원곡선

기하학에서 다각형의 원 또는 원형은 다각형의 모든 정점을 통과하는 원이다. 이 원의 중심은 원곡선이라고 하고 그 반지름은 원곡선이라고 한다.

모든 다각형이 원형으로 된 것은 아니다. 하나의 폴리곤이 있는 폴리곤을 순환 폴리곤이라고 부르거나, 정점이 순환이기 때문에 때때로 컨사이클 폴리곤이라고 부르기도 한다. 모든 삼각형, 모든 규칙적인 간단한 다각형, 모든 직사각형, 모든 이소셀 사다리꼴, 그리고 모든 오른쪽 연은 순환한다.

관련 개념은 최소 경계 원 중 하나로, 원의 중심이 다각형 안에 있다면 그 안에 있는 다각형을 완전히 포함하는 가장 작은 원이다. 모든 폴리곤은 선형 시간 알고리즘에 의해 구성될 수 있는 고유한 최소 경계 원을 가지고 있다.^[1] 다각형이 원형으로 되어 있더라도 최소 경계 원과는 다를 수 있다. 예를 들어 둔탁한 삼각형의 경우 최소 경계 원은 지름으로 가장 긴 면을 가지며 반대 정점을 통과하지 않는다.

삼각형

모든 삼각형은 순환형이다. 즉, 모든 삼각형에는 원형이 있다.

직선 및 나침반 구조

삼각형의 원곡선은 세 개의 수직 이등분선 중 두 개를 그려서 구성할 수 있다. 세 개의 비협착점에 대해 이 두 선은 평행할 수 없으며, 원곡선이 교차하는 지점이다. 이등분자의 어떤 점들은 이등분하는 두 점으로부터 등등분하고, 이 점으로부터 이등분선은 양쪽 이등분자의 두 삼각형 정점으로부터 모두 등등분한다. 원곡선(curradius)은 그것에서 세 개의 꼭지점 중 어느 하나까지의 거리를 말한다.

대체건설

할례를 결정하는 대안적인 방법은 공통측과 각도로 정점 중 하나에서 출발하는 두 개의 선을 그리는 것이다. 출발 각도는 90°에서 반대 정점의 각도를 뺀다. (반대각이 둔감한 경우, 음각으로 선을 긋는 것은 삼각형 밖으로 나가는 것을 의미한다.e.)

해안 항법에서는 나침반이 없을 때 삼각형의 원주(原主)를 이용하여 위치선을 얻는 방법으로 쓰이기도 한다. 두 랜드마크 사이의 수평 각도는 관찰자가 누워 있는 원주를 정의한다.

원주 방정식

데카르트 좌표, 평행 좌표.

유클리드 평면에서는 명기된 삼각형 정점의 데카르트 좌표 측면에서 원형의 방정식을 명시적으로 제시할 수 있다. 라고 가정해 보자.

${\displaystyle {\begin{aigned}\mathbf {A} &=(A_{x})A_{y}\\mathbf {B} &=(B_{x},B_{y})\\\mathbf {C} &=(C_{x},C_{y}}\ended}}}}}}}$

A, B, C 지점의 좌표 입니다. 원주는 방정식을 만족하는 데카르트 평면에서 v = (v_x, v) 점의 중심이다_y.

${\displaystyle {\begin{aligned} \mathbf {v} -\mathbf {u} ^{2}&=r^{2}\\ \mathbf {A} -\mathbf {u} ^{2}&=r^{2}\\ \mathbf {B} -\mathbf {u} ^{2}&=r^{2}\\ \mathbf {C} -\mathbf {u} ^{2}&=r^{2}\end{aligned}}}$

점 A, B, C, v가 모두 원의 공통 중심 u에서 같은 거리 r이 되도록 보장한다. 이 방정식은 편광 정체성을 사용하여 행렬이 다음과 같은 조건까지 감소시킨다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix} \mathbf {v} ^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\ \mathbf {A} ^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\ \mathbf {B} ^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\ \mathbf {C} ^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}}$

0이 아닌 커널을 가지고 있다. 따라서 원곡선을 이 행렬의 결정요인의 0의 중심이라고 대안으로 설명할 수 있다.

