시겔 모듈형

수학에서 시겔 모듈형 형태는 자동형 형태의 주요 유형이다.이들은 타원곡선과 밀접한 관련이 있는 기존의 타원형 모듈형 형태를 일반화한다.시겔 모듈형 이론에서 구축된 복합다지관은 시겔 모듈형 품종으로, 아벨리아 품종의 모듈리 공간(일부 엑스트라 레벨 구조)이 어떤 것이어야 하는가에 대한 기본 모델이며, 이산 그룹에 의한 상부 반평면이 아닌 시겔 상부 반공간의 인수로 구성된다.

시겔 모듈형 형태는 대칭 n × n 행렬의 집합에 있는 홀모형 함수로서, 양적인 확실한 상상적 부분을 가지고 있다. 그 형태는 오토모피 조건을 만족시켜야 한다.시겔 모듈형 형식은 다변량 모듈형, 즉 몇 가지 복잡한 변수의 특수함수로 생각할 수 있다.

시겔 모듈형 형식은 이차적 형식을 분석적으로 연구하기 위한 목적으로 칼 루드비히 시겔(1939년)에 의해 처음 조사되었다.이것들은 주로 산술 기하학이나 타원 코호몰로지 같은 수 이론의 다양한 분야에서 발생한다.시겔 모듈형 형태는 또한 끈 이론의 등정장 이론과 블랙홀 열역학 같은 물리학의 일부 분야에서도 사용되었다.

정의

예선

$g{\displaystyle }$, ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$}을(를) 두고 정의하십시오$$.

${\displaystyle {\mathcal{H}_{g}=\왼쪽\\\\\tau \in M_{g\time g}(\mathb {C} )\\\\\big }\\\tau ^{\mathrmatrm {T}}}=}}}}{\textrumential}}}}}}}}}}}}}}\text{positectorposittext{확정확정확정확정확정확정확성{{{{{{{$

시겔 상부 하프 스페이스$\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$( ${\displaystyle N}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \Gamma _{g}(N)$로 표시된$$수준 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 동시 선택적 그룹을 다음과$$ 같이 정의하십시오.

${\displaystyle \Gamma \{g}=\left\{\g}(\mathb {Z})\\\big }\\gamma ^{\begin{pmatrix}0&#########{\begin{pmatrix}&#############################################I_{g}\\-I_{g}&#0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0>I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix},\\\gamma \equiv I_{2g}\mod N\rig\}}}$

여기서 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$는 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g\times$ g$}$ ID 매트릭스다.마지막으로

${\displaystyle \rho :{\textrm {GL}_{g}(\mathb {C})\오른쪽 화살표 {\textrm {GL}(V)}$

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은(는) 유한 차원 복합 벡터 공간이다.

시겔 모듈형

주어진

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}$

그리고

${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{g}(N),}$

표기법을 정의하다

${\displaystyle (f{\big }\gamma )(\tau )=(\rho(C\tau +D)^{-1}f(\gamma \tau).}$

그러면 홀로모픽 함수

${\displaystyle f:{\mathcal {H}_{g}\오른쪽 화살표 V}$

도$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}($속칭), $중량{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \rho$ $수준{\displaystyle }$ N$${\$displaystyle$N}의 Siegel 모듈형 형식이다.

${\displaystyle(f{\big }\big }\big )=f}$

$모든{\displaystyle }$ $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$(${\displaystyle N}$ ) ${\displaystyle \gamma$ \$in \Gamma$_{$g}(N$ g${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g=1}$의 경우$,$ $f{\displaystyle }$ ${\displaysty f}$은 '무한한 곳에서'일$$ 것을 추가로 요구한다.아래에서 설명하는 퀘허 원리로 인해 > ${\displaystyle g>1}$에 대해서는 이 가정이 필요하지 않다.중량 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho$ 도 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$ 및$$수준 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ Sigel$$ 모듈 형식의 공간 표시

${\displaystyle M_{\rho }(\Gamma _{g}(N)).}$

예

시겔 모듈형 형식을 구성하는 몇 가지 방법은 다음과 같다.

• 아이젠슈타인계 전동차
• 격자의 세타 함수(플리우-조화 다항식일 가능성이 있음)
• 사이토-쿠로카와 2등분
• 이케다 리프트
• 미야와키 리프트
• 시겔 모듈형 형태의 제품.

레벨 1, 작은 도

학위 1의 경우 레벨 1 시겔 모듈형 형태는 레벨 1 모듈형 형태와 동일하다.그러한 형태의 링은 아이젠슈타인 시리즈 E와₄ E의₆ 다항식 링 C[E₄,E₆]이다.

