특성계급

수학에서 특성 수업은 X의 코호몰로지 수업의 각 주요 번들에 연관되는 방법이다.코호몰로지 클래스는 묶음이 "틀린" 범위와 섹션을 보유하고 있는지 여부를 측정한다.특성 클래스는 글로벌 제품 구조에서 로컬 제품 구조의 편차를 측정하는 글로벌 불변제다.그것들은 대수 위상, 미분 기하학, 대수 기하학에서 통일된 기하학적 개념들 중 하나이다.null

특성계급의 개념은 1935년 에두아르트 스티펠과 하슬러 휘트니의 다지관의 벡터장에 관한 연구에서 생겨났다.null

정의

Let G be a topological group, and for a topological space ${\displaystyle X}$, write ${\displaystyle b_{G}(X)}$ for the set of isomorphism classes of principal G-bundles over ${\displaystyle X}$. This ${\displaystyle b_{G}}$ is a contravariant functor from Top (the category of topological spaces and연속 함수)를 세트(${\displaystyle \mathrm{세트}}$ 및 함수의 범주)로 설정하고, $지도{\displaystyle }$ f : X${\displaystyle }$→ $[\displaystyle f\colon$ X$\to Y}$을(를) 풀백 작업 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$Y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle b_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystystyle$ f$^{*}\colon$b_${G$}\{$G}(X)$로 전송$.$

주임 G-분들의 특성 클래스 c는 b ${\displaystyle G_{}}$ ${\$에서 코호몰로지 $functor{\displaystyle {}^{}}$ H$∗{\$ H$^{*}}$로 자연 변환하는 것으로$,$ 또한 세트의 functor로 간주된다.null

In other words, a characteristic class associates to each principal G-bundle ${\displaystyle P\to X}$ in ${\displaystyle b_{G}(X)}$ an element c(P) in H*(X) such that, if f : Y → X is a continuous map, then c(f*P) = f*c(P).왼쪽은 P 대 Y의 풀백 등급이고, 오른쪽은 코호몰로지 유도 지도 아래 P 등급의 이미지다.null

특성수

특성 클래스는 동족학 그룹의 요소로서 특성 클래스라고 불리는 특성 클래스에서 정수를 얻을 수 있다.^[1]특성 숫자의 중요한 예로는 스티펠-이 있다.휘트니 수, 체르노 수, 폰트랴긴 수, 오일러 특성.null

Given an oriented manifold M of dimension n with fundamental class ${\displaystyle [M]\in H_{n}(M)}$, and a G-bundle with characteristic classes ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$, one can pair a product of characteristic classes of total degree n with the fundamental class.고유 특성 숫자의 수는 특성 클래스에서 n의 단수(monomials)의 수 또는 ${\displaystyle \text{dog}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle i{}_{}}$ ${\$에 n의 파티션을 동등하게 나눈 값이다$.$

정식으로 ${\displaystyle {i\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {{i\_}_{}}_{}}$${1},\dots,i_{l}$을(를) 지정하면, $\sum {\displaystyle }$ ${\displaystyle \text{deg}}$ ${\displaystyle {c{}_{}}_{}}$ =${\displaystyle {{}_{}}_{}n}$ ${\displaystyle \sum{\mbox{deg}\,c_{i_{j}=n$ 해당 특성$$ 번호는 다음과 같다.

${\displaystyle c_{i_{1}}\smile c_{2}}\smile \dots \smile c_{i_}}{l}}([M])}}$

여기서 $⌣{\displaystyle }$ ${\displaystyle \smile}$은(는) 코호몰로지 클래스의 컵 제품을 의미한다$$.이러한 것들은 특성 클래스의 산물로서 $다양$하며, 예를$$ 들어 ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 또는 P 1 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$에 해당하는 폰트랴긴 번호에 대해$$ $P{\displaystyle {}_{}}$1, ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$$displaystyle P_{$$1},1}$와 같은 일부 대체 표기법으로 표시된다$.$특색이 있다null

de Rham cohomology의 관점에서, 특성 계급을 대표하는 차등 형태를 취할 수 있고,^[2] 쐐기 제품을 취하여 최상위 치수 형태를 얻은 다음, 다지관 위에 통합할 수 있다. 이는 코호몰ology에서 제품을 취하여 기본 계급을 결합하는 것과 유사하다.null

This also works for non-orientable manifolds, which have a ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$-orientation, in which case one obtains ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$-valued characteristic numbers, such as the Stiefel-Whitney numbers.null

특성 번호는 지향적이고 지향적이지 않은 보르디즘 질문을 해결한다: 두 다지관은 (존중 지향적이거나 지향적이지 않은) 그들의 특성 수치가 같을 경우에만 교만하다.null

