리우빌의 정리(복잡한 분석)

복잡한 분석에서, 조셉 리우빌의 이름을 딴 리우빌의 정리는 (1844년^[1] 이 정리가 처음에 코치에 의해 증명되었지만), 모든 경계된 전체 기능은 일정해야 한다고 명시하고 있다.$즉{\displaystyle \mathbb{}}$, C ${\$의 $모든{\displaystyle }$ z ${\displaystyle z}$에 ${\displaystyle 대해}$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle$ f$(z) \leq M}$과 같은 $양$의 숫자 M ${\displaystystyle M}$이 있는$$ 모든 홀오모르픽 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystystystystystythb$ {C}은 일정하다$$.마찬가지로, $C{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {C}$의 비정규적인 홀로모픽 함수는 무한 이미지를 가지고$$ 있다.null

두 개 이상의 복잡한 숫자를 생략하는 모든 기능이 일정해야 한다는 피카르의 작은 정리에 의해 정리가 상당히 개선된다.null

증명

그 정리는 홀로모르프 함수가 분석적이라는 사실에서 따온 것이다.f가 전체 함수일 경우, 약 0:00의 Taylor 시리즈로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\\infit }a_{k}z^{k}}}}}}$

(Cauchy의 필수 공식에 의해)

${\displaystyle a_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}}}={1}={1 \over 2\pi i}\point _{C_{r}{\frac {f(\zeta )}{\zeta ^{k+1}}\,d\zeta }}}$

그리고 C는_r 반지름 r > 0의 약 0의 원이다. f가 경계: 즉, 모든 z에 대해 f(z) z M과 같은 상수 M이 존재한다고 가정한다.우리는 직접 견적을 낼 수 있다.

${\displaystyle a_{k} \leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac { f(\zeta ) }{ \zeta ^{k+1}}}\, d\zeta \leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}\, d\zeta ={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}\oint _{C_{r}} d\zeta ={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}2\pi r={\frac {M}{r^{k}}},}$

두 번째 불평등에서 우리는 원 C에서_r z = r이라는 사실을 사용했다.그러나 위의 r의 선택은 임의의 양수다.따라서 r을 무한대로(f는 전체 평면에서 분석적이기 때문에 r을 무한대로 돌리게 한다)는 모든 k ≥ 1에 대해_k a = 0을 준다.따라서 f(z) = a이고₀ 이것이 정리를 증명한다.null

코롤러리

대수학의 기본 정리

리우빌의 정리를 바탕으로 한 대수학의 근본적인 정리에 대한 짧은 증거가 있다.^[2]null

전체 함수가 다른 전체 함수를 지배하지 않음

정리의 결과는 "진정적으로 다른" 전체 함수가 서로를 지배할 수 없다는 것이다. 즉, f와 g가 전체일 경우, 그리고 f everywhere g가 도처에 있을 경우, f = α·g가 어떤 복잡한 수 α에 대해 지배할 수 없다.g = 0의 경우 정리가 사소한 ${\displaystyle \mathrm{것}}$이므로 g ${\displaystyle \ne }$ $0{\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle g\neq 0.}$ 함수 h = f/g를 고려하십시오$$.h가 전체 함수로 확장될 수 있다는 것을 증명하기에 충분하며, 이 경우 결과는 리우빌의 정리대로 따른다.h의⁻¹ 홀로모피는 g(0)의 점을 제외하고는 명확하다.그러나 h는 경계선이고 g의 모든 영은 고립되어 있으므로 어떤 특이점이라도 탈착할 수 있어야 한다.따라서 h는 리우빌의 정리에 의해 그것이 일정하다는 것을 암시하는 전체 경계함수로 확장될 수 있다.null

f가 입력에 스칼라 곱하기보다 작거나 같으면 선형이다.

F가 전체이고 F(z)가 M의 경우 양수 실수에 대해 M z보다 작거나 같다고 가정한다.우리는 카우치의 필수 공식을 적용할 수 있다. 우리는 그것을 가지고 있다.

${\displaystyle f'(z) ={\frac {1}{2\pi }}\left \oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}d\zeta \right \leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac { f(\zeta ) }{\left (\zeta -z)^{2}\right }} d\zeta \leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M \zeta }{\left (\zeta -z)^{2}\right }}\left d\zeta \right ={\frac {MI}{2\pi }}}$

여기서 나는 나머지 적분들의 값이다.이것은 f′이 경계되고 전체적이므로, 리우빌의 정리에 의해 일정해야 한다는 것을 보여준다.그때를 통합하는 것은 f가 친숙하다는 것을 보여주고, 그 다음에 원래의 불평등을 다시 언급함으로써 우리는 일정한 조건이 0이라는 것을 알게 된다.null

