{1}(\Sigma))\cong \operatorname {Sp} _{2g}^{\pm }(\mathbf {Z})\to 1}$

심플렉틱 그룹은 잘 알고 있습니다.따라서 매핑 클래스 그룹의 대수적 구조를 이해하는 것은 종종 토렐리 그룹에 대한 질문으로 줄어듭니다.

토러스(속 1)의 경우 심플렉틱 군에 대한 지도는 동형이며, 토렐리 군은 사라집니다.

안정적 매핑 클래스 그룹

이 섹션은 확장이 필요합니다.추가하면 도움이 됩니다. (2009년 12월)

단부에 ${\displaystyle {\mathrm{추가적}}_{}}$인 구멍을 부착하여 ${\displaystyle {\Delta g}_{}}$, g속의 표면$$$\Delta g{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$$,$ g속의 1 {\$displaystyle$ \$Sigma _{$g$$,${\displaystyle 1_{}}$}}, 경계 성분 1 ${\$ _${g+1,1$}}, 단부에${\displaystyle {\mathrm{추가적}}_{}}$인 구멍을 부착하여 ${\displaystyle {\Delta g}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle 1_{}}$, {\$displaystyle$$\Sigma$ _${g,1$$},$ ${\displaystyle {\Delta 1\mathrm{},}_{}}$ 2$,$ {\${\displaystyle {\mathrm{displaystyle}}_{}}$ \$Sigma$ _${1,2}}),$따라서 경계를 고정하는 작은 표면의 자기 변형은 더 큰 표면까지 확장됩니다.이러한 그룹과 포함의 직접적인 한계를 취하면 데이비드 멈포드(멈포드 추측이라고 불리는 추측 중 하나)가 합리적인 코호몰로지 고리를 추측한 안정적인 매핑 클래스 그룹이 생성됩니다.적분 코호몰로지 고리는 2002년 Ib Madsen과 Michael Weiss에 의해 계산되어 Mumford의 추측을 증명했습니다.

참고 항목

• 브레이드 그룹, 천공 디스크의 매핑 클래스 그룹
• 호모토피군
• 호메오토피 그룹
• 연등 관계

참고문헌

안정적 매핑 클래스 그룹

• Madsen, Ib; Weiss, Michael (2007). "The stable moduli space of Riemann surfaces: Mumford's conjecture". Annals of Mathematics. 165 (3): 843–941. arXiv:math/0212321. CiteSeerX 10.1.1.236.2025. doi:10.4007/annals.2007.165.843. JSTOR 20160047. S2CID 119721243.

외부 링크

• Madsen-Weiss MCG 세미나; 많은 참고 자료