Fisher의 비중앙 초기하 분포

확률 이론과 통계에서 피셔의 비중심 초기하 분포는 체중 인자에 의해 표본 추출 확률을 수정하는 초기하 분포의 일반화다.또한 고정 총량에 따라 둘 이상의 이항 분포 변수의 조건부 분포로 정의할 수 있다.

분포는 다음의 urn 모델로 설명할 수 있다.예를 들어, 항아리에 m의₁ 빨간색 공과 m의₂ 흰색 공(총 N = m₁ + m₂ 공)이 포함되어 있다고 가정하자.각각의 붉은 공은 무게 Ω을₁ 가지고 있고 각각의 하얀 공은 무게 Ω을₂ 가지고 있다.우리는 승산비가 Ω = Ω₁ / Ω이라고₂ 말할 것이다. 지금 우리는 특정 공을 가져갈 확률은 무게에 비례하지만 다른 공에 일어나는 것과 무관하게 무작위로 공을 가져가고 있다.특정 색상의 볼을 가져간 횟수는 이항 분포를 따른다.채취한 총 공의 수 n이 알려진 경우, 주어진 n에 대해 채취한 적공 수의 조건부 분포는 피셔의 비중앙초기하 분포다.이 분포를 실험적으로 생성하기 위해서는 우연히 n개의 공을 줄 때까지 실험을 반복해야 한다.

실험 전에 n의 값을 고정하려면 n개의 공이 나올 때까지 하나씩 가져가야 한다.그러므로 공은 더 이상 독립적이지 않다.이것은 왈레니우스의 비중앙초기하 분포로 알려진 약간 다른 분포를 제공한다.이 두 분포가 왜 다른지는 분명치 않다.이 두 분포 간의 차이와 다양한 상황에서 사용할 분포에 대한 설명은 비중앙 초기하 분포 항목을 참조하십시오.

두 분포는 모두 승산비가 1일 때 (중앙)초기하 분포와 동일하다.

불행히도, 두 분포는 문헌에서 "비중앙 초기하 분포"로 알려져 있다.이 이름을 사용할 때 어떤 분포를 의미하는지 구체적으로 밝히는 것이 중요하다.

피셔의 비중앙초기하 분포는 처음에는 확장초기하 분포라는 이름이 붙었고(Harkness, 1965) 오늘날에도 일부 저자들이 이 이름을 사용하고 있다.

일변량 분포

일변량 피셔의 비중앙초기하 분포

매개변수	${\displaystyle m_{1},m_{2}\in \mathb {N} }$ ${\displaystyle N=m_{1}+m_{2}}$ $[0,N]에서 [\displaystyle n\in]$ ${\displaystyle \omega \in \mathb {R} _{+}}$
지원	${\displaystyle x\in [x_{\min }},x_{\max }}}$ ${\displaystyle x_{\min }=\max(0,n-m_{2})}$ ${\displaystyle x_{\max }=\min(n,m_{1})}$
PMF	${\displaystyle {\frac {{\binom {m_{1}:{x}{\binom {m_{2}}:{n-x}\omega ^{x}}}}{x}}}}{\binome}}{x}}}}}}{x}}P_{0}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{여기}}}$서 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ y${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{}_{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{min}_{}}}}$ x ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{max}_{}}}}$(${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{m}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{{1\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{{n\mathrm{}}_{}}{}\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$- ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{{}_{}}{}}$)${\displaystyle {\Omega }^{}}$ y ${\$}:{$n-y}}}}{n-y_}}}}}}}:{$n-$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
평균	${\displaystyle {\frac {P_{1}}{P_{0}}}}$, where ${\displaystyle P_{k}=\sum _{y=x_{\min }}^{x_{\max }}{\binom {m_{1}}{y}}{\binom {m_{2}}{n-y}}\omega ^{y}\,y^{k}}$
모드	$displaystyle \,\,\,\floor$$$$AC}}}\right\rfloor \,}$$여기$서 A${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$- 1 ${\displaystyle$ A$=\$${\displaystyle \mathrm{omega}}$ $-1$ $B{\displaystyle }$= m ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$- N${\displaystyle }$- ${\displaystyle ({m\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle B=m_{1$}+$N-(m_{1}+n$+n$+n+$2)$\$$omega{\displaystyle }$ $\},$ C${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C=(m_{1}+1)(n+1)\omega$ $\}.$
분산	${\displaystyle \frac{P_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$-${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {P\frac{{}_{}}{}}^{}}$ 1 ${\displaystyle {\frac{{P\mathrm{}}_{}}{}}^{}}$ 0${\displaystyle {\frac{{}_{}}{}}^{}}$) 2 ${\$}}}{$P_{0}}\오른쪽)^{2}},$ 여기서 P는k 위에 주어진다$.$

