모의 모듈형

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수학에서, 모의 모듈형 형태는 조화 약한 Maass 형태의 홀로모르픽 부분이고, 모의 세타 함수는 본질적으로 모의 모듈형 형태의 무게다.1/2. 모의 세타 함수의 첫 번째 예는 스리니바사 라마누잔이 G. H. 하디에게 보낸 1920년 마지막 편지와 잃어버린 수첩에 기술되어 있었다.샌더 즈위거스는 어떤 비홀모픽 기능을 추가하면 조화로운 약한 마스 형태로 바뀐다는 것을 발견했다.^[1][2]

역사

1920년 1월 12일 하디에게^[3] 보낸 라마누잔의 편지에는 그가 모의 세타함수라고 부르는 기능의 17가지 예가 나열되어 있었고, 그의 잃어버린 노트에는^[4] 몇 가지 예가 더 들어 있었다.(라마누잔은 오늘날 모듈형이라고 불리게 될 것에 대해 "세타함수"라는 용어를 사용했다.)라마누잔은 그들이 쿠스프에서 점증하지 않는 확장이 있는데, 이는 무게 1/2의 모듈형 형태와 유사하며, 쿠스프에는 극이 있을 수 있지만, "일반적인" 세타 함수의 관점에서 표현될 수는 없다고 지적했다.그는 유사한 특성을 가진 기능들을 "mock theta 함수"라고 불렀다.즈위거스는 후에 약한 마스 형태와 모의 세타 기능의 연관성을 발견했다.

라마누잔은 명령을 그의 조롱하는 세타 함수에 연관시켰는데, 그것은 명확하게 정의되지 않았다.즈베거스의 작업 전, 알려진 모의 세타 함수의 순서가 포함되었다.

3, 5, 6, 7, 8, 10.

라마누잔의 질서에 대한 개념은 후에 라마누잔의 모의 세타 기능을 그들의 홀로모르픽 투영으로 인정하는 무게 1/2의 조화 마아스 형태의 네번티푸스 성격의 지휘자와 일치하는 것으로 밝혀졌다.

이후 수십 년 동안 라마누잔의 모의 세타 기능은 왓슨, 앤드류스, 셀버그, 히커슨, 최, 맥인토시 등이 연구했는데, 이들은 라마누잔에 대한 진술을 입증하고 몇 가지 사례와 정체성을 더 찾아냈다.("새로운"의 정체성과 예시의 대부분은 이미 라마누잔에게 알려졌고 잃어버린 수첩에 다시 나타났다.)1936년, 왓슨은 모듈러 그룹의 요소들의 작용에 따라, 일반적으로 명시적 통합으로 주어지는 기능 방정식에 "오류 용어"가 있다는 것을 제외하고, 세타 함수를 모의하는 순서 3은 무게 1/2의 모듈형 형태처럼 거의 변형된다는 것을 발견했다.^[5]그러나, 수년간 모의 세타 함수에 대한 좋은 정의는 없었다.이것은 2001년에 Zwegers가 비홀모픽 모듈형 형태, Lerch 합, 그리고 무기한 세타 시리즈와의 관계를 발견하면서 바뀌었다.즈위거스는 왓슨과 앤드류스의 전작을 이용하여, 주문서 3, 5, 7의 모의 세타 함수는 무게 1/2의 약한 마아스 형태와 큐스로 끝나는 지오데틱스를 따라 경계된 함수의 합으로 쓸 수 있다는 것을 보여주었다.^[2]약한 마스 형태는 쌍곡선 라플라시안(홀로모르픽 모듈형 형태의 무게 1/2과 동일한 값) 아래 고유값 3/16을 가지고 있지만, 쿠스 근방에서 기하급수적으로 빠르게 증가하기 때문에 마스 파형의 일반적인 성장 조건을 만족시키지 못한다.Zwegers는 세 가지 다른 방법으로 모의 세타 함수를 Heck의 차원 2의 무기한 격자의 세타 함수와 호칭-러치 합계와 그리고 meromorphic Jacobi 형식과 연관시킴으로써 이 결과를 증명했다.

Zweger의 근본적인 결과는 세타 함수를 조롱하는 것이 무게 1/2의 실제 모듈형 형태의 "고형 부품"이라는 것을 보여준다.이것은 세타 함수를 조롱하기 위해 모듈형 형태에 대한 많은 결과를 확장할 수 있게 한다.특히 모듈형 형태와 마찬가지로 모의 세타함수는 모두 어떤 명시적 유한차원 공간에 놓여있으며, 이것은 그들 사이에 많은 정체성의 길고 단단한 증거를 일상적인 선형대수로 감소시킨다.처음으로 무한한 수의 모의 세타 함수의 예를 만드는 것이 가능해졌다; 이 작업 전에는 단지 50개의 예만 알려져 있었다(대부분은 라마누잔에 의해 처음 발견되었다).Zwegers의 생각의 추가 응용 프로그램으로서, Kathrin Bringmann와 켄은 오노는 특정한 q-series은 Rogers–Fine 기본적인 초 기하 급수에서 발생하는 무게 3/2 조화 약한 마스 forms[6]의 적인. 부분과 관련이 있고 알게 된 것은 명령의 계수의 점근 급수 3모의 theta 기능 f(q)조지 A.에 의해 연구된 것으로 나타났다알몬드르우스와^[7] 레일라 드래곤렛은^[8] 계수로 수렴한다.^[9]특히 Mock Theta 함수는 상부 하프 평면에 작용하는 모듈형 그룹의 쿠스프에서 점증하지 않는 팽창을 가지며, 쿠스프에는 폴이 있는 무게 1/2의 모듈형 형태의 팽창과 유사하다.

