룬스키안

미분 방정식
장애물 주위의 공기 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 Navier-Stokes 미분 방정식
범위
필드 자연과학 공학 천문학 물리학 화학 생물학 지질학 응용 수학 연속체 역학 혼돈 이론 다이너믹 시스템 사회과학 경제학 인구역학
분류
종류들 보통 부분적 차동알지브라질 인터그로 차동 분수 선형 비선형 변수 유형별 종속변수와 독립변수 자율적 콤플렉스 결합/분리됨 정확한 동종/비동종 특징들 주문 연산자 표기법
프로세스와의 관계 차이(구체 아날로그) 스토카스틱 확률적 부분 지연
해결책
존재와 고유성 피카르-린델뢰프 정리 페아노 존재 정리 카라테오도리의 존재 정리 카우치-코왈레프스키 정리
일반 주제 룬스키안 위상 초상화 위상공간 랴푸노프 / 점근증 / 지수 안정성 수렴율 시리즈/적분 솔루션 수치적 통합 디라크 델타 함수
솔루션 방법 감사 특성방법 오일러 지수 반응식 유한차이 (크랭크-니콜슨) 유한요소 무한요소 유한 부피 갤러킨 페트로프-갈러킨 집적인자 적분 변환 섭동 이론 룬게쿠타 변수의 분리 결정되지 않은 계수 모수의 변동
사람
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수학에서 Wronskian(또는 Wrosskian)은 Jozef Hoene-Wroroski(1812년)에 의해 소개된 결정요인이고 토마스 뮤어(1882년, 제162장)가 이름을 지었다. 그것은 미분 방정식의 연구에 사용되는데, 여기서 때때로 일련의 해법에서 선형 독립성을 보일 수 있다.

정의

서로 다른 두 가지 함수 f와 g의 Wronskian은 W(f, g) = f g′ – g f′이다.

보다 일반적으로 구간 I에서 n – 1배 차이가 나는 n real 또는 complex-값 함수 f₁, …, f의_n 경우 I에 대한 함수로서 Wronskian W(f₁, …, f)를_n 정의한다.

즉, (n – 1)번째 파생상품을 통해 (n – 1)번째 파생상품을 통해 기능을 첫 번째 열에 배치하고, 각 기능의 첫 번째 파생상품 등에 의해 구성된 행렬의 결정인자다.

함수 f가_i 선형 미분 방정식의 해법일 때 함수 f가_i 명시적으로 알려져 있지 않더라도 아벨의 정체성을 이용하여 Wronskian을 명시적으로 찾을 수 있다.

Wronskian과 선형 독립

함수 f가_i 선형적으로 종속되어 있으면 (분화는 선형 연산이기 때문에) Wronskian의 열과 Wronskian의 열도 사라진다. 따라서 Wronskian은 동일한 방식으로 사라지지 않는다는 것을 보여줌으로써 일련의 서로 다른 기능들이 일정한 간격으로 선형적으로 독립되어 있음을 보여주는 데 사용될 수 있다. 그러나 그것은 고립된 지점에서 사라질 수도 있다.^[1]

흔히 W = 0은 어디에서나 선형 의존을 의미한다고 오해하지만, 페이노(1889)는 함수 x와² x는 연속적인 파생상품을 가지고 있고 그들의 Wronskian은 어디에서나 사라지지만 0의 어느 동네에서도 선형적으로 의존하지는 않는다고 지적했다.^[a] 어떤 간격에서 Wronskian의 소멸이 선형 의존을 의미한다는 것을 보장하는 몇 가지 추가 조건이 있다. Maxime Bôcher는 함수가 분석적이라면, 어떤 간격으로 Wronskian이 사라지는 것은 그것들이 선형적으로 종속되어 있다는 것을 의미한다고 관찰했다.^[3] Bôcher(1901)는 Wronskian이 선형 의존을 암시하기 위해 몇 가지 다른 조건을 제시하였다. 예를 들어, n 함수의 Wronskian이 동일하게 0이고 n – 1의 Nronskian이 어느 지점에서 모두 소멸하지 않으면 함수는 선형 의존적이다. 월손(1989a)은 윈스키안의 소멸과 함께 선형 의존을 내포한다는 보다 일반적인 조건을 제시했다.

양성 특성 p의 필드 위에선 선형 독립 다항식에도 Wronskian은 사라질 수 있다. 예를 들어 x와^p 1의 Wronskian은 동일하게 0이다.

선형 미분 방정식에 적용

일반적으로 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 경우${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (n-1)}$ 솔루션이$$ 알려진 경우 Wronskian을 사용하여 마지막을 결정할 수 있다.

라그랑주 표기법에서 두 번째 순서 미분 방정식을 고려하십시오.