확률 함수, 평균 및 분산이 인접한 표에 제시되어 있다.

분포의 대체 표현식은 각 색상의 공의 수와 랜덤 변수로 간주되지 않는 공의 수를 모두 가지며, 확률에 대한 표현은 대칭이 된다.

확률함수의 계산 시간은 P의₀ 합계에 항이 많을 때 높을 수 있다.계산 시간은 y = x에 대한 항에 대해 반복적으로 합계의 항을 계산하고 꼬리의 무시할 수 있는 항을 무시하면 줄일 수 있다(Liao와 Rosen, 2001).

평균은 다음과 같이 추정할 수 있다.

${\displaystyle ㎕\approx }$ -${\displaystyle \frac{}{}}$ b${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{\sqrt{{b\mathrm{}}^{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2\sqrt{{}^{}}}{}}$- 4 ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{a}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{c}}{}}$ $displaystyle \mu \c$}약 ${\frac {-2c}{b-{\sqrt{b^{$2}-$4ac}}}\,},},$

여기서 $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle \Omega }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ a$=\omega -1$ $b{\displaystyle }$= ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle n}$- ${\displaystyle N}$- (${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}1}$+ n )$$ {\$displaystyle b=m_{1$}-$N-(m_{$1}+$n$ $c{\displaystyle }$= m ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \Omega }${\$displaystystyle c=m_{1}n\n$\n\$nomega$ $\}.$

분산은 다음과 같이 근사하게 추정할 수 있다.

${\displaystyle \sigma ^{2}\approx {\frac {N}{N-1}}{\bigg /}\left({\frac {1}{\mu }}+{\frac {1}{m_{1}-\mu }}+{\frac {1}{n-\mu }}+{\frac {1}{\mu +m_{2}-n}}\right)}$ .

평균과 분산에 대한 더 나은 근사치는 르빈(1984, 1990), 맥컬라그와 넬더(1989), 리아오(1992), 아이징가와 펠저(2011)가 제시한다.평균과 평균의 근사치를 위한 안장점 방법 및 제안된 분산은 Eisinga와 Pelzer(2011년)가 매우 정확한 결과를 제공한다.

특성.

다음과 같은 대칭 관계가 적용된다.

${\displaystyle \operatorname {fnchypg}(x;n,m_{1},n,\omega )=\operatorname {fnchypg}(n-x;n,m_{2},N,1/\omega )\,}$

${\displaystyle \operatorname {fnchypg}(x;n,m_{1},n,\omega )=\operatorname {fnchypg}(x;m_{1},n,\omega )\,}$

${\displaystyle \operatorname {fnchypg}(x;n,m_{1},{1},\omega )=\fnchypg}(m_{1}-x;N-n,m_{1},N,1/\omega )\,}$

반복 관계:

${\displaystyle \operatorname {fnchypg} (x;n,m_{1},N,\omega )=\operatorname {fnchypg} (x-1;n,m_{1},N,\omega ){\frac {(m_{1}-x+1)(n-x+1)}{x(m_{2}-n+x)}}\omega \,.}$

위의 약칭에 근거하여, 그 배포를 애칭하여 「핀치피그」라고 부른다.

