미적분학

수학의 한 분야인 대수학 위상학에서, 펑커스의 미적분학 또는 굿윌리 미적분학은 일련의 단순한 펑커로 그것들을 근사화함으로써 펑커스를 연구하는 기법이다; 그것은 프리쉐프의 치석을 일반화한다.이 근사 배열은 공식적으로 부드러운 함수의 테일러 시리즈와 유사하며, 따라서 "환자의 미적분"이라는 용어가 사용된다.

대수 위상에 중심적인 관심을 갖는 많은 물체들은 직접 분석하기 어려운 펑터로 볼 수 있기 때문에 특정 목적에 충분히 좋은 근사치를 가진 단순한 펑터로 대체하자는 생각이다.펑커스의 미적분은 토마스 굿윌리가 1990년대와 2000년대 3편의 논문 시리즈로 개발했으며,^[1]^[2]^[3] 이후 여러 분야에서 확대 적용되고 있다.

예

기하학적 위상에 대한 중심적 관심의 동기적 예로는 한 다지관 M을 다른 다지관 N에 내장하는 펑터가 있는데, 펑터의 미적분학적 의미에서의 첫 번째 파생상품은 몰입의 펑터다.As every embedding is an immersion, one obtains an inclusion of functors $\mathrm {Emb} (M,N)\to \mathrm {Imm} (M,N)$ – in this case the map from a functor to an approximation is an inclusion, but in general it is simply a map.

이 예에서 알 수 있듯이, 펑터(위상학적 공간)의 선형 근사치는 플럭터를 공간의 프리쉐이프(공식적으로, 공간의 열린 하위 집합 범주에 대한 플럭터)로 생각하는 피복이며, 피복은 선형 피복이다.

이 예는 굿윌리와 마이클 와이스에 의해 연구되었다.^[4]^[5]

정의

여기 비유가 있다: 미적분학의 테일러 시리즈 방법으로, 당신은 점 x 주위에 매끄러운 함수 f의 모양을 점점 더 정확한 다항 함수의 순서를 사용함으로써 대략적으로 추정할 수 있다.비슷한 방법으로, functors의 미적분법으로, 당신은 점점 더 정확한 다항식 functor의 순서를 사용함으로써 특정 물체 X에서 특정 종류의 functor F의 행동을 대략적으로 추정할 수 있다.

구체적으로는 M을 매끄러운 다지관으로 하고 O(M)를 M의 열린 서브스페이스 범주, 즉 M의 열린 서브스페이스 범주로 하고, M의 열린 서브스페이스는 객체가 M의 열린 서브스페이스, 형태는 포함 맵으로 한다.F는 O(M) 범주에서 연속적인 형태론을 가진 위상학 공간의 Top 범주로 역행하는 functor가 되도록 한다.This kind of functor, called a Top-valued presheaf on M, is the kind of functor you can approximate using the calculus of functors method: for a particular open set X∈O(M), you may want to know what sort of a topological space F(X) is, so you can study the topology of the increasingly accurate approximations F₀(X), F₁(X), F₂(X), and so on.

functors의 미적분법에서 근사치의 순서는 (1) functor T $T_{0}F,T_{1}F,T_{2}F$ $T_{0}F,T_{1}F,T_{2}F$ , $T_{0}F,T_{1}F,T_{2}F$ $T_{0}F,T_{1}F,T_{2}F$ $T_{0}F,T_{1}F,T_{2}F$ , $T_{0}F,T_{1}F,T_{2}F$ $T_{0}F,T_{1}F,T_{2}F$ $T_{0}F,T_{1}F,T_{2}F$ ${\displaystyle T_{0}F$ 로 구성된다 $.$ $각$ 정수 $\eta _{k}\colon F\to T_{k}F$ k에 $대해$ T_{1} $F,T_{$ 2} $F}$ 및 (2) 자연 변환 $\eta _{k}\colon F\to T_{k}F$ $\eta _{k}\colon F\to T_{k}F$ : $\eta _{k}\colon F\to T_{k}F$ → $\eta _{k}\colon F\to T_{k}F$ k $\eta _{k}\colon F\to T_{k}F$ $\eta _{k}\colon F\to{k}F$ 등.이러한 자연 변환은 호환성이 있어야 하는데, $F\to T_{k+1}F\to T_{k}F$ 는 구성 F $F\to T_{k+1}F\to T_{k}F$ → $F\to T_{k+1}F\to T_{k}F$ $F\to T_{k+1}F\to T_{k}F$ + $F\to T_{k+1}F\to T_{k}F$ $F\to T_{k+1}F\to T_{k}F$ → T $F\to T_{k+1}F\to T_{k}F$ $F\to T_{k+1}F\to T_{k}F$ $F\to T_{k+1}F\to T_{k}F$ 가 지도 $F\to T_{k}F,$ → $F\to T_{k}F,$ k $F\to T_{k}F,$ ${\displaysty F\to T_{k}F}$ 와 $F\to T_{{k+1}}F\to T_{k}F$ 같으므로 $F\to T_{k}F,$ 탑을 형성한다.