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix} \mathbf {v} ^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\\ \mathbf {A} ^{2}&A_{x}>>>A_{y}&1\\\ \mathbf {B}^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\\\\\mathbf {C}^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}=0.}$

공동 인자 확장을 사용하여 다음을 수행

${\displaystyle {\reasoned}S_{x}&={\frac {1}{1}:{2}}\det {\begin{bmatrix} \mathbf {A}^{2}>A_{y}&1\\ \mathbf {B}^{2}&B_{y}1\\\\\\mathbf {C}^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix},\[5pt]S_{y}&={\frac {1}{1}:{2}}\디테일 {\begin{bmatrix}A_{x}& \mathbf {A} ^{2}&#1\\B_{x}& \mathbf {B} \mathbf {B} ^{2}&1\\c_{x}& \mathbf {C} ^{2}&1\end{bmatrix},\t]a&=det {be{bmatrix}A_{x}&A_{y}\\B_{x}&B_{x}&B_{y}1\\\C_{x}&C_{bmatrix},\[5pt]b&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&#mathbf {A} ^{2}\\B_{x}&B_{y}&#mathbf {B}{B}}&#mathbf {B} ^{2}\C_{x}&C_{y}&#mathbf {C}}{{2}\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

we then have a v ² − 2Sv − b = 0 where S = (S_x, S_y), and – assuming the three points were not in a line (otherwise the circumcircle is that line that can also be seen as a generalized circle with S at infinity) – v − S/a ² = b/a + S ²/a², giving the circumcenter S/a and the circumradius √b/a + S ²/a². 비슷한 접근법은 4면체의 원주 방정식을 추론할 수 있게 한다.

파라메트릭 방정식

원을 포함하는 평면에 수직인 단위 벡터는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\widehat{n}={\frac {(P_{2}-P_{1}})\time (P_{3}-P_{1}}{{1}}}{{P_{1}}}}}}{P_{1}}}}}}}}}}}.}$

따라서, 반경, r, 중심, Pc, 원, Po는 교정된 동력며 소비자가 비행기의 정상적인 원을 포함하는, n^{\textstyle{\widehat{n}에 기지점}},, 동그라미는 지점 Po는 교정된 동력부터 의 한 매개 방정식과 운영은 긍정적으로 n^{\displaystyle \scriptstyle에 대해(즉,한 우완)감각 지향적이다.{)$와이드햇 {n}}$은(는) 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\widehat {n}}\times (P_{0}-P_{c})\right].}$

삼선 좌표 및 이심 좌표

trilinar 좌표 x : y : z의 원주 방정식은^[2] a/x + b/y + c/z = 0이고, 이심 좌표 x : y : z는 a²/x + b²/y + c²/z = 0이다.

원주의 등각 결합은 무한대의 선으로, 도끼에 의한 삼선 좌표 + by + cz = 0, x + y + z = 0의 이심 좌표에서 주어진다.

상위 치수

또한 d차원에 내장된 삼각형의 원주는 일반화 방법을 사용하여 찾을 수 있다. A, B, C를 삼각형의 정점을 이루는 d차원 점으로 한다. 우리는 시스템을 변경하여 C를 원점에 배치하는 것으로 시작한다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\mathbf {a} &=\mathbf {C},\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aigned}}}}}}}}}$

회음부, r은 그때 이다.

${\displaystyle r={\frac {\left\ \mathbf {a} \right\ \left\ \mathbf {b} \right\ \left\ \mathbf {a} -\mathbf {b} \right\ }{2\left\ \mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\ }}={\frac {\left\ \mathbf {a} -\mathbf {b} \right\ }{2\sin \theta }}={\frac {\left\ \mathbf {A} -\mathbf {B} \right\ }{2\sin \theta }},}$

여기서 θ은 a와 b 사이의 내부 각도다. 할례, p는₀ 에 의해 주어진다.

${\displaystyle p_{0}={\frac {(\left\ \mathbf {a} \right\ ^{2}\mathbf {b} -\left\ \mathbf {b} \right\ ^{2}\mathbf {a} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\left\ \mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\ ^{2}}}+\mathbf {C} .}$

이 공식은 교차 제품이 다른 차원에서는 정의되지 않으므로 3차원에서만 작동하지만, 교차 제품을 다음과 같은 정체성으로 대체함으로써 다른 차원에서도 일반화될 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}(\mathbf{}\times \mathbf{b})\times, =(\mathbf{}\cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{b}\cdot{c}\mathbf)\mathbf{를},\\\mathbf{를}\times(\mathbf{b}\mathbf{c}\times)&, =(\mathbf{}\cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{}\cdot \mathbf{b})\mathbf{c},\\\left\ \mathbf{를}{c}및 \mathbf. \times)mathbf {b} \right\ \{2}&=\left\mathbf {a} \right\^{2}\left\mathbf {b} \right\{2}-(\mathbf {a}\cdot \mathbf {b} )^{2}.\end{정렬}}}$

원심좌표

데카르트 좌표, 평행 좌표.