파생

일변량 비중심초기하 분포는 예를 들어 임상 시험에 참여하는 두 다른 환자 그룹에서 특정 치료에 대한 반응을 고려할 때 이항 분포 랜덤 변수의 맥락에서 조건부 분포로 대안으로 파생될 수 있다.이 맥락에서 비중심 초기하 분포의 중요한 적용은 두 그룹 간의 처리 반응을 비교하는 승산비에 대한 정확한 신뢰 구간의 계산이다.

X와 Y가 각각 크기가 m과_XY m인 두 개의 해당 그룹의 응답자 수를 계산하는 이항 분포 랜덤 변수라고 가정하자.

${\displaystyle X}$~ ${\displaystyle \mathrm{Bin}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (m_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {\pi }_{}}$ ${\displaystyle X_{}{}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$~ ${\displaystyle \mathrm{Bin}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ Y${\displaystyle {}_{}}$) ${\$ X$\sim \operatorname {Bin}(m_{X},\pi _{X}),\quad$ Y$\sim \operatorname {Bin}(m_{Y},\PI _{Y$}), .},$${Y$},$ }, }, }).

그들의 승산비는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \omega ={\frac {\omega _{X}}{\omega _{Y}}}={\frac {\pi _{X}/(1-\pi _{X})}{\pi _{Y}/(1-\pi _{Y})}}}$.

응답자 유병률 ${\displaystyle {\pi }_{}}$ i ${\$i}}은$$(는) ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ i ${\$$_{i},$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }${ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y\}}$ ${\displaysty i\in \X,$$Y$ 위의 항아리 구조에서 샘플링 편향에 해당한다.

${\displaystyle {\pi }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle \Omega \frac{{}_{}}{}}$ i ${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}}}$+ ${\displaystyle \frac{{\Omega }_{}}{}}$ i ${\$

재판은 다음과 같은 우발성 표의 관점에서 요약하고 분석할 수 있다.

치료 그룹	응답자	무응답의	합계
X	x	.	mX
Y	y	.	mY
합계	n	.	N

표에서 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$+ y ${\displaystyle n=x+y}$은(는) 그룹 전체의 총 응답자 수에 해당하며, N은 재판에 모집된 총 환자 수에 해당한다$$.점들은 더 이상 관련이 없는 해당 주파수 카운트를 나타낸다.

The sampling distribution of responders in group X conditional upon the trial outcome and prevalences, ${\displaystyle Pr(X=x\; \;X+Y=n,m_{X},m_{Y},\omega _{X},\omega _{Y})}$, is noncentral hypergeometric:

${\displaystyle{\begin{정렬}(X,\omega):&=Pr(X=x\, \, X+Y=n,m_{X},m_{Y},\omega_{X},\omega_{Y})\\&, ={\frac{Pr(X=x,X+Y=n\^;m_{X},m_{Y},\omega_{X},\omega_{Y})}{Pr(X+Y=n\^;m_{X},m_{Y},\omega_{X},\omega_{Y})}}\\&, ={\frac{Pr(X=x\^;m_{X},\omega_{X})Pr(Y=n-x\^;m_{Y},\omega_{Y},X=x)}{Pr(X+Y=n\^;m_{X},m_{Y},\omega _{X},\omega._{Y})}}\\&, ={\frac {{\binom{m_{X}}}{X}}\pi _{X}^{X}}^{m_{X}-x}{\binom {m_{m_{x}}}{\binom {m_{x}}}}{X}}}}}{X}}}}}}}}}{{{X}}}}}}}}}Y}}{n-x}}\pi _{Y}^{n-x}(1-\pi _{Y})^{m_{Y}-(n-x)}}{Pr(X+Y=n\; \;m_{X},m_{Y},\omega _{X},\omega _{Y})}}\\&={\frac {{\binom {m_{X}}{x}}\omega _{X}^{x}(1-\pi _{X})^{m_{X}}{\binom {m_{Y}}{n-x}}\omega _{Y}^{n-x}(1-\pi _{Y})^{m_{Y}}}{Pr(X+Y=n\; \;m_{X},m_{Y},\omega _{X},\omega _{Y})}}\\&={\frac {{\binom {m_{X}}{x}}{\binom {m_{Y}}{n-x}}\omega ^{x}(1-\pi _{X})^{m_{X}}\omega _{Y}^{n}(1-\pi _{Y})^{m_{Y}}}{(1-\pi _{X})^{m_{X}}\omega _{Y}^{n}(1-\pi _{Y})^{m_{Y}}\sum _{u=\max(0,n-m_{Y})}^{\min(m_{X},n)}{\binom {m_{X}}{u}}{\binom {m_{Y}{n-u}}\omega ^{u}}\\&={\frac {{\binom {{m_{X}}}{\binom{m_}}}{\binom {m_{}}}}}{\binom {m_{{}}}}}}}{\Y}{n-x}}\오메가 ^{x}}{\sum _{u=\max(0,n-m_{Y}}}}^{\binom {m_{X}}}}{\binom {m_{x}}}}}}{\binom {m_{m_}}{n}}}}{\binom {m_{}{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{Y}{n-u}}\오메가 ^{u}}\ended{aigned}}}$

분모는 기본적으로 단지 분자일 뿐이며${\displaystyle }X{\displaystyle }$ +${\displaystyle Y}$ = ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X+Y=n}$을$(를)$ 보유하는 공동 샘플 공간의 모든 사건에 대해 합한 것이다$.$ X와 무관한 용어는 합계에서 인수하여 분자로 취소할 수 있다.

다변량 분포

다변량 피셔의 비중앙초기하 분포

매개변수	$\displaystyle c\in \mathb {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {m} =(m_{1},\ldots,m_{c})\in \mathb {N}^{c}}}$ ${\displaystyle N=\sum _{i=1}^{c}m_{i}}}$ $[0,N]에서 [\displaystyle n\in]$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }=(\omega _{1},\ldots,\omega _{c}\mathb {R} _{+}^{c}).$
지원	${\displaystyle \mathrm {S} =\좌측\{\\mathbf {x}\in \mathb {Z} _{0+}^{c}\,:\,\, _{i=1}^{c}x_{i}=n\rig\}}}}}}}}}}}\}}}}}}}}}$
PMF	${\displaystyle {\frac{1}{0}}\prod _{i=1}^{c}{\binom {m_{i}}{x_{i}}\omega _{i}^{i}}}}}}}$ where ${\displaystyle P_{0}=\sum _{(y_{0},\ldots ,y_{c})\in \mathrm {S} }\prod _{i=1}^{c}{\binom {m_{i}}{y_{i}}}\omega _{i}^{y_{i}}}$
평균	x의i 평균 μ는i 다음과 같이 근사할 수 있다. ${\displaystyle \mu _{i}={\frac {m_{i}r\omega _{i}}{r\omega _{i}+1}}}$ where r is the unique positive solution to ${\displaystyle \sum _{i=1}^{c}\mu _{i}=n\,}$.

그 분포는 항아리에 있는 어떤 색깔의 c로든 확장될 수 있다.다변량 분포는 세 가지 이상의 색이 있을 때 사용된다.

확률함수와 평균에 대한 간단한 근사치가 오른쪽에 주어진다.평균과 분산에 대한 더 나은 근사치는 McCullah와 Nelder(1989)에 의해 제시된다.

특성.

어떤 색도 바꿀 수 있도록 색의 순서가 임의로 정해져 있다.