정의

모의 모듈형 형식은 조화 약한 Maass 형식의 "홀로모르픽 부분"으로 정의될 것이다.

보통 2k 적분으로 중량 k를 고정한다.SL₂(Z)의 부분군 γ(또는 k가 반 통합형인 경우 메타폴틱 그룹의 부분군 γ)과 ρ의 문자 ρ을 고정한다.이 문자와 이 그룹 γ에 대한 모듈형 형태는 γ의 요소 아래 다음과 같이 변형된다.

${\displaystyle f\left({\frac {a\b}{c\tau +d}\right)=\rho {\pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}(c\tau +d)^{k}f(\tau )}$

중량 k의 약한 Maass 형태는 중량 k의 모듈형 형태처럼 변형되는 상반면에서의 연속함수로 중량 k 라플라시안 연산자의 고유함수로, 그 고유값이 (1 - k/2)k/2이면 조화함수라고 한다.^[10]이것은 홀로모르픽 웨이트 k 모듈형 형태의 고유값이므로, 이것들은 모두 조화 약한 마스형식의 예들이다. (마스형식은 쿠스형에서 빠르게 감소하는 약한 마스형이다.)그래서 조화 약한 마스 형태는 미분 연산자에 의해 소멸된다.

${\displaystyle {\frac {\present }{\present \tau }}{\frac {\present }{\preason {\overline {\tau}}}}}}}$

만약 F가 어떤 조화로운 약한 Maass 형태라면, 함수 g는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle g=y^{k}{\frac {\partial {\overline{F}}{\partial \tau}}=\sum _{n}b_{n}q^{n}}}}}{n}}}}}}}$

비록 cusps에서는 holomorphic이 아닐지라도, holomorphic이고 무게 k의 모듈형 형태처럼 변형된다.만약 우리가 동일한 이미지 g를 가진 다른^* 함수 g를 찾을 수 있다면, F - g는^* 홀로모르픽이 될 것이다.그러한 기능은 통합에 의해 차동 연산자를 뒤집음으로써 주어진다. 예를 들어, 우리는 정의 할 수 있다.

${\displaystyle g^{*}(\tau )=\left({\frac {i}{2}}\right)^{k-1}\int _{-{\overline {\tau }}}^{i\infty }(z+\tau )^{-k}{\overline {g(-{\overline {z}})}}\,dz=\sum _{n}n^{k-1}{\overline {b_{n}}}\beta _{k}(4ny)q^{-n+1}}$

어디에

${\displaystyle \do_{k}(t)=\int_{t}^{\\int_{t}^{-k}e^{-\pi u}\,du}$

본질적으로 불완전한 감마함수다.g가 cuspus i∞에서 0을 가질 때마다 적분은 수렴되며, 불완전한 감마함수는 분석적 연속성에 의해 확장될 수 있으므로, g가 i∞에서 meromorphic인 경우에도 F의 홀로모르픽 부분 g를 정의하는 데^* 이 공식을 사용할 수 있지만, 이는 k가 1인지 n = 0인지 어느 정도 주의가 필요하다.미분 연산자의 역은 우리가 그 이미지에 영향을 주지 않고 g에^* 어떤 동형성 함수를 더할 수 있기 때문에 고유하지 않으며, 그 결과 함수 g는^* 그룹 Ⅱ에서 불변할 필요가 없다.함수 h = F - g는^* F의 홀로모르픽 부분이라고 불린다.

모의 모듈형 형식은 일부 고조파 약한 Maass 형식 F의 홀모형 부분 h로 정의된다.그래서 모의 모듈형 형태 h의 공간에서부터 조화 약한 마스 형태의 하위 공간까지 이형성이 있다.

mock modular form h는 holomorphic이지만 상당히 모듈적인 반면, h + g는^* modular이지만 상당히 holomphic은 아니다.중량 k의 모의 모듈형 형태의 공간은 하위 공간으로서 중량 k의 거의 모듈형 형태("cusps에서 공상형일 수 있는 모듈형 형태")의 공간을 포함한다.이 지수는 2 - k의 홀로모르픽 모듈형 형태의 공간에 이형이다.모의 모듈형 형태 h에 해당하는 무게(2 - k) 모듈형 형태 g를 그것의 그림자라 한다.다른 모의 세타 기능이 같은 그림자를 갖는 것은 꽤 흔한 일이다.예를 들어, 라마누잔이 발견한 순서 5의 10 모의 세타 함수는 각 그룹의 모든 함수가 같은 그림자를 갖는 5의 두 그룹으로 나뉜다(상수에 의한 곱셈까지).