동기

특성계급은 본질적인 방법으로 동족학 이론의 현상이다. 그것들은 한 단면이 공간의 일종의 기능인 것처럼 왜곡된 구성이며, 우리가 그러한 분산이 필요한 단면의 존재로부터 모순을 이끌어내기 위해서이다.사실 공동학 이론은 공간으로의 매핑에 근거한 공변 이론인 호몰로지 이론과 호모토피 이론 둘 다 후에 성장했고, 1930년대 초기의 특성 계급 이론은 호몰로학에 대한 '이중' 이론을 추구하는 주요한 이유 중 하나였다.곡률 불변성에 대한 특성 클래스 접근법은 일반적인 가우스-보넷 정리를 증명하기 위해 이론을 만드는 특별한 이유였다.null

1950년경에 이론이 조직화된 기초 위에 놓였을 때(정의가 호모토피 이론으로 축소됨) 당시 알려진 가장 근본적인 특성계급(스티펠--)이 분명해졌다.휘트니계급, 체르누스계급, 폰트랴긴계급)은 고전적인 선형집단과 그 최대의 토러스 구조의 반영이었다.더구나 그라스만족에 대한 슈베르트 미적분학, 그리고 이탈리아 대수 기하학파의 저작에 반영되어 있는 체르누스 수업 자체가 그렇게 새로운 것은 아니었다.반면에 지금은 벡터 묶음이 관련될 때마다 계층의 가족을 만들어 내는 틀이 있었다.null

그 후 주요 메커니즘은 다음과 같은 것으로 나타났다: 벡터 번들을 운반하는 공간 X가 호모토피 범주에서 관련 선형 그룹 G에 대한 X에서 분류 공간 BG까지의 매핑을 암시한다.호모토피 이론의 경우 관련 정보는 G의 직교 그룹 및 단일 그룹과 같은 콤팩트한 하위 그룹에 의해 전달된다. 일단 코호몰로지 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ $){\displaystyle$ H$^{*}(BG)}$가 계산되면$$, 결국, 코호몰로지 역조 속성은 번들의 특성 클래스가 정의된다는 것을 의미했다.n $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle$ H$^{*}(X)}$ 같은$$ 치수.예를 들어 체르누스 클래스는 각 짝수 차원에 등급이 매겨진 구성요소를 가진 정말로 하나의 클래스다.null

이것은 여전히 고전적인 설명이지만, 주어진 기하학 이론에서는 추가적인 구조를 고려하는 것이 유익하다.1955년부터 K-이론 및 거미줄 이론이 등장하면서 코호몰로지(cohomology)가 '특이하'가 되었을 때, 특성계급이 무엇인지를 말하기 위해서는 정말 어디서나 H자를 바꾸기만 하면 되었다.null

특성 등급은 나중에 다지관의 분리에 대해 발견되었다; 그들은 호모토피 이론에서 분류 우주 이론을 가지고 있다.null

수학과 물리학의 재조정 이후 이후의 연구에서는, 인스턴트온 이론에서 사이먼 도날드슨과 디터 코츠치크에 의해 새로운 특성 수업이 발견되었다.체르누스의 일과 관점은 또한 중요한 것으로 증명되었다: 체르누-시몬스 이론을 보라.null

안정성

안정적 호모토피 이론의 언어로, 체르누스 계급인 스티펠--휘트니 클래스, 폰트랴긴 클래스는 안정적이고 오일러 클래스는 불안정하다.null

Concretely, a stable class is one that does not change when one adds a trivial bundle: ${\displaystyle c(V\oplus 1)=c(V)}$. More abstractly, it means that the cohomology class in the classifying space for ${\displaystyle BG(n)}$ pulls back from the cohomology class in ${\displaystyle BG$$(n+1)}$ 포함 B$$ $G{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$→ ${\displaystyle B}$ G${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle BG(n)\to BG(n+1)}($$R{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$→ ${\displaystyle {\mathrm{R}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$+ 1 ${\$} 및$$ 이와 유사$).$동등하게, 모든 유한 특성 클래스는 ${\displaystyle B}$ G ${\displaystyle BG}$의 안정적인 클래스에서 철수한다$.$

This is not the case for the Euler class, as detailed there, not least because the Euler class of a k-dimensional bundle lives in ${\displaystyle H^{k}(X)}$ (hence pulls back from ${\displaystyle H^{k}(BO(k))}$, so it can’t pull back from a class in ${\displaystyle H^{k+1}}$, as the치수가 다르다null

참고 항목

• 세그리급
• 오일러 특성
• 체르누스급

메모들

참조

• Chern, Shiing-Shen (1995). Complex manifolds without potential theory. Springer-Verlag Press. ISBN 0-387-90422-0.ISBN3-540-90422-0.null

  이 책의 부록인 "특성계급의 지리학"은 특성계급의 사상발전을 위한 매우 깔끔하고 심오한 서론이다.

• Hatcher, Allen, Vector bundles & K-theory
• Husemoller, Dale (1966). Fibre bundles (3rd Edition, Springer 1993 ed.). McGraw Hill. ISBN 0387940871.
• Milnor, John W.; Stasheff, Jim (1974). Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies. Vol. 76. Princeton University Press, Princeton, NJ; University of Tokyo Press, Tokyo. ISBN 0-691-08122-0.