루이 니렌버그

Louis Nirenberg
루이 니렌버그
Louis Nirenberg.jpeg
1975년 루이 니렌버그
태어난(1925-02-28) 1925년 2월 28일
죽은2020년 1월 26일(2020-01-26)(94)
맨해튼, 뉴욕, 미국
시민권캐나다와 미국
모교맥길 대학교 (BS, 1945)
뉴욕 대학교 (PhD, 1950)
로 알려져 있다편미분 방정식
가글리아르도-니렌베르크 보간 부등식
가글리아르도-니렌베르크-소볼레프 부등식
유계 평균 진동(John-Nirenberg 공간)
니렌베르크의 추측[1]
어워드보처 기념상(1959년)
크레이포드상(1982)
스틸상(1994년, 2014년)
미국 과학 훈장(1995년)
Chern 메달 (2010)
아벨 수학상 (2015)
과학 경력
필드수학
기관뉴욕 대학교
논문주어진 선 요소를 가진 닫힌 볼록면의 결정 (1949)
박사 어드바이저제임스 스토커
박사과정 학생
메모들

루이스 니렌버그(Louis Nirenberg, 1925년 2월 28일 ~ 2020년 1월 26일)[2][3]는 캐나다계 미국인 수학자이다.

그의 거의 모든 연구는 편미분 방정식의 분야였다.2차 포물선 편미분 방정식에 대한 그의 강한 최대 원리, 복잡한 기하학에서의 뉴랜더-니렌버그 정리 등, 그의 많은 공헌은 이제 이 분야에 기본적이라고 여겨진다.그는 기하학 해석 분야의 기초적인 인물로 여겨지며, 그의 많은 작품들은 복잡한 해석미분 [4]기하학의 연구와 밀접하게 관련되어 있다.

전기

니렌버그는 온타리오주 해밀턴에서 우크라이나계 유대인 이민자 사이에서 태어났다.그는 Baron Byng High School과 McGill University를 다녔고, 1945년 수학과 물리학 학사 학위를 모두 마쳤다.캐나다 국립연구회의 여름 일을 통해 그는 어니스트 쿠랑트의 아내 사라 폴을 알게 되었다.그녀는 니렌버그가 이론 물리학을 공부하기 위해 어디에 지원해야 하는지에 대한 조언을 구하기 위해 쿠랑의 아버지인 저명한 수학자 리처드 쿠랑과 이야기했다.그들의 토론 후에, 니렌버그는 뉴욕대학교Courant Institute of Mathematical Sciences 대학원에 입학하도록 초청받았다.1949년에 그는 제임스 스토커의 지도 아래 수학 박사 학위를 취득했다.박사학위 과정에서는 1916년부터 미해결 문제로 잘 알려진 '와일 문제'를 미분기하학으로 풀었다.

박사 학위를 받은 후, 그는 쿠랑 연구소의 교수가 되었고, 그곳에서 그의 남은 경력 동안 머물렀다.그는 45명의 박사과정 학생들의 조언자였으며, 앙리 베레스티키, 하임 브레지스, 루이스 카파렐리, 리와의 주목할 만한 협업 등 다수의 공동 저자들과 함께 150편 이상의 논문을 발표했다.그는 87세까지 수학 연구를 계속했다.1월 26일 2020년에, 니런 버그 94.[5][6][7]의 나이로 죽었다.

니런 버그의 작품을 다음과 같은 상과 명예상을 포함:인정 받았다.

  • Bôcher 기념 상(1959년)
  • 미국 예술 및 과학 아카데미의 선출된 멤버(1965년)[8].
  • 미국 국립 과학 아카데미(1969년)[9]의 선출된 회원이다.
  • 크라포르드상(1982년)
  • Jeffery–Williams 상(1987년)
  • 미국 철학 협회(1987년)[10]의 선출된 회원이다.
  • 스틸 상 평생 공로(1994년)[11].
  • 국가 메달 과학(1995년)[12].
  • Chern 메달(2010년)[13]
  • 스틸 상 Seminal 공헌 연구에 대한 루이스 Caffarelli과 로버트 콘과 함께 Navier-Stokes 방정식에 대한 그들의 기사[CKN82]에(2014년),,.
  • 아벨상 (2015)