\displaystyle F\to \cdots \to T_{k+1}F\to \cdots \to T_{0}F,}

그리고 테일러 시리즈에서 더 높은 주문 조건을 점진적으로 폐기할 수 있는 것처럼 "성공적 근사"라고 생각할 수 있다.

근사치 functor는 "k-exculative"가 요구된다. 이러한 functor는 Taylor 다항식 functors와 유사하게 다항식 functors라고 불리는데, 이는 단순화 조건이며, 대략적으로 한 번에 kp점을 둘러싼 그들의 행동에 의해 결정된다는 것을 의미하며, 또는 더 공식적으로 주어진 spac에서 kpoint의 구성 공간에 대한 피복사를 의미한다.e. k번째와 $(k-1)$ ( $(k-1)$ - $){\displaystyle (k-1)}$ stt $(k-1)$ functors의 차이는 "도 k의 동종 functor" (동일한 다항식들과 유사하게) 분류할 수 있다.

For the functors $T_{k}F$ to be approximations to the original functor F, the resulting approximation maps $F\to T_{k}F$ must be n-connected for some number n, meaning that the approximating functor approximates the original functor "in dimension up to n"; this may not occur.또한 원래의 펑터를 재구성하려면 n이 무한대로 증가하기 위해 n-연결되어야 한다.그런 다음 F를 분석 펑터(analysical functor)라고 부르며, 테일러 시리즈 분석 함수와 유사하게 "테일러 타워가 펑터(functor)로 수렴한다"고 말한다.

나뭇가지

functors의 미적분학에는 다음과 같은 세 가지 가지가 있다.

임베딩과 같은 다양한 미적분학
동종 미적분학, 그리고
직교 미적분

호모토피 미적분은 다른 가지들보다 훨씬 더 넓게 적용되어 왔다.^{[citation needed]}

역사

피복(pheaf)과 피복(cheaf)의 개념은 초기 범주 이론에 대한 것으로서, functors의 미적분학의 선형적 형태로 볼 수 있다.이 2차적 형태는 1965년 안드레 해플라이거가 구들을 연결한 작품에서 볼 수 있는데, 여기서 그는 문제가 더 간단한 "측정 가능한 범위"를 정의했다.^[6]이것은 굿윌리와 와이스의 임베딩 펑터에 대한 2차 근사치로 확인되었다.

참조

^ T. 굿윌리, 미적분 I: 가성층 이론의 첫 번째 파생상품, K-이론 4 (1990), 1-27.
^ T. 굿윌리, 미적분 II: 분석적인 펑커, K-이론 5 (1992), 295-332.
^ T. 굿윌리, 미적분 III: 테일러 시리즈, 검토폴. 7(2003년), 645-711.
^ M. Weiss, 몰입 이론의 관점에서 임베딩, Part I, Geometry and Topology 3(1999), 67-101
^ T. 굿윌리와 M.Weiss, 임베딩 이론의 관점에서 본 임베딩, Part II, Geometry and Topology 3 (1999), 103-118.
^ Haefliger, André, Enlacements de sphères en codimension supérieure à 2

Munson, Brian (2005), Syllabus for Math 283: Calculus of Functors (PDF)

외부 링크

[1] T. 굿윌리, 미적분 I: 가성층 이론의 첫 번째 파생상품, K-이론 4 (1990), 1-27.

[2] T. 굿윌리, 미적분 II: 분석적인 펑커, K-이론 5 (1992), 295-332.

[3] T. 굿윌리, 미적분 III: 테일러 시리즈, 검토폴. 7(2003년), 645-711.

[4] M. Weiss, 몰입 이론의 관점에서 임베딩, Part I, Geometry and Topology 3(1999), 67-101

[5] T. 굿윌리와 M.Weiss, 임베딩 이론의 관점에서 본 임베딩, Part II, Geometry and Topology 3 (1999), 103-118.

[6] Haefliger, André, Enlacements de sphères en codimension supérieure à 2

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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