원곡선 $U{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle U_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$, U ${\displaystyle y_{}}$) ${\$ U$=\좌측(U_{x},U_{y}\우측)$의 데카르트 좌표는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle {\reasoned}U_{x}&={\frac {1}{D}\왼쪽[(A_{x}^{2}+)A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})\right]\\[5pt]U_{y}&={\frac {1}{1}{D}\왼쪽[(A_{x}^{2}+)A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}}$

와 함께

$D=2\왼쪽[왼쪽]A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y}\ri}\right}).\,}$

일반성을 상실하지 않는 한, 이는 데카르트 좌표계의 원점에 대한 정점 A의 변환, 즉 A′ = A - A = (A′,_xA′)_y = (0,0)인 경우 단순화된 형태로 표현할 수 있다. 이 경우 정점 B′ = B - A, C′ = C - A의 좌표는 정점 A에서 이러한 정점까지의 벡터를 나타낸다. 이 사소한 번역이 모든 삼각형과 곡면 $U{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle U_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle y_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle U'=(U'_{x})$에 대해 가능한지 관찰하십시오.A′B′C′ 삼각형의 $U$$'_{y}}}$은(는) 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}U'_{x}&={\frac {1}{1}}}}\왼쪽[C'_{x}^{{B'}+{B'_{{y}^{2}^-B'_{{y}}}{C'_{y'}}^{{y'}}}}{{y'}}}}}}\pt],\\}}\c'*U'_{{y}&={\frac {1}{D}}}\왼쪽[B'_{x}}^{{C'}+{C'_{y}^{2}^{x}-C'_{x}}}({B'_{x}}}}}}^{B'}}}}{y}}^{{{{y}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}오른쪽]\}}}}}}}}}}}}}}}}$

와 함께

${\displaystyle D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).\,}$

정점 A의 원점 번역으로 인해, 원점 r은 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle r=\ U'\ ={\sqrt {{U'_{x}^{2}+{\U'_{y}^{2}}:$

그리고 ABC의 실제 할례는 다음과 같다.

$U=U'++A}$

삼선 좌표

원곡선에는 3행 좌표가^[3] 있다.

cos α : cos β : cos γ

여기서 α, β, γ은 삼각형의 각이다.

측면^[4] 길이로 볼 때 a, b, c, 3행은

${\displaystyle a\\좌(b^{2}+c^{2}-a^{2}\우)b\좌(c^{2}+a^{2}-b^{2}\우)b\좌(a^{2}+b^{2}-c^{2}\우)}$

편심 좌표

원곡선에는 편심 좌표가 있다.

${\displaystyle a^{2}\왼쪽(b^{2}+c^{2}-a^{2}\오른쪽):\;b^{2}\왼쪽(c^{2}+a^{2}+a^{2}-b^{2}\오른쪽):\;c^{2}\왼쪽(a^{2}+b^{2}-c^{2}\오른쪽),\,}$^[5]

여기서 a, b, c는 삼각형의 가장자리 길이(각각 BC, CA, AB)이다.

삼각형의 각도 $\alpha {\displaystyle }$ ,${\displaystyle \beta }$ ,${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,}$을(를) 측면에서 볼 때, 원곡선의 편심 좌표는 다음과^[4] 같다.

$\displaystyle \sin 2\board :\sin 2\boards :\sin 2\boards.}$

원심 벡터

어떤 점의 데카르트 좌표는 정점의 좌표의 가중 평균이므로 가중치는 점의 이심 좌표를 합하여 합치하도록 평준화시킨 것이므로, 원심 벡터는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle U={\frac {a^{2}\왼쪽(b^{2}+c^{2}-a^{2}\오른쪽)A+b^{2}\왼쪽(c^{2}+a^{2}+a^{2}-b^{2}\오른쪽)B+c^{2}\왼쪽(a^{2}+b^{2}-c^{2}\오른쪽)C}{a^{2}\왼쪽(b^{2}}+c^{2}-a^{2}\오른쪽)+b^{2}\{2}\왼쪽(c^{2}+a^{2}-b^{2}\오른쪽)+c^{2}{2}\c^{2}}}.}$

