구체 정리

리만 기하학에서 4분의 1로 고정된 구체 정리라고도 하는 구체 정리는 특정 곡률 바인딩을 가진 지표를 인정하는 다지관의 위상을 강하게 제한한다.정리의 정밀한 진술은 다음과 같다.M이 구간(${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle ]}$ ${\$디스플레이 $스타일(1,4])$의 값을 취하며 단면 곡률을 갖는 완전하고 단순하게 연결된 n-차원 리만 다지관이라면, M은 n-sphere에 대해 동형이다. (정확하게 말하면, 각 지점에서 접선 2-면의 단면 곡률은 (${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle ]}$ ${\디스플레이$ 스타일 $(1,4$)에 위치해야 한다는 것을 의미한다.$$결과를 진술하는 또 다른 방법은 M이 구체에 대해 동형성이 아니라면 쿼터 핀이 있는 곡률로 M에 대한 메트릭스를 넣는 것이 불가능하다는 것이다.

단면 곡선이 닫힌 간격${\displaystyle }$[${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [1,4]}$에서 값을 취하도록 허용될 경우 결론은 거짓이라는 점에 유의하십시오$.$ 표준 counterexample은 푸비니-Study 메트릭과 함께 복잡한 투영 공간이며, 이 메트릭의 단면 곡선은 엔드포인트가 포함된 1에서 4 사이의 값을 취한다.다른 대칭 공간은 순위 중 하나에서 찾을 수 있다.

차별성 있는 구체 정리

구체 정리의 원래 증명은 M이 반드시 n-sphere와 차이점이라고 단정하지 않았다.이러한 복잡성은 상위차원의 구들이 차이점형성이 아닌 매끄러운 구조를 인정하기 때문이다.(자세한 내용은 이국적인 구에 대한 기사를 참조)그러나 2007년 사이먼 브렌들(Simon Brendle)과 리처드 쇤(Richard Schoen)은 Ricci 흐름을 활용하여 위의 가설과 함께 M이 표준적인 매끄러운 구조를 가진 n-sphere와 반드시 다른 형태라는 것을 증명했다.게다가 브렌들과 쇤에 대한 증거는 글로벌 핀칭보다는 포인트와이즈에 대한 더 약한 가정만을 사용한다.이 결과는 구별할 수 있는 구체 정리라고 알려져 있다.

구체의 정리사

하인츠 홉프는 단면 곡률로 간단히 연결된 다지관은 구라고 추측했다.^{[citation needed]}1951년, 해리 라우치는 [3/4,1]에서 곡률을 가진 단순하게 연결된 다지관이 구체와 동형이라는 것을 보여주었다.^{[citation needed]}1960년 마르셀 베르거와 빌헬름 클링겐베르크는 최적의 핀칭 상수로 구체 정리의 위상적 버전을 증명했다.^{[citation needed]}

참조

• Brendle, Simon (2010). Ricci Flow and the Sphere Theorem. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 111. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/gsm/111. ISBN 0-8218-4938-7. MR 2583938.
• Brendle, Simon; Schoen, Richard (2009). "Manifolds with 1/4-pinched curvature are space forms". Journal of the American Mathematical Society. 22 (1): 287–307. arXiv:0705.0766. Bibcode:2009JAMS...22..287B. doi:10.1090/s0894-0347-08-00613-9. MR 2449060.
• Brendle, Simon; Schoen, Richard (2011). "Curvature, Sphere Theorems, and the Ricci Flow". Bulletin of the American Mathematical Society. 48 (1): 1–32. arXiv:1001.2278. doi:10.1090/s0273-0979-2010-01312-4. MR 2738904.