ℂ에서는 일정하지 않은 타원 함수를 정의할 수 없음

또한 이 정리는 비정규성 타원함수f의 영역이 $C{\displaystyle \mathbb{}.}$ ${\displaystyle \mathb$ {$C}$이(가) 될 수 없다는 추론에도 사용할 수 있다$.$그렇다면 a와 b가 그런 f의 두 기간이라면. a/b가 진짜가 아닌 경우, 정점이 0, a, b 및 + b인 평행도 P를 고려하십시오.그러면 f의 이미지는 f(P)와 같다.f는 연속적이고 P는 콤팩트하기 때문에 f(P)도 콤팩트하고 따라서 경계가 있다.그래서 f는 일정하다.null

일정하지 않은 타원함수 f의 $도메인$이 C$${\$displaystyle \mathb {C}}$이 될 수 없다는 사실은$$ 1847년 Louville이 타원함수 이론을 사용하여 실제로 증명했던 것이다.^[3]사실 리우빌의 정리를 증명해 준 사람은 코우치였다.^[4][5]null

전체 기능에 고밀도 영상이 있음

만약 f가 비정규적인 전체 함수라면, 그 이미지는 $C{\displaystyle \mathbb{}.}$ ${\displaystyle \mathb{C}.}$ 로우빌의 정리보다 훨씬 강한 결과로 보일 수도 있지만, 실제로는$$ 쉬운 골격이다.f의 이미지가 조밀하지 않으면 r반경이 있는 w를 중심으로 한 오픈디스크가 f의 이미지의 요소가 없는 복잡한 숫자 w와 real number r > 0이 있다.정의

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-w}}}$

그러면 g는 경계된 전체 함수인데, 모든 z에 대해,

${\displaystyle g(z) ={\frac {1}{f(z)-w }}<{\frac {1}{r}}.}$

그래서 g는 일정하고, 따라서 f는 일정하다.null

컴팩트 리만 표면에서

콤팩트한 리만 표면의 모든 홀모형 함수는 반드시 일정하다.^[6]null

소형 Riemann 표면 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 $대해{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$)$${\$displaystyle$ f$(z$$)}$을(를) 홀로모르픽으로$$ 한다$.$ 콤팩트하게 ${\displaystyle 보면}$${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$ )${\displaystyle }${\$displaystyle$ $p_{0}\}\m}$이 최대치에$$도달하는 점이$$ 있다.Then we can find a chart from a neighborhood of ${\displaystyle p_{0}}$ to the unit disk ${\displaystyle \mathbb {D} }$ such that ${\displaystyle f(\phi ^{-1}(z))}$ is holomorphic on the unit disk and has a maximum at ${\displaystyle \phi (p_{0})\in \mathbb {D} }$, so it최대 계량 원리에 의해 일정하다.null

언급

Let ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ be the one point compactification of the complex plane ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ In place of holomorphic functions defined on regions in ${\displaystyle \mathbb {C} }$, one can consider regions in ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\i$$nfty \}}$이(가) 이렇게 보면$$, $C{\displaystyle \mathbb{}c\mathbb{}}$ C${\displaystyle }$singular {${\displaystyle \mathrm{}}$} ${\displaystyle \mathb {C} \subset \mathb$ {$C} \c$} \$cupt \}$에 정의된 전체 기능에 대해 가능한 유일한 특이점만이 포인트다.전체 함수 f가 ∞근처에 경계되어 있는 경우, ∞은 f의 탈착 가능한 특이점, 즉 f는 ∞에서 폭발하거나 불규칙하게 행동할 수 없다.파워 시리즈 확장에 비추어 볼 때, 리우빌의 정리가 쥐고 있는 것은 놀라운 일이 아니다.null

마찬가지로, 전체 함수가 ∞에서 n 순서의 극(즉, ∞의 일부 근방에서 z와ⁿ 비교적으로 큰 크기)을 갖는다면 f는 다항식이다.이 확장된 버전의 Louville 정리는 더 정확하게 진술될 수 있다: 만약 f(z) ≤ M z가ⁿ z에 대해 충분히 크다면, f는 기껏해야 n의 다항식이다.이것은 다음과 같이 증명할 수 있다.다시 테일러 시리즈 f의 표현을 빌리자면

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\\infit }a_{k}z^{k}.}$

Cauchy 추정치를 사용하여 증명하는 동안 사용된 인수는 모든 k≥ 0에 대해,

$\\displaystyle a_{k} \leq Mr^{n-k}.}$

그래서 k > n이면,

${\displaystyle a_{k} \leq \lim _{r\to \infit }Mr^{n-k}=0.}$

따라서_k a = 0.

리우빌의 정리는 이중 숫자와 이중 숫자로 알려진 복잡한 숫자의 일반화로 확장되지 않는다.^[7]null

참고 항목

• 미타그-레플러의 정리

참조

외부 링크

• "Liouville's theorem". PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. "Liouville's Boundedness Theorem". MathWorld.