여기서 U는 원곡선의 벡터, A, B, C는 정점 벡터다. 여기서 구분자는 S가 삼각형의 영역인 16S와 같다. 앞에서 말한 바와 같이

${\displaystyle {\begin{aigned}\mathbf {a} &=\mathbf {C},\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aigned}}}}}}}}}$

교차 및 도트 제품의 데카르트 좌표

유클리드 공간에는 주어진 세 개의 비협착점 P₁, P₂, P를₃ 통과하는 독특한 원이 있다. 이러한 점을 공간 벡터로 나타내기 위해 데카르트 좌표를 사용하면 도트 제품과 교차 제품을 사용하여 원의 반지름과 중심을 계산할 수 있다. 내버려두다

${\displaystyle \mathrm {P_{1}} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{2}} ={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{3}} ={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{bmatrix}}}$

그러면 원의 반지름은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathrm {r} ={\frac {\left P_{1}-P_{2}\right \left P_{2}-P_{3}\right \left P_{3}-P_{1}\right }{2\left \left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right }}}$

원의 중심은 선형 조합에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathrm{P_{c}} =\알파 \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\gamma \,P_{3}}}$

어디에

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ={\frac {\left P_{2}-P_{3}\right ^{2}\left(P_{1}-P_{2}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)}{2\left \left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right ^{2}}}\\\beta ={\frac {\left P_{1}-P_{3}\right ^{2}\left(P_{2}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{2}-P_{3}\right)}{2\left \left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right ^{2}}}\\\gamma ={\frac {\left P_{1}-P_{2}\right ^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right)}{2\left \left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right ^{2}}}\end{aligned}}}$

삼각형에 상대적인 위치

곡선의 위치는 삼각형의 유형에 따라 달라진다.

• 급성 삼각형(직각보다 작은 모든 각도)의 경우, 곡선은 항상 삼각형 안에 위치한다.
• 직각 삼각형의 경우, 할례는 항상 하이포텐 사용의 중간 지점에 있다. 이것은 탈레스의 정리 중 하나이다.
• 둔탁한 삼각형(직각보다 한 각이 큰 삼각형)의 경우, 항상 원곡선은 삼각형 바깥쪽에 있다.

이러한 위치적 특성은 원곡선에 대해 위에 주어진 3개의 좌표 또는 2극 좌표를 고려함으로써 알 수 있다: 세 개의 좌표는 모두 내부 점에 대해 양이고, 적어도 하나의 좌표는 외부 점에 대해 음이며, 하나의 좌표는 0이고, 두 개의 좌표는 삼각형의 측면에 있는 비Vertex 점에 대해 양이다.

각도

삼각형의 옆면과 원형이 이루는 각도는 옆면이 서로 만나는 각도와 일치한다. 반대편 각도 α는 원을 두 번 만난다. 각 끝에서 한 번; 각 경우 α(다른 두 각도와 유사하게)에서. 이는 접선과 화음의 각도가 대체 세그먼트의 각도와 동일하다고 기술하는 대체 세그먼트 정리 때문이다.

삼각형은 ABC 삼각형의 원을 중심으로 한다.

이 절에서 정점 각도는 A, B, C로 표시되고 모든 좌표는 삼선 좌표:

• Steiner 점 = BC / (b²² - c) : ca / (c² - a²) : ab / (a² - b²) = Steiner 타원과의 원곡선의 교차점. (Steiner 타원, 중심 = 중심(ABC)은 A, B, C를 통과하는 최소 영역의 타원이다. 이 타원에 대한 방정식은 1/(ax) + 1/(by) + 1/(cz) = 0)이다.
• 타리 포인트 = 초(A + Ω) : 초(B + Ω) : 초(C + Ω) = 슈타이너 포인트의 대척점
• 키퍼트 포물선 = csc (B - C) : csc (C - A) : csc (A - B)

기타 속성

원주의 직경은 원주형이라고 하며 원주형의 2배에 해당하는 것으로, 삼각형의 어떤 면의 길이를 반대 각도의 사인(sine)으로 나눈 값으로 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\text{diameter}={\frac {a}{\sin A}={\frac {b}{\sin B}={\frac {c}{\sin C}}}.}$

시네스의 법칙의 결과로서, 어느 쪽과 반대 각도를 취하느냐는 중요하지 않다. 결과는 같을 것이다.