수학적 성과

니렌버그는 특히 슈무엘 아그몬과 에이브론 더글리스와의 협업을 통해 이전에 2차 타원 편미분 방정식으로 이해되었던 쇼더 이론을 타원계의 일반적인 설정으로 확장한 것으로 알려져 있습니다.바실리스 지다스와 Wei-Ming Ni와 함께 그는 미분 방정식의 많은 해들의 대칭을 증명하기 위해 최대 원리를 혁신적으로 사용했다.BMO 함수 공간에 대한 연구는 1961년 니렌버그와 프리츠 존에 의해 시작되었고, 원래 탄성 재료의 연구에서 존에 의해 소개되었지만, 그것은 [14]마르팅갈레스로 알려진 우연의 게임에도 적용되어 왔다.루이스 카파렐리로버트 콘함께 1982년에 한 그의 작품은 나비에에 중요한 기여를 했다.-수학적 유체역학 분야에서 존재와 부드러움을 강조합니다.

다른 성과로는 2차원에서의 민코프스키 문제 해결, 가글리아르도-니렌베르크 보간 부등식, 복잡한 기하학에서의 뉴랜더-니렌버그 정리, 조셉 과의 의사 미분 연산자 개발이 있다.

나비에-스토크스 방정식

나비에-스토크스 방정식은 유체 역학의 물리학을 모형화하기 위해 1800년대 초에 개발되었다.Jean Leray는 1930년대에 중요한 업적으로 방정식의 약한 해법의 영향력 있는 개념을 공식화했고 그 [15]존재를 증명했다.그의 연구는 나중에 Eberhard Hopf에 [16]의해 경계값 문제에 투입되었다.

1970년대 블라디미르 셰퍼의 작품에서 돌파구가 열렸다.그는 나비에의 부드러운 용액이-스토크스 방정식이 단시간에 가까워지면,[17] 대략적으로 말하면 공간의 곡선으로부터 떨어진 단시간까지 연속적으로 해를 연장할 수 있다.그는 평활도에 대한 그러한 조건부 가정을 하지 않고 [18]시공간에서 2차원 표면에서 매끄러운 Leray-Hopf 솔루션의 존재를 확립했다.이러한 결과를 "부분 규칙성"이라고 합니다.곧이어 루이스 카파렐리, 로버트 콘, 니렌버그가 셰퍼의 [CKN82]분석을 현지화하고 구체화했다.Scheffer 분석의 주요 도구는 솔루션의 국지적인 통합 제어를 제공하는 에너지 불평등이었다.이것은 Leray-Hopf 솔루션에 의해 자동적으로 만족되는 것은 아니지만, Scheffer와 Caffarelli-Kohn-Nirenberg는 그러한 불평등을 만족시키는 해법에 대한 존재 이론을 확립했다.이러한 "priori" 제어를 출발점으로 하여, 카파렐리-콘-니렌버그는 시공간에서의 곡선에서 벗어난 평활도에 대한 순수 국소적인 결과를 증명할 수 있었고, 셰퍼의 부분 규칙성을 향상시켰다.

비슷한 결과는 나중에 마이클 스트루웨에 의해 발견되었고, 카파렐리-콘-니렌베르크의 분석의 간략화된 버전은 후에 팡-화 [19][20]린에 의해 발견되었다.2014년 미국수학회는 카파렐리-콘-니렌버그의 연구가 " 세대의 수학자들에게 영감의 원천"을 제공하는 "랜드마크"라고 말하며 스틸상과 함께 그들의 논문을 인정했습니다.나비에의 규칙성 이론의 추가 분석-스토크스 방정식은 2021년 현재 잘 알려진 미해결 문제이다.

비선형 타원 편미분 방정식

1930년대에 찰스 모레이는 2차원 영역에서 함수에 대한 [21]준선형 타원 편미분 방정식의 기본 규칙성 이론을 발견했다.니렌버그는 박사 논문의 일부로서 모레이의 결과를 완전 비선형 타원 [N53a]방정식의 설정으로 확장했다.Morrey와 Nirenberg의 연구는 2차원을 폭넓게 이용했으며, 고차원 영역을 갖는 타원 방정식의 이해는 매우 개방적인 문제였다.

