대칭 확률 분포

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통계에서 대칭 확률 분포는 확률 분포(가능한 발생에 대한 확률 할당)로, 확률 밀도 함수(연속 확률 분포의 경우) 또는 확률 질량 함수(이산성 랜덤 변수의 경우)가 수직선을 중심으로 반사될 때 변경되지 않는다. 분포로 표현되는 랜덤 변수 이 수직선은 분포의 대칭선이다. 따라서 대칭이 발생하는 값의 한 쪽에 주어진 거리가 될 확률은 해당 값의 다른 쪽에 있는 동일한 거리에 있을 확률은 같다.

형식 정의

확률 분포는 다음과 같은$$ 값 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 있는 경우에만 대칭이라고 한다.

${\displaystyle f}$${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ -$Δ$${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle \Delta }$)$$= 모든 실제 숫자 $\Delta {\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $f(x_{0}-\property )=f(x_{0$}+\$property$ $)}}}$

여기서 f는 분포가 연속적인 경우 확률밀도함수 또는 분포가 이산적인 경우 확률밀도함수다.

다변량 분포

대칭 정도는 거울 대칭의 의미에서 치랄 지수를 가진 다변량 분포에 대해 정량적으로 평가할 수 있는데, 치랄 지수의 값은 [0;1] 구간의 값을 취하며, 분포가 거울 대칭인 경우에만 무효가 된다.^[1] 따라서 d-변수 분포는 해당 키랄 지수가 null일 때 거울 대칭으로 정의된다. 분포는 이산형 또는 연속형일 수 있으며, 밀도의 존재는 요구되지 않지만 관성은 유한하고 무효가 아니어야 한다. 일변량 사례에서, 이 지수는 대칭의 비모수 검정으로서 제안되었다.^[2]

연속 대칭 구형인 경우 Mir M. 알리는 다음과 같은 정의를 내렸다. Let ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ denote the class of spherically symmetric distributions of the absolutely continuous type in the n-dimensional Euclidean space having joint density of the form ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=g$$(x_{1}^{2}+x_{2$$}$$}}^{2}+\cHB +x_{n}^{2$}}}}이$($가) 유한하거나 무한할 수 있고 다른 곳에서는 0일 수 있는 규정된 반지름을 가진 원점에 중심을 둔 구 내부에$$ 있다.^[3]

특성.

• 대칭 분포의 중위수와 평균(있는 경우)은 대칭이 발생하는 지점 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에서 모두 발생한다.^[4]
• 대칭 분포가 단수일 경우 모드는 중위수 및 평균과 일치한다.
• 대칭 분포의 모든 홀수 중심 모멘트는 0(존재하는 경우)이 된다. 이러한 모멘트의 계산에서 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 음의 편차로 인한 부정적인 $항이{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle x_{0}}$에서 동일한 양의 편차로 인해 발생하는 양의 항이 정확히$$ 균형을 이루기 때문이다$.$
• 왜도의 모든 척도는 대칭 분포의 경우 0과 같다.

유니모달 케이스

일부 예제 목록

다음 분포는 모든 모수 집합에 대해 대칭이다. (다른 많은 분포는 특정 모수 집합에 대해 대칭이다.

이름	분배
아크사인 분포	${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}$ for 0 ≤ x ≤ 1 ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle \frac{x\sqrt{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{\sqrt{1}}{}}$- ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{}}$) ${\${\sqrt${x($1-x$)}}}}}}:$0$$,1)
베이츠 분포	${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {n}{2(n-1)!}}}\sum _{k=0}^{n(1)^{k}{n \선택 k}(nx-k)^{n-1}\sgnname {sgn}(nx-k)}$
카우치 분포	${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi \gamma }\left[{\gamma ^{2} \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],}$
참퍼나운 분포	${\displaystyle f(y;\property,\fla,y_{0})={\frac {n}{\cosh[\cosh[\fla (y-y_{0})]+},\qquad -\infully <y>,}$
연속 균일 분포	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}&\mathrm {for} \leq x\leq b,\[8pt]0&\mathrm {for} \a\mathrm {or} \x>b\case{}}}}}}}$
퇴행분포	${\displaystyle F_{k_{0}}(x)=\좌측\{\{\begin{matrix}1,&#{\mbox{if }x\geq k_{0}\0}\0,&#{\mbox{}}}}}}}}}}\우측.}$
이산 균일 분포	${\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}$
타원 분포	${\displaystyle f(x)=k\cdot g(x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu )}$
가우스 q-분포	${\displaystyle s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}}$
비대칭 모수가 0인 쌍곡선 분포	${\displaystyle {\frac {\gamma }{2\alpha \delta K_{1}(\delta \gamma )}}\\e^{-\nalpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )}}+\beta (x-\mu )}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}})$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$은(는) 두 번째 종류의 변형된 베셀 함수를 나타낸다$$.
일반화 정규 분포	${\displaystyle {\frac {\beta}{2\alpha \Gamma(1/\beta )}\;e^{-(x-\mu /\alpha )^{\beta }}}}$ ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ${\displaystyle \Gamma$}은$($는) 감마 함수를 나타낸다.
쌍곡선 세컨트 분포	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1}:{2}}\;\sechname {sech}\!\\좌측\frac {\pi }{2}}\,x\오른쪽)\,},}$
라플라스 분포	${\displaystyle f(x\mid \mu ,b)={\frac {1}{2b}\exp \frac{\frac{\frac{\}{b}\오른쪽)\,\!}$${\displaystyle ={\frac {1}{2b}}\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\text{if }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\text{if }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.}$
어윈홀 분포	${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{2(n-1)!}}}\sum _{k=0}^{n(1)^{k}{n \선택 k}(x-k)^{n-1}\sgnname {sgn}(x-k)}$
로지스틱 분포	${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{(e^{x/2}+e^{-x/2})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{정렬}}}$
정규 분포	${\displaystyle \varphi (x)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}:{2}}:{\sqrt{2\pi}}}}}}}}}}}}$
정상-외부감마 분포	${\displaystyle f(x;\mu,k,\theta )\propto \exput {\left({\frac {(x-\mu )^{2}}:{4\teta ^{2}}\오른쪽)}D_{-2k-1}\왼쪽({\frac {x-\mu }{\theta }\오른쪽)}$
래드마커 분포	${\displaystyle f(k)=\left\{\put}1/2&{\mbox{{}{}}}}}}}}}}}}}}}{}k=-1,\1/2&{\mbox{{}}}}}}}{}mbox{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}v.}}}\끝{{matrix}\오른쪽.}$
상승 코사인 분포	${\displaystyle f(x;\mu ,s)={\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,}$
학생분배분포	${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{\!-{\frac {\nu +1}{2}}},\!}$
U-정량 분포	${\displaystyle f(x a,b,\b,\property )=\reft(x-\properties \right)^{2},\reft {\text{{{}x\in [a,b].}$
보이그트 분포	${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\nft }^{\nft }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx',}$
폰 미제스 분포	${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(x-\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}}}}}}$
윙어 반원 분포	${\displaystyle f(x)={2 \over \pi R^{2}}:{\\sqrt {R^{2}-x^{2}\,},}$

참조