원주의 직경도 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle{\begin}{\text{diameter}&}={\frac {abc}{2\cdot{\text{area}}}}}}}={\frac {ABBC CA}{2 \Delta ABC }}}}}}}}}\5pt]&{}={\frac { {}{2{\sqrt {s-a(s-b)(s-c)}}}}}\[5pt]&{}={\frac {22}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\끝{정렬}}}$

여기서 a, b, c는 삼각형의 변의 길이이고 s = (a + b + c)/2는 반퍼미터다. 위의$$ ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{표현식}}}s{\displaystyle \sqrt{}}$( ${\displaystyle \sqrt{s}}$-${\displaystyle \sqrt{a}}$ )${\displaystyle \sqrt{}}$( s${\displaystyle \sqrt{}}$-${\displaystyle \sqrt{}}$b )${\displaystyle \sqrt{}}$( ${\displaystyle \sqrt{s}}$ - ${\displaystyle \sqrt{c}}$)$${\$displaystyle${\$sqrt$ {\sqrt {\$sqrt {s(s-a$)($s-b)($s-c$)}}}}}}$은 헤론의 공식에 의해 삼각형의 영역이다.^[6] 원주의 직경에 대한 삼각형 표현은 다음을^[7] 포함한다.

${\displaystyle {\text{diameter}={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}{\sin A\sin B\sin C}}}.}$

삼각형의 9점 원은 원형의 지름이 반이다.

주어진 삼각형에서, 원곡선은 항상 중심과 직교점 사이에 있다. 그들 모두를 통과하는 선은 오일러 선으로 알려져 있다.

원곡선의 등각 결합은 직교점이다.

세 점의 유용한 최소 경계 원은 원곡선(최소 경계 원 위에 세 점이 있는 경우) 또는 삼각형에서 가장 긴 쪽의 두 점(두 점이 원의 직경을 정의하는 경우)으로 정의된다. 최소 경계 원과 원주를 혼동하는 것이 일반적이다.

세 개의 시준점 원주는 세 개의 점이 놓여 있는 선으로, 흔히 무한반경의 원이라고 한다. 거의 시준점에 가까우면 원주의 계산에 수치적 불안정성이 초래되는 경우가 많다.

삼각형 원주는 점 집합의 델라우나이 삼각형과 밀접한 관계를 가지고 있다.

기하학에서 오일러의 정리, 할례자 O와 장려자 I의 거리.

${\displaystyle OI={\sqrt {R(R-2r)}},}$

여기서 r은 근골 반지름이고 R은 원곡 반지름이다. 따라서 원곡선은 인라디우스(Uler의 삼각형 불평등)의 최소 2배이며, 등변형 사례에서만 동등하다.^[8][9]

O와 직교점 H 사이의 거리는^[10][11]

${\displaystyle OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}}}}}.}$

중심 G와 9점 중심 N의 경우

${\displaystyle {\reasoned}IG&<IO,\2호IN&<IO,\\OI^{2}&=2R\cdot IN.\end{정렬}}}$

옆면 a, b, c가 있는 삼각형의 주근 반지름과 원주 반지름은 다음과 같다^[12].

${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$

A면, B면, C면, M면_a, M면_b, M면, M면_c^[13],

${\displaystyle {\begin{aigned}3{\sqrt {3}R&\geq a+b+c\[5pt]9R^{2}&\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}}\\[5pt]{\frac {27}{4}R^{2}&\geq m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.\end{정렬}}}$

중앙분리대 m, 고도 h 및 내부 이등분자가 모두 원곡선 R이 있는 삼각형의 동일한 꼭지점에서 나오는 경우^[14],

${\displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).}$

카르노의 정리에는 할례에서 삼변까지의 거리의 합이 할례와 인라디우스의 합과 같다고 되어 있다.^[15] 여기서 세그먼트 길이는 세그먼트가 삼각형 바깥쪽에 있는 경우에만 음수인 것으로 간주된다.

삼각형이 원주와 근방으로 두 개의 특정한 원을 가지고 있다면, 원주와 근근이 같은 다른 삼각형이 무한히 존재하며, 원주에 어떤 점이 있으면 꼭지점으로 한다.(이것은 폰셀렛의 다공증의 n = 3 사례다. 그러한 삼각형이 존재하기 위해 필요하고 충분한 조건은 위의 동등 ${\displaystyle \mathrm{OI}}$= ${\displaystyle R\sqrt{}}$( ${\displaystyle \sqrt{R}}$- 2 ${\displaystyle \sqrt{r}}$) .${\displaystyle OI={\sqrt {R(R-2r)}$이다.$}$^[16]

주기적 사변측정감시

할례를 받을 수 있는 사분면측정감시에는 반대 각도가 보조각이라는 사실(최대 180° 또는 π 라디안을 추가함)을 포함하여 특별한 특성이 있다.