함수의 헤시안 행렬식을 규정하는 형태의 Monge-Amper 방정식은 완전 비선형 타원 방정식의 표준 예 중 하나이다.1974년 국제 수학자 회의에서 니렌버그는 유제니오 칼라비와 [22]함께 경계 규칙성 추정과 연속성 방법에 기초한 몽게-앙페르 방정식의 경계값 문제에 대한 결과를 발표했다.하지만, 그들은 곧 그들의 증거가 [22]불완전하다는 것을 깨달았다.1977년, Chiu-Yuen Cheng과 Sing-Tung Yau는 Monge-Amper 방정식의 존재와 내부 규칙성을 해결하였고, 특히 함수의 헤시안 행렬식이 매끄럽다면 함수 자체도 [23]매끄러워야 한다는 것을 보여주었다.이들의 연구는 이전에 미분-기하학적 [24]추정으로 해결한 민코프스키 문제에 대한 Legendre 변환을 통한 관계에 기초했다.특히, 그들의 연구는 경계 규칙성을 이용하지 않았고, 그들의 결과는 그러한 의문을 해결하지 못했다.

니렌버그는 루이스 카파렐리 조엘 스프루크와 협력하여 이러한 문제를 해결하여 경계 규칙성을 직접 확립하고 [CNS84]연속성 방법에 기초한 몽게-앙페르 방정식에 대한 직접적 접근법을 구축했습니다.칼라비와 니렌버그는 첫 번째 두 파생상품의 균일한 제어를 성공적으로 입증했다. 연속성 방법의 핵심은 두 번째 파생상품의 보다 강력한 균일한 쾰더 연속성이다.카파렐리, 니렌버그, 스프루크는 경계를 [25]따라 이것의 섬세한 버전을 확립했고,[26] 그들은 칼라비의 내부에서의 세 번째 파생 추정치를 사용함으로써 충분하다고 확립할 수 있었다.Joseph Kohn과 함께, 그들은 복잡한 Monge-Amper [C+85]방정식의 설정에서 유사한 결과를 발견했습니다.이러한 일반적인 상황에서 에반스-크릴로프[25] 이론은 칼라비의 계산 기반 계산보다 더 유연한 도구입니다.

카파렐리, 니렌버그 및 스프루크는 헤시안 고유값 사이의 특정 관계가 [CNS85]규정된 함수를 연구하는 완전 비선형 타원 편미분 방정식의 보다 일반적인 클래스로 그들의 방법을 확장할 수 있었다.그들의 새로운 방정식의 특정한 경우로서, 그들은 특별한 라그랑지안의 경계값 문제를 부분적으로 해결할 수 있었다.

선형 타원계

1950년대 니렌버그의 가장 유명한 작품은 "엘렉틱 규칙성"을 다룬다.에이브론 더글라스를 통해 니렌버그는 1930년대에 2차 타원 방정식의 맥락에서 발견된 쇼더 추정치를 임의의 차수의 [DN55]일반 타원계로 확장했습니다.니렌버그는 Shmuel Agmon 및 Douglis와 협력하여 임의의 [ADN59]차수의 타원 방정식에 대한 경계 규칙성을 증명했습니다.그들은 나중에 그들의 결과를 임의의 [ADN64]차수의 타원계로 확장했다.Nirenberg는 Morrey와 함께 분석 계수를 가진 타원계의 해 자체가 분석적이라는 것을 증명하여 초기에 알려진 연구의 [MN57]경계까지 확장하였다.타원 규칙성에 대한 이러한 기여는 이제 정보의 "표준 패키지"의 일부로 간주되며 많은 교과서에서 다루어지고 있다.특히 더글러스-니렌버그와 애그몬-더글리스-니렌버그 추정치는 타원 편미분 [27]방정식에서 가장 널리 사용되는 도구 중 하나입니다.