Don Zagier는^[11] 모의 세타 함수를 합리적인 q = e^2πi𝜏 곱하기 무게의 1/2의 모의 모듈형 형태로 정의하는데, 그 그림자는 형태의 세타 계열이다.

${\displaystyle \sum _{n\in Z}\varepsilon (n)nq^{\appa n^{2}}}$

양성 이성 κ과 홀수 주기 함수 ε에 대하여. (이러한 세타 시리즈는 3/2의 모듈형이다.)q의 합리적 힘은 역사적 사고다.

대부분의 모의 모듈형 형태와 약한 마스 형태는 쿠스프에서 빠른 성장을 한다.cusps에서 가장 기하급수적으로 빠르게 성장한다는 조건을 부과하는 것이 일반적이다(mock modular forms는 cusps에서 "형질성"을 의미한다).cusps에서 어떤 고정된 지수 함수에 의해 성장이 제한되는 (주어진 무게와 그룹의) 모의 모듈형 형태의 공간은 유한한 차원이다.

호칭-러치 합계

Lambert 시리즈의 일반화인 Hones-Lerch 합계는 Paul Emile Nonges와^[12] Mathias Lerch에 의해 처음 연구되었다.^[13]왓슨은 순서 3 모의 세타 함수를 호칭-러치 합계로 표현함으로써 연구했고, 즈위거스는 모의 세타 함수가 본질적으로 모의 모듈형이라는 것을 보여주기 위해 그것을 사용했다.

호칭-러치 시리즈는

${\displaystyle \mu(u,v;\tau )={\frac {a^{\frac{1}{1}2}}:{\theta (v;\tau )}}}\sum _{n\n\in Z}{\frac {(-b)^{{1}{1}{1-aq^{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{1-aq^{1-aq^{1-aq^{{$

어디에

${\displaystyle \displaystyle q=e^{2\pi i\tau},\display a=e^{2\pi iu},\display b=e^{2\pi iv}}}$

그리고

${\displaystyle \teta(v,\tau )=\sum _{n\in Z}-1}^{n^{n+{\frac{1}2}}:q^{\1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}}}{{1}}}}}}.}$

수정 시리즈

${\displaystyle {\hat{\mu}}(u,v;\tau )=\mu(u,v;\tau )-{\frac {1}{2}}R(u-v;\tau )}$

어디에

${\displaystyle R(z;\tau )=\sum _{\nu \in Z+{\frac {1}{2}}}(-1)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\left({\rm {sign}}(\nu )-E\left[\left(\nu +{\frac {\Im (z)}{y}}\right){\sqrt {2y}}\right]\right)e^{-2\pi i\nu z}q^{-{\frac {1}{2}}\nu ^{2}}}$

및 y = Im(imm) 및

${\displaystyle E(z)=2\int _{0}^{z}e^{-\pi u^{2}}\,du}$

다음과 같은 변환 속성을 만족시키다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\hat{\mu}}(u+1,v, \tau)&, =a^{)}bq^{-{\frac{1}{2}}}{\hat{\mu}}(u+\tau ,v, \tau)\\&,{}=-{\hat{\mu}}(u,v, \tau)\\e^{{{2\frac}{8}}\pi 나는}{\hat{\mu}}(u,v, \tau +1)&, ={\hat{\mu}}(u,v, \tau)\\&,{}({\frac{\tau}{나는}}\right)^{-{\frac{1}{2}}}e^{{\frac{\pi 나는}{\tau}}(u-v)^{2}}{\hat{\mu}}\left({.{u}{\tau}\frac}},{\frac {v}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }\오른쪽).\end{정렬}}}$

즉, 수정된 호칭-러치 시리즈는 𝜏에 관해서 모듈형 형태처럼 변모한다.모의 세타 함수는 호칭-러치 시리즈의 관점에서 표현될 수 있기 때문에, 모의 세타 함수는 특정한 비분석적 시리즈가 추가된 경우 모듈형처럼 변모한다는 것을 의미한다.

무기한 세타 시리즈

조지 앤드류스는^[14] 라마누잔의 다섯 번째 순서 모의함수 중 몇 개가 θ(𝜏)/θ(𝜏)의 인용구 θ(𝜏)/θ(𝜏)과 동일하다는 것을 보여주었는데 여기서 ((𝜏)은 무게 1/2의 모듈형이고 θ(𝜏)은 무한 이항 2차 형태의 세타 함수인 is( dean)이며, 딘 히커슨도^[15] 일곱 번째 순서 모의함수에서 유사한 결과를 입증했다.Zweger는 실제 분석 모듈 형태를 만들기 위해 무기한 세타 함수를 완성하는 방법을 보여주었고, 이를 사용해 모의 세타 함수와 약한 마스 파형 사이의 관계에 대한 또 다른 증거를 제공했다.