주기적 n-곤

변의 수가 홀수인 주기적 다각형의 경우, 다각형이 정규적인 경우에만 모든 각도가 동일하다. 변이 짝수인 주기적 다각형은 대체 변이 같은 경우(즉, 변 1, 3, 5, ..., 변 2, 4, 6, ...)에만 모든 각도가 동일하다.^[17]

이성적인 측면과 면적이 있는 주기적인 오각형은 로빈스 오각형이라고 알려져 있다; 모든 알려진 경우, 대각선은 또한 이성적인 길이를 가지고 있다.^[18]

짝수 n이 있는 주기적인 n곤에서, 한 세트의 대체 각(첫 번째, 세 번째, 다섯 번째 등)의 합은 다른 세트의 대체 각의 합과 같다. 이것은 n=4 사례에서 유도를 통해 증명될 수 있는데, 각각의 경우 3면체를 3면으로 교체하고 이 새로운 면과 구면이 함께 이 특성을 갖는 4면체를 형성한다는 점에 주목한다. 후자의 4면체의 대체 각도는 이전 n-곤의 대체 각도 합계에 대한 추가사항을 나타낸다.

하나의 n-곤을 원 안에 새기고, 다른 n-곤을 첫 번째 n-곤의 정점에 있는 원과 접하게 한다. 그런 다음 원의 어느 지점 P에서 첫 번째 n-곤의 옆면까지의 수직 거리의 산물은 두 번째 n-곤의 옆면까지의 수직 거리의 산물과 동일하다.^[19]

원곡선 상의 점

주기적인 n-곤을 단위 원 위에 정점 A₁ , ..., A를_n 갖도록 한다. 그런 다음, 부호 AA의_1n 임의 지점 M에 대해, M에서 정점까지의 거리는 만족한다^[20].

${\displaystyle {\displaysty}MA_{1}+MA_{3}+\cdots +MA_{n-2}+MA_{n}<n/{\sqrt{2}}&{\text{if{}n{\text{{}는 이상함};\\\MA_{1}+MA_{3}+\cdots +MA_{n-3}++MA_{n-1}\leq n/{\sqrt{2}}&{\text{{{{n{\text{}}{{n{\text{}}}}.\end{case}}}$

일반 ${\displaystyle {n-곤}_{}}$의 경우, $원곡선$의$M{\displaystyle }$$${\$displaystyle$$MA_$${i}$이(가) ${\displaystyle A_{}}$ i {\$displaystyle$ A_{i$}$에 대한 모든$$ 점 M A i ${\$

${\displaystyle 3(MA_{1}^{2}+)MA_{2}^{2}+...+MA_{n}^{2}^{2}^{2}=2n(MA_{1}^{4}+)MA_{2}^{4}+...+MA_{n}^{4}).}$

폴리곤 원곡선 상수

어떤 규칙적인 다각형은 순환적이다. 단위 원을 고려한 다음, 각 면이 원에 닿도록 정규 삼각형을 구획한다. 원을 둘렀다가 사각형을 둘렀다. 다시 원을 둘렀다가, 규칙적인 오각형 등을 둘렀다. 원곡선 반지름은 이른바 폴리곤 원곡선 상수로 수렴한다.

${\displaystyle \prod _{n=3}^{\frac {1}{\cos \left\frac {}{n}\pi }\ldots .}}}=8.7000366\ldots.}$

(OEIS에서 순서 A051762). 이 상수의 역수는 케플러-보우캄프 상수다.

참고 항목

• 질량의 중심
• 할례곤
• 한정된 구체
• 내접원
• 일본식 순환 다각형 정리
• 주기적 사변측정감시 일본 정리
• 융의 정리, 점 세트의 직경과 최소 경계 구 반경을 연관시키는 불평등
• 코스니타 정리
• 레스터 정리
• 접선 다각형
• 삼각 중심

참조

외부 링크

• Mathalino.com에서 삼각형 원곡선 반지름에 대한 공식 도출
• 반정규 각도-곤 및 사이드곤: 동적 지오메트리 스케치에서 직사각형 및 rhombi의 개별 일반화, 대화형 동적 지오메트리 스케치.

매트릭월드

• Weisstein, Eric W. "Circumcircle". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Cyclic Polygon". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Steiner circumellipse". MathWorld.

상호적인

• 대화형 애니메이션을 사용한 삼각 원곡선 및 원곡선
• 회송로를 위한 대화형 Java 애플릿