니렌버그는 Yanyan Li와 함께 탄성 이론의 복합 재료에 의해 동기 부여되어 계수가 내부에서 연속적이지만 경계에서는 불연속인 선형 타원계를 연구했다.그 결과 용액의 구배는 [LN03]경계의 거리와 무관한 구배에 대한 L 추정치 함께 연속적이다.

최대 원리 및 그 응용 프로그램

고조파 함수의 경우, 최대 원리는 1800년대에 알려졌고, 카를 프리드리히 [28][29]가우스에 의해 사용되었다.1900년대 초, 일반적인 2차 타원 편미분 방정식의 복잡한 확장이 세르게이 번스타인, 레온 리히텐슈타인, 에밀 피카르에 의해 발견되었다; 간단한 현대적 증명은 1920년대에 이르러서야 에베르하르트 호프에 [30]의해 발견되었다.그의 초기 작품 중 하나에서, 니렌버그는 Hopf의 증명을 2차 포물선 편미분 방정식에 적용했고,[N53b] 그 맥락에서 강한 최대 원리를 확립했다.이러한 결과는 전작과 마찬가지로 여러 가지 고유성과 비교정리를 수반한다.니렌버그의 연구는 현재 포물선 편미분 방정식 분야의 기초 중 하나로 간주되고 있으며 표준 [31][32][33][34][35][36]교과서 전반에 걸쳐 어디서나 볼 수 있다.

1950년대에, A.D. 알렉산드로프는 우아한 "움직이는 평면" 반사법을 도입했는데, 그는 표준구를 일정한 평균 곡률을 가진 유클리드 공간의 유일한 닫힌 초서면으로 특징짓기 위한 최대 원리를 적용하기 위한 맥락으로 사용했다.1971년 제임스 세린은 알렉산드로프의 기술을 이용해 2차 타원 편미분 방정식의 높은 대칭 해법이 대칭 영역에서 지원되어야 한다는 것을 증명했다.니렌버그는 세린의 연구가 2차 타원 편미분방정식의 해법이 그 영역과 방정식 자체의 대칭을 계승한다는 것을 증명하기 위해 재구성될 수 있다는 것을 깨달았다.이러한 결과는 자동으로 유지되지 않으며 특정 문제의 어떤 특수 기능이 관련이 있는지 식별하는 것은 중요하지 않습니다.를 들어, 라플라시안 및 유클리드 공간의 회전 대칭에도 불구하고, 유클리드 공간에는 회전 대칭이 되지 않는 많은 조화 함수가 있다.

이 문제에 대한 니렌버그의 첫 번째 결과는 바실리스 지다스, 웨이밍 니와 협력하여 얻어졌습니다.그들은 완전한 비선형 타원 방정식과 포물선 [GNN79]방정식에도 적용할 수 있는 정확한 형태의 알렉산드로프와 세린의 기술을 개발했다.이후 연구에서, 그들은 무한 도메인에 적용할 수 있는 Hopf lemma 버전을 개발하였고, 따라서 그러한 도메인에 [GNN81]대한 방정식의 경우 그들의 작업을 개선하였다.주요 응용 분야는 회전 대칭을 다룹니다.이러한 결과 때문에, 기하학적 또는 물리적 관심이 있는 많은 경우, 편미분 방정식보다는 일반적인 미분 방정식을 연구하는 것으로 충분하다.

나중에 헨리 베레스티키와 함께 니렌버그는 알렉산드로프-바켈만-Pucci는[25] [BN91a]Gidas-Ni-Nirenberg의 방법을 개선하고 수정하여 도메인의 규칙성을 가정할 필요성을 크게 줄일 것으로 추정한다.Srinivasa Varadhan과 함께 한 중요한 결과, 베레스티키와 니렌버그는 가정된 규칙성이 없는 영역에 대한 연구를 계속했다.선형 연산자의 경우 최대 원리의 유효성을 첫 번째 고유값의 양성과 첫 번째 고유 [BNV94]함수의 존재와 연관시켰습니다.Luis Caffarelli와 함께, Berestyki와 Nirenberg는 그들의 결과를 원통형 [BCN96]도메인에서 기능의 대칭에 적용했다.그들은 특히 번역대칭에 관한 알려진 Ennio De Giorgi의 추측의 부분적 해답을 얻었고, 이것은 나중에 오비디우 사빈의 박사 [BCN97b][37][38]논문에서 완전히 해결되었다.그들은 마리아 에스테반과 피에르 루이 [BCN97a]라이온스의 초기 작품들을 확장하면서 일반적인 무한 영역에서 질적 현상을 얻기 위해 그들의 방법을 더 적용했다.