메로모르프 자코비 양식

조지 앤드류스는^[16] 라마누잔이 세타 함수를 조롱하는 다섯 번째 순서 중 일부는 자코비의 세타 함수의 인용구 단위로 표현될 수 있다고 관찰했다.Zweger는 이 아이디어를 사용하여 meromorphic Jacobi 형식의 푸리에 계수로서 모의 세타 함수를 표현했다.

적용들

• Ruth Lawrence와 Don Zagier는 3-manifolds의 양자 불변성에 대한 세타 함수를 조롱했다.^[17]
• A. M. 세미카토프, A.타오르미나, 그리고 나.Yu Tipunin은 무한차원 Lie superalgebras와 2차원 등정장 이론에 대한 세타 함수를 조롱했다.^[18]
• J. Troost는 모의 모듈형 형태의 모듈형 보완이 연속 스펙트럼을 갖는 등정장 이론의 타원형 생성으로 발생한다는 것을 보여주었다.^[19]
• 모의 세타 함수는 탯줄 밀주 이론에 나타난다.
• 아티쉬 다볼카르, 사메르 머시, 돈 자기에 등은 모의 모듈형 형태가 N=4 현악 이론에서 양자 블랙홀의 퇴화와 관련이 있다는 것을 보여주었다.^[20]

예

• 무게 k의 모듈형 형태(아마도 큐스에서의 공상동형만)는 섀도 0이 있는 무게 k의 모의 모듈형 형태다.
• 퀘이모듈라 아이젠슈타인 시리즈

${\displaystyle \displaystyle E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n>0}\sigma _{1}(n)q^{n}}}}}}$

무게 2와 수준 1은 무게 2의 모의 모듈형이며, 섀도우 상수가 있다.라는 뜻이다.

${\displaystyle \displaystyle E_{2}(\tau )-{\frac {3}{\pi y}}}$

무게 2의 모듈형 형태처럼 변환한다(여기서 + = x + iy).

• 상상의 이차장 허위츠 등급 번호 H(N)인 푸리에 계수를 가진 돈 자기에가^[21][22] 연구한 함수는 무게 3/2, 레벨 4, 그림자 shadow q의 ⁿ² 모의 모듈형 형식이다.그에 상응하는 약한 마스 파형은

${\displaystyle F(\tau )=\sum _{N}H(N)q^{n}+y^{1/2}\sum _{n\in Z}\beta (4\pi n^{2}y)q^{-n^{n^{2}}:}$

어디에

${\displaystyle \cHB(x)={\frac {1}{16\pi }}\int _{1}^{1}{\inflt }u^{-3/2}e^{-inflt}du}$

및 y = 임((), q^2πi𝜏 = e.

모의 세타 함수는 무게 1/2의 모의 모듈형 형태로서, 그림자는 단성 세타 함수로, q의 합리적인 힘을 곱한 것이다(역사적 이유로).즈웨거스의 작업이 그들을 구성하는 일반적인 방법으로 이어지기 전에는 대부분의 예가 기본적인 초지압 함수로 주어졌으나 이것은 대체로 역사적 사고로서, 모의 세타 함수는 그러한 함수의 측면에서 알려진 단순한 표현이 없다.

세레와 스타크가 분류한 무게 1/2의 (홀로모픽) 모듈형 형태의 세라 함수는 모두 1차원 래티스의 세라 함수에 의해 쓰여질 수 있다는 것을 보여준 것이다.^[23]

다음 예에서는 다음과 같이 정의된 q-포하머 기호(a;q)_n를 사용한다.

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{0\leq j<n}(1-aq^{j})=(1-a)(1-aq)\cdots(1-aq^{n-1}).}$

주문2길

몇몇 순서 2 모의 세타 함수는 McIntosh에 의해 연구되었다.^[24]

${\displaystyle A(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2$$}}}}=\sum _{n\geq$ 0$}{\frac$ {$q^{n+1}(-q^{2};q^{2})_{n}{n}{{n+1$}:{n}}}}{{n+1$}}}}}($OEIS에서 순차 A006304)

${\displaystyle B(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2$$}}}}=\sum _{n\geq$ 0$}{\frac {q^{n}(-q;q^{2})_{n}{{$n}{{$n+1}:{$n2}}($$OEIS에서 $순차$ A153140)

${\displaystyle \mu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}^{2}}}}$ (sequence A006306 in the OEIS)

함수 μ는 라마누잔이 잃어버린 수첩에서 찾아냈다.

이는 다음에 의해 주문-8 기능에 관한 절에 열거된 기능과 관련이 있다.

