핸들바디

기하학적 위상의 수학적 분야에서 손잡이는 다지관을 표준 조각으로 분해하는 것이다.핸들바디는 모스 이론, 거미줄 이론, 고차원 다지관의 수술 이론에서 중요한 역할을 한다.손잡이는 특히 3마니폴드를 연구하는 데 사용된다.

단순화 콤플렉스와 CW 콤플렉스가 호모토피 이론으로 작용하여 개별 조각과 그 상호작용 측면에서 공간을 분석할 수 있기 때문에 핸들바디는 다지관 연구에서도 비슷한 역할을 한다.

n차원 손잡이.

$({\displaystyle W}$ ,${\displaystyle \mathrm{\partial }}$ W${\displaystyle }$) ${\displaystyle (W,\partial$ W$)}$이(가) 경계가 있는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -차원$$ 다지관인 경우

${\displaystyle S^{r-1}\time D^{n-r}\subset \partial W}$

(여기서 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$는 n-sphere를 $나타내며$ D ${\displaystyle n^{}}${\$displaystyle$D^{$n}$는 n-ball) 임베딩, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -차원$$ 다지관(경계가 있음)

${\displaystyle (W',\partial W')=(W\cupp (D^{r}\time D^{n-r}),(\partial W-S^{n-1}\time D^{r}\time S^{n-r-1})}$

에서 얻었다고 한다.

${\displaystyle(W,\partial W)}$

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ -throughter를$$ 부착하십시오.경계 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ $\$$partial W'}$은(는) $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle$ \$partial W}$에서 수술을 통해$$ 얻는다$$.As trivial examples, note that attaching a 0-handle is just taking a disjoint union with a ball, and that attaching an n-handle to ${\displaystyle (W,\partial W)}$ is gluing in a ball along any sphere component of ${\displaystyle \partial W}$. Morse theory was used by Thom and Milnor to prove that every manifold (with또는 경계가 없는)은 손잡이 몸체로, 손잡이 결합체로서 표현을 가지고 있다는 뜻이다.표현은 독특하지 않다: 핸들바디 분해의 조작은 스마일 h-코보르디즘 정리의 증명과 s-코보르디즘 정리에 대한 일반화의 필수적인 요소다.다지관은 최대 k에서 r을 위해 r 핸들의 결합인 경우 "k-핸들 본체"라고 불린다.이것은 다지관의 치수와 같지 않다.예를 들어, 4차원 2핸들 차체는 0핸들, 1핸들, 2핸들 조합이다.모든 다지관은 n-핸들바디, 즉 어떤 다지관은 손잡이의 결합이다.다지관이 비어 있지 않은 경계가 있는 경우에만 (n-1) 손잡이 몸체임을 보는 것은 그리 어렵지 않다.다지관의 핸들바디 분해는 r-핸들 부착이 r-셀 부착과 호모토피 동등성까지 동일하므로 다지관의 CW 복합 분해를 정의한다.그러나 손잡이체 분해는 다지관의 호모토피 타입 이상의 정보를 제공한다.예를 들어 손잡이체 분해는 다지관을 동형상까지 완전히 묘사한다.치수 4에서는, 첨부 지도가 매끄러운 한, 매끄러운 구조를 기술하기도 한다.이것은 더 높은 차원에서는 거짓이다; 어떤 이국적인 영역도 0-핸들과 n-핸들의 결합이다.

3차원 손잡이

핸들 바디는 디스크 절삭으로 인한 다지관이 3볼이 되도록 2디스크를 적절히 내장하고 쌍으로 분리된 결합을 포함하는 방향의 3 manifold-with-boundary로 정의할 수 있다.핸들을 잡기 위해 이 과정을 어떻게 되돌릴지 상상하는 것은 유익하다.(때로는 방향성 가설이 이 마지막 정의에서 떨어지기도 하고, 방향성이 없는 손잡이를 가진 보다 일반적인 종류의 손잡이를 얻기도 한다.)

손잡이의 속은 경계면의 속이다.동형성까지, 어떤 음이 아닌 정수 속에도 정확히 하나의 손잡이가 있다.

3마니폴드 이론에서 핸들바디의 중요성은 히가르드 스플릿과의 연관성에서 비롯된다.기하학적 집단 이론에서 핸들베이스의 중요성은 그들의 기본 집단이 자유롭다는 사실에서 비롯된다.

3차원 손잡이 본체는 때때로 특히 오래된 문헌에서 손잡이가 있는 큐브라고 불린다.

예

G를 차원 n의 유클리드 공간에 내장된 연결된 유한 그래프로 하자.뷔는 유클리드 공간에 있는 G의 폐쇄적인 단골 동네가 되게 하라.그렇다면 V는 n차원 핸들바디다.그래프 G는 V의 척추라고 불린다.

0 핸들바디 속은 3볼 B에³ 대해 동형이다.한 손잡이체 속은 B² × S¹(여기서 S는¹ 원)에 대해 동형이며 고체 토러스라고 불린다.다른 모든 손잡이는 고체 토리의 집합의 경계 연결 합계를 취함으로써 얻을 수 있다.

참고 항목

• 핸들 분해

참조

• Matsumoto, Yukio (2002), An introduction to Morse theory, Translations of Mathematical Monographs, vol. 208, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1022-4, MR 1873233