운동(지오메트리)

기하학에서 동작은 미터법 공간의 등계법이다. 예를 들어, 유클리드 거리 메트릭이 장착된 평면은 일치 수치를 연관시키는 매핑이 동작인 미터법 공간이다.^[1] 보다 일반적으로 운동이라는 용어는 타원형 기하학, 쌍곡형 기하학을 ^[2]포함한 미터법 기하학에서 허탈적 등위법의 동의어다. 후자의 경우, 쌍곡선 운동은 초보자에게 주제에 대한 접근법을 제공한다.

동작은 직접 동작과 간접 동작으로 나눌 수 있다. 직접적, 적절한 또는 경직된 동작은 치랄 모양의 방향을 보존하는 번역이나 회전과 같은 동작이다. 간접적 또는 부적절한 동작은 치랄 모양의 방향을 반전시키는 반사, 활공 반사 및 부적절한 회전과 같은 동작이다. 어떤 기하학자들은 직접적인 움직임만이 움직임인^{[citation needed]} 방식으로 움직임을 정의한다.

차동 기하학에서

미분 기하학에서 차이점형성은 다지점에서의 접선 공간과 그 점의 이미지에서의 접선 공간 사이에 등분법을 유도하면 운동이라고 불린다.^[3][4]

동작군

지오메트리가 주어지면, 일련의 움직임들은 매핑의 구성 하에 그룹을 형성한다. 이 동작의 그룹은 그 성질들로 유명하다. 예를 들어, 유클리드 그룹은 번역의 정규 부분군에 대해 기록된다. 평면에서는 직접 유클리드 운동이 번역 또는 회전이며, 우주에서는 모든 직접 유클리드 운동이 샤슬스의 정리에 따라 나사 변위로 표현될 수 있다. 그 밑의 공간이 리만 다지관일 때, 움직임의 그룹은 리 그룹이다. 또한, 다지관은 모든 점 쌍과 모든 등각도에 대해 한 점을 다른 점으로 가져가는 동작이 등각도를 유도하는 경우에만 일정한 곡률을 가진다.^[5]

특수 상대성 운동 그룹에 대한 생각은 로렌츠 운동으로 발전되어 왔다. 예를 들어, American Mathemical Monthly에서 2차 형태 ${\displaystyle x{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $displaystyle \x^{2}-y^{2}\}$로 특징지어지는 평면에 대한 기본 아이디어가 제시되었다.^[6] 민코프스키 공간의 움직임은 2006년 세르게이 노비코프에 의해 설명되었다.^[7]

빛의 등속도의 물리적 원리는 하나의 관성 프레임에서 다른 관성 프레임으로의 변화가 민코프스키 공간의 움직임, 즉 변환에 의해 결정된다는 요건에 의해 표현된다.

${\displaystyle \phi :R^{1,3}\mapsto R^{1,3}}{1,3}}$

시간 간격 보존 라는 뜻이다.

$\displaystyle \langle \langle \pi-\pi (y)\\\phi(x)-\langle \\langle x-y,\-y\angle }}$

R의^1,3 각 점 쌍 x와 y에 대해.

역사

기하학에서 운동의 역할에 대한 초기 감상은 알하센(965~1039)에 의해 주어졌다. 그의 작품 "공간과 그 본질"^[8]은 가상 공간의 진공을 정량화하기 위해 이동체의 치수를 비교한다.

19세기에 펠릭스 클라인은 기하학을 "운동의 집단"에 따라 분류하기 위한 수단으로 집단 이론의 지지자가 되었다. 그는 그의 Erlangen 프로그램에 대칭 그룹을 사용하는 것을 제안했는데, 이것은 널리 채택된 제안이다. 그는 모든 유클리드 화합물은 아핀 지도이며, 이것들 각각은 프로젝트적인 변형이다. 따라서 프로젝트 그룹에는 아핀 지도 집단이 포함되어 있으며, 이는 결국 유클리드 결합 집단을 포함하고 있다. 운동이라는 용어는 변화보다 짧은 형용사를 더 강조한다: 투영적, 아핀적, 유클리드적. 따라서 "위상에서 허용된 움직임은 탄성 운동이라고 불릴 수 있는 연속적인 반전성 변형"^[9]이라고 할 정도로 그 맥락이 확장되었다.