${\displaystyle U_{0}(q)-2U_{1}(q)=\mu(q)}$

${\displaystyle V_{0}(q)-V_{0}(-q)=4qB(q^{2})}$

${\displaystyle V_{1}(q)+V_{1}(-q)=2A(q^{2})}$

주문3길

라마누잔은 하디에게 보낸 편지에서 네 가지 순서-3 모의 세타 함수를 언급했고, G. N. 왓슨이 재발견한 잃어버린 수첩에 추가로 세 가지를 열거했다.^[5]후자는 라마누잔이 진술한 그들 사이의 관계를 증명했고 또한 그것들을 호칭-러치 합으로 표현함으로써 모듈 그룹의 요소들 아래에서 그들의 변형을 발견했다.Dragonette는^[8] 그들의 계수의 점증적 팽창에 대해 설명했다.즈위거스는^[1] 그들을 조화로운 약한 마스 형태와 연관시켰다.Nathan Fine의 모노그래프도 참조하십시오.^[25]

라마누잔이 준 일곱 가지 오더-3 모의 세타 함수는

F(q))∑ n0q n2(− q, q)n2=2∏ n>0(1− qn)∑ n∈ Z(− 1)nqn(3n+1)/21+qn{\displaystyle f(q)=\sum_{0n\geq}{\frac{q^{{2n^}}}{(-q, q)_{n}^{2}}}=ᆶᆷ(1-q^{n})}}\sum _{n\in \mathbf{Z}}{\frac{())^{n}q^{n(3n+1)/2}}{1+q^{≥.n}$}}},$(OEIS의 시퀀스 A000025).

ϕ(q))∑ nx1∏ n>0(1− qn)∑ n∈ Z(− 1)n(1+qn)q n(3n+1)/21+q2n{\displaystyle \phi(q)=\sum_{0n\geq}{\frac{q^{{2n^}}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}=ᆴᆵ(1-q^{n})}}\sum}_{n\in \mathbf{Z}{\0q n2(− q2;q2)n≥.fr$ac{(-1)^{n}(1+q^{n})q^{n(3n+1)/2}}{1+q^{2n}}}}($OEIS에서 순서 A053250).

ψ(q))∑ n>0q n2(q, q2)nxq∏ n>0(1− q4n)∑ n∈ Znq6n(n+1)1− q4n+1{\displaystyle \psi(q)=\sum_{n>0}{\frac{q^{{2n^}}}{(q. q^{2})_{n}}}=ᆵᆶ(1-q^{4n})}}\sum _{n\in \mathbf{Z}}{\frac{())^{n}q^{6n(n+1)}}(− 1).{1-q^{4n$+1}:{$1}(OEIS의 시퀀스 A053251).

${\displaystyle \chi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{\prod _{1\leq i\leq n}(1-q^{i}+q^{2i})$$}}={\frac {1}{2\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}(1+q^{n})q^{n(3n+1)/2}}{1-q^{n}+q^{2n}}}}$ (sequence A053252 in the OEIS).

${\displaystyle \omega (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n(n+1)}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2$$}}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{2n})}}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)}{\frac {1+q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}}}$ (sequence A053253 in the OEIS).

ν(q))∑ n(− q, q2)n(n+1)+;0(1− qn)∑ n≥ 0(− 1)nq3n(n+1)/2n2대 1− q+11+q2n+1{\displaystyle \nu(q)=\sum_{0n\geq}{\frac{q^{n(n+1)}}{(-q, q^{2})_{n+1}}}=ᆶᆷ(1-q^{n})}}\sum _{n\geq 0}{())^ 0q n1=1∏ n을 ≥.{n$}q^{3n(n+1)/2}{\frac$ {$1-q^{2n+1}:{1+q^{2n+1}}}}($OEIS에서 순서 A053254).

ρ(q))∑ ni=1∏ n을 n(1+q2i및 1+q4나는 2+)≤;0(1− q2n)∑ n≥ 0(− 1)nq3n(n+1)1− q4n+21+q2n+1+q4n+2{\displaystyle \rho(q)=\sum_{0n\geq}{\frac{q^{2n(n+1)}}{\prod_{0\leqi\leq n}(1+q^{2i+1}+ 0q2n(n+1)∏ 0≤ ≥.$q^{4i+2}}}$$}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{2n})}}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)}{\frac {1-q^{4n+2}}{1+q^{2n+1}+q^{4n+2}}}}}$ (sequence A053255 in the OEIS).

이 중 처음 네 개는 같은 그림자를 가진 그룹을 형성하고(상수까지), 마지막 세 개도 마찬가지다.보다 정확히 말하면, 기능은 다음과 같은 관계를 만족시킨다(라마누잔이 발견하여 왓슨에 의해 증명).