기능적 불평등

니렌베르크와 에밀리오 갈리아르도는 현재 가글리아르도-니렌베르크-소볼레프 부등식 가글리아르도-니렌베르크 보간 [N59]부등식으로 알려진 소볼레프 공간에 대한 근본적인 부등식을 독립적으로 증명했다.그것들은 편미분 방정식에 관한 문헌 전반에 걸쳐 널리 사용되고 있다. 따라서, 그것들을 확장하고 다양한 상황에 적응시키는 것이 큰 관심사였다.니렌버그 자신은 나중에 보간 [N66]부등식에서 나타날 수 있는 가능한 지수를 명확히 했다.루이스 카파렐리, 로버트 콘과 함께 니렌버그는 특정 가중 [CKN84]규범에 대응하는 부등식을 확립할 것이다.카파렐리, 콘, 니렌버그의 규범은 나중에 플로린 카트리나와 [39]왕지창에 의해 주목할 만한 작품에서 더 자세히 조사되었다.

프리츠 존이 탄성 이론에서 경계 평균 진동(BMO) 함수 공간을 도입한 직후, 그와 니렌버그는 특히 BMO 함수가 평균값에서 [JN61]멀리 떨어져 있는 집합의 크기를 제한하는 "존-니렌버그 부등식"을 증명하면서 공간에 대한 추가 연구를 했다.칼데론-지그문트 분해의 응용인 그들의 연구는 표준 수학 문헌의 일부가 되었다.박람회는 확률,[40] 복소해석,[41] 조화해석,[42] 푸리에해석,[43][25] 편미분방정식에 관한 표준교과서에 수록되어 있다.특히 위르겐 모저의 하르낙 부등식 및 그 이후의 [44][45][25]연구에 기초하고 있다.

존-니렌버그 부등식과 BMO 이론의 보다 일반적인 기초는 리만 [BN95]다양체 사이의 지도의 맥락에서 니렌버그와 하임 브레지스에 의해 밝혀졌다.다른 결과들 중에서, 그들은 BMO 노름에 가까운 매끄러운 지도들이 동일한 위상도를 가지며, 따라서 그 정도를 소실 평균 진동(VMO)의 매핑에 대해 의미 있게 정의할 수 있었다.

변분법

위상 벡터 공간의 설정에서 Ky Fan은 게임 [46][47]이론에서의 응용에 대한 미니맥스 정리를 개발했습니다.하임 브레지스귀도 스탬파키아와 함께 니렌버그는 판의 이론과 스탬파키아 이론의 Lax-Milgram [BNS72][48]정리에 대한 일반화를 확장한 결과를 도출했다.그들의 연구는 변이 [49]불평등의 주제에 적용되어 있다.

디리클레 에너지를 조정함으로써 특정 파동 방정식의 해법을 함수의 임계점으로 인식하는 것이 표준입니다.브레지스와 장 미쉘 코롱과 함께, 니렌버그는 임계점이 [BCN80]파동 방정식의 해법을 직접 구성하는데 사용될 수 있는 새로운 함수를 발견했습니다.그들은 마운틴 패스 정리를 그들의 새로운 함수에 적용할 수 있었고, 따라서 폴 [50]라비노위츠의 결과를 확장하면서 특정 파동 방정식의 주기적 해법의 존재를 확립할 수 있었다.그들의 작업의 일부는 표준 산악 패스 정리와 팔레-스마일 조건의 작은 확장이 포함되었고,[51][52][53] 이는 교과서에서 표준이 되었다.1991년, 브레지스와 니렌버그는 팔레-스마일 [BN91b][53]조건을 필요로 하지 않고 거의 임계점을 찾을 수 있다는 효과와 함께 에클랜드의 변이 원리를 산악 패스 정리를 확장하기 위해 어떻게 적용할 수 있는지를 보여주었다.