운동학의 과학은 물리적인 움직임을 수학적 변환으로 표현하는데 전념하고 있다. 자주 변환은 벡터 대수학 및 선형 매핑을 사용하여 작성할 수 있다. A simple example is a turn written as a complex number multiplication: ${\displaystyle z\mapsto \omega z\ }$ where ${\displaystyle \ \omega =\cos \theta +i\sin \theta ,\quad i^{2}=-1}$. Rotation in space is achieved by use of quaternions, and Lorentz transformations of spacetime by 바이쿼터니온의 사용 20세기 초에는 초복소수 체계를 조사하였다. 후에 그들의 자동형성 집단은 G2와 같은 예외적인 집단을 이끌었다.

1890년대에 논리학자들은 합성 기하학의 원시적 개념을 절대적 최소로 줄이고 있었다. 주세페 페아노와 마리오 피에리는 점 쌍의 조화를 위해 표현 운동을 사용했다. 알레산드로 파도아는 1900년 국제철학회의 보고서를 통해 원시적 관념이 단순히 지적하고 움직이는 것으로 축소된 것을 축하했다. 베르트랑 러셀이 피아노를 통해 대륙논리에 노출된 것은 이 의회에서였다. 러셀은 그의 저서 수학 원리(1903)에서 운동을 방향을 보존하는 유클리드 이등분법이라고 생각했다.^[10]

1914년 D. M. Y. Sommerville은 비유클리드 기하학의 원소를 쓸 때 쌍곡 기하학에서 거리에 대한 사상을 확립하기 위해 기하학적 운동의 개념을 사용했다.^[11] 그는 다음과 같이 설명한다.

일반적인 의미에서의 움직임이나 변위에 의해 하나의 점이나 어떤 경계 그림의 위치가 바뀌는 것이 아니라 전체 공간의 변위, 또는 우리가 전체 면의 2차원만을 다루고 있다면 전체 면의 변위를 의미한다. 동작은 거리와 각도가 변하지 않는 방식으로 각 점 P를 다른 점 P ′으로 바꾸는 변환이다.

운동의 공리

라슬로 레데이는 운동의 공리로서 다음과 같이 말한다.^[12]

1. 임의의 모션은 한 줄의 세 점이 한 줄의 (3) 점으로 변환되도록 자신에게 공간 R을 일대일로 매핑하는 것이다.
2. 공간 R의 동일한 매핑은 움직임이다.
3. 두 동작의 산물은 동작이다.
4. 동작의 역방향 매핑은 동작이다.
5. 만약 우리가 P가 G에 있고, G가 A에 있고, P가 G에 있고, P가 G에 있고, G가 A에 있고, G가 A에 있고, G가 A에 있고, P가 P에 대한 모션 맵핑이 있다.
6. 평면 A, 선 g 및 점 P가 있어 P가 g와 A에 있고 A, g와 P를 자신에게 매핑하는 네 개의 동작이 각각 존재하며, 이러한 동작 중 두 개 이하가 고정된 점으로서 g의 모든 포인트를 가질 수 있는 반면, A의 모든 포인트가 고정된 점(즉 정체성)이 있을 수 있다.
7. 선 g에는 P가 A와 B 사이에 있고, A와 B 사이의 모든 C(비적격 P)에 대해, C와 P 사이에 놓여 있는 지점에 C를 매핑할 고정 지점으로 동작이 발견되지 않는 점 D가 있다.

공리 2 ~ 4는 운동이 그룹을 형성한다는 것을 의미한다.

모든 행을 모든 행에 매핑하는 동작이 있다는 Axiom 5

참고 및 참조

• 트리스탄 니덤(1997) 시각 복합 분석, 유클리드 모션 p 34, 다이렉트 모션 p 36, 반대 모션 p 36, 구형 모션 p 279, 쌍곡 모션 p 306, 클라렌던 프레스, ISBN 0-19-853447-7.
• 마일즈 리드 & 발라즈 스젠드로위(2005) 기하학과 토폴로지, 캠브리지 대학 출판부, ISBN 0-521-61325-6, MR2194744.

외부 링크

• 동작. I.P 에고로프(원제), 수학 백과사전.
• 동작군 I.P. 에고로프(원제), 수학 백과사전.