${\displaystyle{\begin{정렬}2\phi(-q)-f(q)&, =f(q)+4\psi(-q)=\theta _ᆶ(0,q)\prod _ᆷ\left(1+q^{r}\right)^{)}\\4\chi(q)-f(q)&,=3\theta _ᆹ^ᆺ(0,q^{3})\prod _ᆻ\left(1-q^{r}\right)^{)}\\2\rho(q)+\omega(q)&, =3\left({\frac{1}{2}}q^{-{\frac{3}{8}}}\theta_{2}(0,q^{\frac{3}{2}})\right)^{2}\prod _{r>0}\left(1-q^{2r}.\right)^{)}\\\nu(\pMq)\pm q\omega \left(q^{2}\right)&, ={\frac{1}{2}}q^{-{\frac{1}{4}}}\theta _ᆸ(0,q)\prod _ᆹ\left(1+q^{2r}\right)\\f\left(q^{8}\right)\pm 2q\omega(\pm q)\pm 2q^{3}\omega \left(-q^{4}\right)&,=\theta _ᆻ(0,\pm q)\theta _ᆼ^ᆽ\left(0,q^{2}\right)\prod _ᆾ\left(1-q^{4r}\right)^ᆿ\\f(q^{8})+q\omega(q)-q\omega(-q)&, =\thet.한 _ᆩ(0,q^{4})\theta _{3}^{2}(0,q^{2})\prod _{r>0}\좌측(1-q^{4r}\우측)^{-2}\end{aigned}}}}}$

순서 5

라마누잔은 1920년 하디에게 보낸 편지에서 순서 5의 세타 함수 10개를 조롱하여 적고, 왓슨에 의해 증명된 그들 사이의 관계를 진술했다.^[26]그는 잃어버린 수첩에서 히커슨에 의해 ^[27]증명된 모의 세타 추측에 해당하는 이들 기능과 관련된 몇 가지 추가 신원을 밝혔다.^[28]Andrews는^[14] 이러한 기능들 중 많은 부분을 모듈형 무게 1/2에 의한 무기한 세타 시리즈의 몫으로 찾았다.

${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}q}$) = ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{n0}}$ 0 ${\displaystyle \frac{{q{}^{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{{n\mathrm{}}^{}}^{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{{}^{}}^{}}{}}$(${\displaystyle \frac{}{}}$-${\displaystyle \frac{q}{}}$ ;${\displaystyle \frac{{}_{}q}{}}$ ) ${\displaystyle \frac{n_{}}{}}$ ${\$ _${n\geq$ 0$}{n^{n$^}{{{$n^}}}{{(-q;q)}}}}}}}}}}}}}}}($OEIS의 순서 A053256)

${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle q}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sum _{}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ q ${\displaystyle \underset{}{0}}$ ${\displaystyle \underset{}{}\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{n{}^{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2_{}}{{{}^{}}^{}}}$+ ${\displaystyle \frac{n^{}}{}}$(${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{q}{}}$ ${\displaystyle \frac{;}{}}$ ${\displaystyle \frac{q{}_{}}{}}$) n ${\$;q)$_{n}}}}}}}}}}}}}}($OEIS의 순서 A053257

${\displaystyle {\varphi }_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}q}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ ${\displaystyle \underset{}{\ge }}$ ${\displaystyle \underset{}{0}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}^{}}$ ${\displaystyle {{n\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {2{}^{}}^{}}$ ( -${\displaystyle q}$ ;${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$ 2 )${\displaystyle {}^{}{}_n}$ ${\$})$_{n}}}}}}($OIS의 순서 A053258)

${\displaystyle {\varphi }_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle q}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ ${\displaystyle \underset{}{\ge }}$ ${\displaystyle \underset{}{0}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}^{}}$(${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$+ 1${\displaystyle {{}^{}}^{}}$) 2${\displaystyle {{}^{}}^{}}$( -${\displaystyle q}$ ; ${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}{}_{}}$) ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 0}{$q^{n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}}}}($OEIS의 후속 A053259

${\displaystyle \psi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)(n+2)/2}(-q;q)_{n}}}$ (sequence A053260 in the OEIS)

${\displaystyle {\psi }_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle q}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sum _{}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ q ${\displaystyle \underset{}{0}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$(${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$1 )${\displaystyle {}^{}}$/${\displaystyle {}^{}}$2 ( -${\displaystyle q}$ ; ${\displaystyle q{}_{}}$) ${\displaystyle n_{}}$ ${\${n$}}}}}}}}($OEIS의 순서 A053261

${\displaystyle \chi _{0}(q)=\sum \geq$$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$F_{0}(q)-\phi _{0}(-q)}($OEIS의 시퀀스 A053262)$$

${\displaystyle \chi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q^{n+1};q)_{n+1}}}=2F_{1}(q)+q^{-1}\phi _{1}(-q)}$ (sequence A053263 in the OEIS)

${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{n}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\ge }}$ 0 ${\displaystyle \frac{{{}^{}}^{}}{}}$ 2 n${\displaystyle \frac{{{}^{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{(q}{}}$ ; ${\displaystyle \frac{{q\mathrm{}}^{}{}_{}}{}}$2 ) ${\displaystyle \frac{n_{}}{}}${\$displaystyle F_{0}(q)=\sum _{n\geq$ 0$}{{n^{2$}}}{{{{{$n^}}}}}}}}}}{{$n$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle F_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}+2n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$ (sequence A053265 in the OEIS)