가중치는 임의로 조정할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {mfnchypg} (\mathbf {x} ;n,\mathbf {m} ,{\boldsymbol {\omega }})=\operatorname {mfnchypg} (\mathbf {x} ;n,\mathbf {m} ,r{\boldsymbol {\omega }})\,\,}$ for all ${\displaystyle r\in \mathbb {R} _{+}.$$}$

숫자 0(m_i = 0) 또는 무게 0(Ω_i = 0)의 색상은 방정식에서 생략할 수 있다.

동일한 중량의 색상은 다음과 같이 결합할 수 있다.

${\displaystyle {\regated}&{}\mfnchypg} \left(\mathbf {x} ;n,\mathbf {m}, (\omega _{1},\ldots _{c-1},\omega _{c-1}}\ique-1}\오른쪽)\\\&{}=\operatorname {mfnchypg} \left((x_{1},\ldots ,x_{c-1}+x_{c});n,(m_{1},\ldots ,m_{c-1}+m_{c}),(\omega _{1},\ldots ,\omega _{c-1})\right)\,\cdot \\&\qquad \operatorname {hypg} (x_{c};x_{c-1}+x_{c},m_{c},m_{c-1}+m_{c})\end{aligned}}}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{hypg}}$ ${\displaystyle (x}$; n${\displaystyle }$, ${\displaystyle m}$, N${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {hypg}(x;n,m,N)$은 (일변량, 중심) 초기하 분포 확률이다$$.

적용들

피셔의 비중심 초기하 분포 편향된 표본 또는 편향된 선택의 개별 항목 독립적으로 서로의 경쟁에 샘플링된 모델들에게 유용한 것이다.그 편견이 있거나 일어날 확률이 평균의 실험 값에서 추정할 수 있다.사용 Wallenius의 비중심 초기하 분포 대신 만약 항목 한 경쟁에 한 샘플링된다.

피셔의 비중심 초기하 분포는 대부분이 고정한 마진에 대한 조건부 분배를 원한다면 보정 표에 시험을 위해 사용된다.예를 들어, 이는 시험이나 약의 효과 측정에 유용할 수 있다.참고 McCullagh과 Nelder(1989년).

사용 가능한 소프트웨어

• FisherHypergeometricDistribution 원리에.
• R프로그래밍 언어를 위한 실행은 패키지 BiasedUrn의 이름을 이용할 수 있다그리고 다변량 일도량의 확률 질량 함수, 유통 기능, 분위수, 확률 변수를 생성하는 기능, 제 말은..분산이 포함되어 있습니다.
• 그 R패키지 MCMCpack은 일도량의 확률 질량 함수와 확률 변수 발생 함수를 포함한다.
• SAS시스템 일도량의 확률 질량 함수 및 유통 기능을 포함하다.
• C++의 구현www.agner.org.에서 이용 가능하다
• 계산 법 요, 로젠(2001년)과 안개(2008년)에 의해 기술됩니다.

참고 항목

• Noncentral 초 기하 분포
• Wallenius의 비중심 초기하 분포
• 초기하 분포
• Urn 모델
• 여 매우 편향적이라는 샘플
• 바이어스
• 분할표
• 피셔의 정확한 검사

참조

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Eisinga, R.;Pelzer, B(2011년),"그 확장된 초 기하 분포의 평균과 변수를Saddlepoint 근사치"(PDF), Statistica Neerlandica, 65,1,를 대신하여 서명함 vol.. 22–31, doi:10.1111/j.1467-9574.2010.00468.x.

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안개, a.(2008년),"표본 관리 콘텐츠 Wallenius을 위한, 피셔의 Noncentral Hypergeometric 분포", Statictics, 시뮬레이션과 계산,에 통신, 2,를 대신하여 서명함. 241–257, doi:10.1080/03610910701790236, S2CID 14904723 37vol..

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McCullagh, P.; Nelder, J. A. (1989), Generalized Linear Models, 2. ed., London: Chapman and Hall.