$(\displaystyle y''=a(x)y'+b(x)y}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $a{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle a(x),b(x)}$을(를) 알 수 있다. $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 방정식의 두$$ 용액을 부르고 Wronskian을 형성해 보자.

${\displaystyle W(x)=y_{1}y'_{2}-y_{2}-y'_{1}:{1}$

${\displaystyle \mathrm{그런}}$ 다음 $W{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle W(x)}$을(를) 구분하고$$ $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$y_{$i}}$가 위의 미분 방정식을 준수한다는$$ 사실을 사용하여 다음을 나타낸다.

${\displaystyle W'(x)=aW(x)}$

따라서 Wronskian은 간단한 1차 미분 방정식을 준수하며 정확히 다음과 같이 해결할 수 있다.

$W(x)=C~e^{A(x)}}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle a}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle A'(x)=a(x)}$ $및$ C ${\displaystyle C}$은 상수다$$.

이제 해결책 중 하나를 안다고 가정해 봅시다. y ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 그러면 Wronskian의 정의에 따라 ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}는 첫 번째 순서 미분 방정식을 따른다$$.

${\displaystyle y'_{1}-{\frac {y'_{2}}:{y_{2}}:y_{1}=-W(x)/y_{2}}:$

그리고 정확하게 해결될 수 있다(적어도 이론상으로는).

그 방법은 고차 방정식으로 쉽게 일반화된다.

일반화된 뢴스키안

여러 변수의 n 함수에 대해 일반화된 Wronskian은 D_i(f_j)(0 ≤ i < n)) 항목과 함께 n by n 행렬의 결정 요인이다. 여기서 각 D는_i 순서 i의 일정한 계수 선형 부분 미분 연산자다. 만약 함수가 선형적으로 의존한다면, 모든 일반화된 Wronskians는 사라진다. 단일 변수 사례에서와 같이 일반적으로 정반대되는 것은 사실이 아니다: 만약 모든 일반화된 Wronskians가 사라진다면, 이것은 함수가 선형적으로 종속된다는 것을 의미하지 않는다. 그러나, 그 반대는 많은 특별한 경우에서 사실이다. 예를 들어, 함수가 다항식이고 모든 일반화된 Wronskians가 사라진다면 함수는 선형적으로 종속된다. 로스는 로스의 정리를 증명하는 데 일반화된 론스키인에 대한 이 결과를 사용했다. 역이 유효한 일반 조건은 월손(1989b)을 참조한다.

참고 항목

• 모수의 변동
• 무어 매트릭스는 유한한 분야에 대한 프로베니우스 내형성으로 대체된 분화를 가진 론스키안과 유사하다.
• 교류행렬
• 반데르몽드 행렬

메모들

인용구

참조

• Bôcher, Maxime (1900–1901). "The Theory of Linear Dependence". Annals of Mathematics. Princeton University. 2 (1/4): 81–96. doi:10.2307/2007186. ISSN 0003-486X. JSTOR 2007186.
• Bôcher, Maxime (1901), "Certain cases in which the vanishing of the Wronskian is a sufficient condition for linear dependence" (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2 (2): 139–149, doi:10.2307/1986214, ISSN 0002-9947, JFM 32.0313.02, JSTOR 1986214
• Bostan, Alin; Dumas, Philippe (2010). "Wronskians and Linear Independence". American Mathematical Monthly. Taylor & Francis. 117 (8): 722–727. arXiv:1301.6598. doi:10.4169/000298910x515785. ISSN 0002-9890. JSTOR 10.4169/000298910x515785.
• Hartman, Philip (1964), Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-89871-510-1, MR 0171038, Zbl 0125.32102
• Hoene-Wronski, J. (1812), Réfutation de la théorie des fonctions analytiques de Lagrange, Paris
• Muir, Thomas (1882), A Treatise on the Theorie of Determinants., Macmillan, JFM 15.0118.05
• Peano, Giuseppe (1889), "Sur le déterminant wronskien.", Mathesis (in French), IX: 75–76, 110–112, JFM 21.0153.01
• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Wronskian", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Wolsson, Kenneth (1989a), "A condition equivalent to linear dependence for functions with vanishing Wronskian", Linear Algebra and its Applications, 116: 1–8, doi:10.1016/0024-3795(89)90393-5, ISSN 0024-3795, MR 0989712, Zbl 0671.15005
• Wolsson, Kenneth (1989b), "Linear dependence of a function set of m variables with vanishing generalized Wronskians", Linear Algebra and its Applications, 117: 73–80, doi:10.1016/0024-3795(89)90548-X, ISSN 0024-3795, MR 0993032, Zbl 0724.15004