${\displaystyle \Psi _{0}(q)=-1+\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{5n^{2}}}{(1-q)(1-q^{4})(1-q^{6})(1-q^{9})...(1-q^{5n-1})(1-q^{5n+1})}}}$ (sequence A053266 in the OEIS)

${\displaystyle \Psi _{1}(q)=-1+\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{5n^{2}}}{(1-q^{2})(1-q^{3})(1-q^{7})(1-q^{8})...(1-q^{5n-2})(1-q^{5n+2})}}}$ (sequence A053267 in the OEIS)

순서 6

라마누잔은^[4] 잃어버린 수첩에 순서 6의 7가지 모의 세타 함수를 적었고, 그들 사이에 11가지 정체성을 진술했는데, 이는 앤드류스와 히커슨에 의해 증명되었다.^[29]라마누잔의 정체성 중 2개는 다양한 논쟁에서 ψ과 ψ을 연관시키고, 그 중 4개는 호칭-러치 시리즈로 and과 ψ을 표현하며, 마지막 5개의 정체성은 and과 ψ의 관점에서 나머지 5개의 6차 모의 세타 함수를 표현한다.Berndt와 Chan은^[30] 두 개의 6차 함수를 더 발견했다.

순서 6 모의 세타 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{2n}}}}$ (sequence A053268 in the OEIS)

${\displaystyle \psi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{(n+1)^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{2n+1}}}}$ (sequence A053269 in the OEIS)

${\displaystyle \rho (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)/2}(-q;q)_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$ (sequence A053270 in the OEIS)

${\displaystyle \sigma (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)/2}(-q;q)_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$ (sequence A053271 in the OEIS)

${\displaystyle \lambda (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{n}}}}$ (sequence A053272 in the OEIS)

${\displaystyle 2\mu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n+1}(1+q^{n})(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{n+1}}}}$ (sequence A053273 in the OEIS)

${\displaystyle \gamma (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(q;q)_{n}}{(q^{3};q^{3})_{n}}}}$ (sequence A053274 in the OEIS)

${\displaystyle \phi _{-}(q)=\sum _{n\geq 1}{\frac {q^{n}(-q;q)_{2n-1}}{(q;q^{2})_{n}}}}$ (sequence A153251 in the OEIS)

${\displaystyle \psi _{-}(q)=\sum _{n\geq 1}{\frac {q^{n}(-q;q)_{2n-2}}{(q;q^{2})_{n}}}}$ (sequence A153252 in the OEIS)

주문7길

라마누잔은 1920년 하디에게 보낸 편지에서 세 번의 모의 7번 명령의 세타 함수를 주었다.그들은 셀버그에 의해 연구되었고,^[31] 셀버그는 그들의 계수에 대한 점근증설을 발견했고, 앤드류스는 이를 연구했다.^[14]히커슨은^[15] 이러한 기능들 중 많은 부분을 모듈형 무게 1/2에 의한 비한정 세타 시리즈의 인용구로 발견했다.Zweger는^[1][2] 그들의 모듈형 변환 특성을 설명했다.

• ${\displaystyle {\displaystyle F_{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle {0\mathrm{}}_{}q}}$ )${\displaystyle {\displaystyle }}$= ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{n}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{\ge }}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{0}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{}\frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{{n\mathrm{}}^{}}^{}}{}}}$ 2${\displaystyle {\displaystyle \frac{{{}^{}}^{}}{}}}$(${\displaystyle {\displaystyle \frac{{\mathrm{qn}}^{}}{}}}$+ 1${\displaystyle {\displaystyle \frac{{}^{}}{}}}$; ${\displaystyle {\displaystyle \frac{q_{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{}_{}}{}}}$ n ${\$ 0$}{n^{n^{2}}}{{(q^{n+1};q){$n$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{$n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
• ${\displaystyle {\displaystyle F_{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}}$ (${\displaystyle {\displaystyle q}}$ )${\displaystyle {\displaystyle }}$= ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{n}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{\ge }}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{0}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{}\frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{n{}^{}}^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{{2\mathrm{}}^{}}^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{{}^{}}^{}}{q^{}}}}$ ;${\displaystyle {\displaystyle \frac{{}^{}q}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{}_{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{n_{}}{}}}$ ${\$};q$)_{$n$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle F_{2}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}}{(q^{n+1};q)_{n+1}}}}$ (sequence A053277 in the OEIS)

이 세 개의 모의 세타 함수는 그림자가 달라 라마누잔의 순서-3와 순서-5 함수의 경우와 달리 이들 함수와 일반적인 모듈형 간에는 선형 관계가 없다.그에 상응하는 약한 마스 형태는