임계점 이론에 대한 브레지스와 니렌버그의 근본적인 기여는 국지적 [BN93]최소화를 다루었다.원칙적으로 함수 공간의 선택은 매우 관련성이 높으며, 함수는 보다 넓은 등급의 소볼레프 함수들 사이에서 최소화하지 않고 부드러운 함수들 사이에서 최소화할 수 있다.브레지스와 토시오 카토의 초기 규칙성 결과를 이용하여 브레지스와 니렌버그는 특정 등급의 디리클레형 [54]함수에서 그러한 현상을 배제하였다.그들의 작업은 나중에 헤수스 가르시아 아조레로, 후안 만프레디, 그리고 이리노 페랄에 [55]의해 확장되었다.

니렌베르크의 가장 널리 인용된 논문 중 하나에서, 그와 브레지스는 야마베 [BN83]문제에 대한 티에리 오빈의 연구의 일부를 따라 유클리드 공간의 야마베형 방정식의 디리클레 문제를 연구했다.니렌버그는 베레스티키, 이탈로 카푸초-돌체타와 함께 야마베형의 초선형 방정식을 연구하여 다양한 존재와 비존재 [BCN94]결과를 얻었다.

비선형 함수 분석

아그몬과 니렌버그는 바나흐 공간의 상미분 방정식에 대한 광범위한 연구를 했고, 점근적 표현과 해법의 무한대에서 행동을 연관시켰다.

연산자 A의 스펙트럼 특성으로 변환한다.응용 분야에는 다소 일반적인 포물선 [AN63]및 타원 포물선 문제에 대한 연구가 포함됩니다.

Brezis와 Nirenberg는 힐버트 공간 사이의 반전 불가능한 변환의 비선형 섭동의 섭동 이론을 연구했다; 응용 프로그램은 일부 반직선파 [BN78a][BN78b]방정식의 주기적 해법에 대한 존재 결과를 포함한다.

내쉬의 등각 임베딩 문제 연구에서 핵심 단계는 암묵적 함수 정리를 매우 연상시키는 작은 섭동 결과이다. 그의 증거는 뉴턴 방법과 [56]평활 연산자의 새로운 조합을 사용했다.니렌버그는 내쉬의 생각을 체계적이고 추상적인 틀, 즉 내쉬-모저 이론으로 지칭한 많은 수학자들 중 한 명이었다.Nirenberg의 공식은 대부분의 Nash-Moser 반복 [N72]체계 분석의 기초가 되는 기본 분석 아이디어를 분리하여 특히 단순합니다.비슷한 틀 안에서, 그는 바나흐 공간의 [N72]군에서 상미분 방정식의 용해성에 대한 정리의 특정한 경우로서 코시-코왈레프스키 정리의 추상적인 형태를 증명했다.그의 연구는 나중에 니시다 다카아키에 의해 단순화되었고 볼츠만 [57][58]방정식의 해석에 사용되었다.

기하학적 문제

니렌버그의 박사 논문은 완전 비선형 타원[N53a] 방정식에 대한 그의 연구를 이용하여, 미분 [N53c]기하학 분야에서 바일 문제와 민코프스키 문제를 해결하였다.전자는 2차원 구면에서 양의 곡선으로 된 리만 메트릭스의 등각적 삽입을 3차원 유클리드 공간에 요구하는 반면, 후자는 가우스 맵이 가우스 곡률을 규정하는 3차원 유클리드 공간의 닫힌 표면을 요구한다.핵심은 표면 이론의 "다르부 방정식"이 몽제-앙페르형이기 때문에 니렌베르크의 규칙성 이론이 연속성의 방법에 유용하게 사용된다는 것이다. 확립된 존 내쉬의 잘 알려진 등각 임베딩 정리는 높은 규칙성 임베딩과 낮은 [59][56]코디멘션을 동시에 다루는 와일 문제와 분명한 관계가 없다.민코프스키 문제에 대한 니렌베르크의 연구는 알렉세이 포골로프에 의해 리만 환경으로 확장되었다.더 높은 차원에서는 민코프스키 문제가 Shiu-Yuen Cheng과 Sing-Tung Yau[24]의해 해결되었습니다.민코프스키 문제에 대한 다른 접근법은 카파렐리, 니렌버그, 그리고 스프루크의 비선형 타원 [CNS85]방정식 이론에 대한 기본적인 공헌으로부터 발전했다.