${\displaystyle {\reasoned}M_{1}(\tau )&=q^{-1/168}F_{1}(q)+R_{7,1}(\tau )\\[4pt]M_{2}(\tau )&=-q^{-25/168}F_{2}(q)+R_{7,2}(\tau )\\[4pt]M_{3}(\tau )&=q^{47/168}F_{3}(q)+R_{7,3}(\tau )\end{aigned}}}}}$

어디에

${\displaystyle R_{p,j}(\tau )=\!\\\\sum _{n\equiv j{\bmod{p}}{12}}\binom {sgn}(n)\sgnname {sgn}\n^\frac{n^{6p}}\right)q^{-n^{n^{2}/24p}}$

그리고

${\displaystyle \cHB=\int _{x}^{\infit u^{-1/2}e^{-\pi u}\,du}$

다소 보완적인 오류 기능이다.메타폴로지 그룹 아래에서 이 세 가지 기능은 다음과 같이 메타폴로지 그룹의 일정한 3차원 표현에 따라 변한다.

${\displaystyle {\reasoned}M_{j}\왼쪽(-{\frac {1}{\tau }}}\오른쪽)&={\sqrt {\frac {\tau }{7i}}\,\sum _{k=1}^{3}2\sin \left\frac\pi jk}{7}\오른쪽)M_{k}(\tau )\\[6pt]M_{1}(\tau +1)&=e^{-2\pi i/168}M_{1}(\tau ),\[6pt]M_{2}(\tau +1)&=e^{-2\time 25\pi i/168}M_{2}(\tau ),\[6pt]M_{3}(\tau +1)&=e^{-2\time 121\pi i/168}M_{3}(\tau).\end{정렬}}}$

즉 무게 1/2의 수준 1 벡터 값 고조파 약 마아스 형태의 성분이다.

주문 8

Gordon과 McIntosh는^[32] 순서 8의 세타 함수를 8개 조롱하는 것을 발견했다.그들은 그들과 관련된 다섯 개의 선형 관계를 발견했고, 4개의 함수를 호칭-러치 합계로 표현했고, 모듈 그룹 하에서 그들의 변형을 설명했다.V와₁ U의₀ 두 기능은 일찍이 라마누잔이^[33] 잃어버린 수첩에서 찾아낸 것이다.

${\displaystyle S_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}}$ (sequence A153148 in the OEIS)

${\displaystyle S_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+2)}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}}$ (sequence A153149 in the OEIS)

${\displaystyle T_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(-q;q^{2})_{n+1}}}}$ (sequence A153155 in the OEIS)

${\displaystyle T_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(-q;q^{2})_{n+1}}}}$ (sequence A153156 in the OEIS)

${\displaystyle U_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{4};q^{4})_{n}}}}$ (sequence A153172 in the OEIS)

${\displaystyle U_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{4})_{n+1}}}}$ (sequence A153174 in the OEIS)

${\displaystyle V_{0}(q)=-1+2\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n}}}=-1+2\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}}(-q^{2}$$;q^{4}}_{n}}{{n}}{{2n+1$}:{$n2}}($OEIS의 순서 A153176)

${\displaystyle V_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}+2n+$$1}(-q^{4};q^{4})_{n}}{{n}}_{2n+2}}($OEIS에서 순차 A153178)

주문 10

라마누잔은^[34] 잃어버린 수첩에 오더-10 모의 세타 기능 4개를 나열하고, 그들 사이의 관계를 일부 진술했는데, 최 교수에 의해 증명되었다.^{[35][36][37][38]}

• ${\displaystyle \varphi }$(${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ n ${\displaystyle \underset{}{\ge }}$ ${\displaystyle \underset{}{0}}$ ${\displaystyle \frac{q^{}}{}}$ n${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$(${\displaystyle \frac{{\mathrm{n}}^{}}{}}$+${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$1${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$) / ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{q}}$ ${\displaystyle \frac{;}{}}$ ${\displaystyle \frac{{q\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{n}}_{}}{}}$ + 1$displaystyle \phi (q)=\sum$_{$n\geq$ 0$}{n$+1){\$prac{q^{n+1)/2}}{{(q;q;q^{$2}}{$n+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{$n+1}:{n+1}:{n+1}}}}
• ${\displaystyle \psi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)/2}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$ (sequence A053282 in the OEIS)
• ${\displaystyle \mathrm {X} (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}}{(-q;q)_{2n}}}}$ (sequence A053283 in the OEIS)
• ${\displaystyle \chi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{(n+1)^{2}}}{(-q;q)_{2n+1}}}}$ (sequence A053284 in the OEIS)

메모들

참조

추가 읽기

외부 링크

• 국제 회의:2009년 세타 기능 및 응용 프로그램 시뮬레이션
• 조지 앤드류스의 세타 기능 모의에 관한 논문
• Kathrin Bringmann의 모의 세타 기능에 관한 논문
• 오노 켄의 세타 기능 모의에 관한 논문
• Sander Zwegers의 세타 기능 모의에 관한 논문
• Weisstein, Eric W. "Mock Theta Function". MathWorld.