분석에 집중되지 않은 그의 몇 안 되는 논문 중 하나에서, 니렌버그와 필립 하트만은 유클리드 공간의 실린더를 본질적으로 [HN59]평탄한 유일한 완전한 하이퍼서페이스로 특징지었다.이는 평면 매니폴드의 등각 매립에 대한 질문을 하이퍼서페이스로 해결하는 것으로도 볼 수 있다.이러한 의문과 자연적 일반화는 나중에 [60][61]청, 야우, 해롤드 로젠버그 등에 의해 다루어졌다.

시잉셴 체른과 그의 박사과정 학생 어거스트 뉴랜더가 니렌버그에게 제기한 질문에 대답하면서 니렌버그와 그의 박사과정 학생 어거스트 뉴렌버그는 현재 뉴랜더-니렌버그 정리로 알려진 것을 증명했는데, 이것은 거의 복잡한 구조가 홀모픽 좌표 [NN57]지도책에서 발생하는 정확한 대수적 조건을 제공한다.Newlander-Nirenberg 정리는 현재 복잡한 기하학에서 기초적인 결과로 간주되고 있습니다. 비록 결과 자체는 보통 소개문에서 다루지 않는 증명보다 훨씬 더 잘 알려져 있지만, 편미분 방정식의 고급 방법에 의존하기 때문입니다.니렌버그와 조셉 콘은 Kohn의 이전 연구에 이어, 의사 볼록 도메인에 대한 γ-노이만 문제를 연구했고, γ [KN65b]연산자에 대한 아엘립틱 추정의 존재에 대한 규칙성 이론의 관계를 입증했다.

고전적인 Poincaré 디스크 모델은 단위 볼에 쌍곡선 공간의 메트릭을 할당합니다.니렌버그와 샤를 로버유클리드 [LN74]공간의 경계 열린 부분 집합에 완전한 리만 메트릭을 자연스럽게 할당하는 보다 일반적인 방법을 연구했다.기하학적 계산은 일정한 스칼라 곡률의 메트릭을 정의하기 위해 특정 반선형 야마베형 방정식의 해법을 사용할 수 있으며, 그 해법이 경계 근처에서 무한대로 분산되면 메트릭이 완성된다는 것을 보여준다.Loewner와 Nirenberg는 특정 영역에서 그러한 솔루션의 존재를 확립했다.마찬가지로, 그들은 경계에서 연속적으로 0까지 확장되는 음의 해는 헤시안(Hessian)을 통해 완전한 리만 메트릭을 정의할 수 있는 성질을 가진 특정 Monge-Amper 방정식을 연구했다.이러한 지표는 투영 불변성이라는 특별한 속성을 가지고 있기 때문에 특정 영역에서 다른 영역으로 투영 변환이 해당 지표의 등각도가 된다.

의사 미분 연산자

조셉 콘과 니렌버그는 의사 미분 [KN65a]연산자의 개념을 도입했다.니렌버그와 프랑수아 트뢰브는 유명한 르위의 2차 분해 불가능한 선형 PDE의 를 조사하여 편미분 연산자와 의사 미분 [NT63][NT70]연산자 양쪽의 맥락에서 해결 가능한 조건을 발견했다.분석 계수를 가진 국소 용해성 조건의 도입은 R과 같은 연구자들에게 초점이 되었다.Beals, C.루이스 방정식의 의사 미분 조건을 푼 페퍼맨, R.D. 모이어, 라스 쾨르만더, 닐스 덴커.이것은 선형 편미분 방정식의 국소 용해성에 대한 더 많은 문을 열었다.

주요 출판물

책과 조사.

N73.
Nirenberg, Louis (1973). Lectures on linear partial differential equations. Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics. Vol. 17. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/cbms/017. ISBN 978-0-8218-1667-7. MR 0450755. Zbl 0267.35001.
N94.
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