도 2, (Igusa 1962, 1967) 레벨 1 시겔 모듈형 형태의 링은 (도 2) 아이젠슈타인 시리즈 E와₄ E에₆ 의해 생성되며 가중치 10, 12, 35의 3가지 형태가 더 생성된다는 것을 보여주었다.그들 사이의 관계의 이상은 무게 35의 제곱에서 다른 것의 특정한 다항식을 뺀 것에 의해 생성된다.

3도의 경우, 츠유미네(1986)는 레벨 1 시겔 모듈형식의 링을 설명하여 34개의 발전기 세트를 주었다.

4등급의 경우, 1등급 시겔 모듈형 소형 웨이트가 발견되었다.2번, 4번, 6번 체중의 보조 형태는 없다.무게 8의 첨탑 형태의 공간은 쇼트키 형태에 의해 확장된 1차원이다.무게 10의 첨두 형태 공간은 치수 1을, 무게 12의 첨두 형태 공간은 치수 2를, 무게 14의 첨두 형태 공간은 치수 3을, 무게 16의 첨두 형태 공간은 치수 7(불량 & 유엔 2007) 하브 오차: 대상 없음: CITREFPoRuen 2007(도움말)이다.

도 5의 경우, 첨탑 형태의 공간은 중량 10의 경우 치수 0, 중량 12의 경우 치수 2가 있다.무게 12의 형태 공간에는 차원 5가 있다.

6도의 경우, 0, 2, 4, 6, 8의 체중에 대한 중단 형태가 없다.무게 2의 시겔 모듈형 형태의 공간은 치수 0을 가지며, 무게 4나 6의 공간은 둘 다 치수 1을 가진다.

레벨 1, 작은 무게

작은 무게와 레벨 1에 대해 듀크 & 이마모룰루(1998)는 다음과 같은 결과를 제공한다(모든 양의 경우).

• 무게 0: 형태의 공간은 1차원이며, 1로 확장된다.
• 무게 1: 유일한 시겔 모듈형 형태는 0이다.
• 무게 2: 유일한 시겔 모듈형 형태는 0이다.
• 무게 3: 유일한 시겔 모듈형 형태는 0이다.
• 무게 4: 어느 정도든 무게 4의 형태 공간은 1차원이며, E₈ 격자의 세타함수(적절한 정도)에 의해 확장된다.유일한 보조양식은 0이다.
• 웨이트 5: 유일한 시겔 모듈형 형태는 0이다.
• 무게 6: 무게 6의 형태 공간은 높이가 최대 8이면 치수 1이 있고, 도수가 최소 9이면 치수 0이 있다.유일한 보조양식은 0이다.
• 무게 7: 첨탑의 공간은 정도가 4나 7이면 사라진다.
• 무게 8:제4속에서는 첨탑형식의 공간은 쇼트키형식으로 1차원이고, 형태공간은 2차원이다.속은 8이면 정맥류가 없다.
• 속들이 무게의 2배 이상이면 정맥류가 없다.

레벨 1 시겔 모듈러 형식의 공간 치수 표

다음 표는 위의 결과와 Poor & Yuen (2006) harvtxt 오류: no target: CITREFPoorYuen2006 (도움말) 및 Chenevier & Lannes (2014) 및 Taïbi (2014)의 정보를 결합한 것이다.

레벨 1 시겔 큐브 형태의 공간 치수:

무게	도 0	도 1	학위 2	3도	4급	학위 5	도 6	7급	도 8	학위 9	학위 10	학위 11	학위 12
0	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1
2	1: 1	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0
4	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1
6	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0
8	1: 1	0: 1	0 : 1	0 :1	1: 2	0: 2	0: 2	0: 2	0: 2
10	1: 1	0: 1	1: 2	0 : 2	1: 3	0: 3	1: 4	0: 4	1:	0:	0:
12	1: 1	1: 2	1: 3	1: 4	2: 6	2: 8	3: 11	3: 14	4: 18	2:20	2: 22	1: 23	1: 24
14	1: 1	0: 1	1: 2	1: 3	3:6	3: 9	9: 18	9: 27
16	1: 1	1: 2	2: 4	3: 7	7: 14	13:27	33:60	83:143
18	1: 1	1: 2	2: 4	4:8	12:20	28: 48	117: 163
20	1: 1	1: 2	3: 5	6: 11	22: 33	76: 109	486:595
22	1: 1	1: 2	4 : 6	9:15	38:53	186:239
24	1: 1	2: 3	5: 8	14: 22
26	1: 1	1: 2	5: 7	17: 24
28	1: 1	2: 3	7 : 10	27: 37
30	1: 1	2: 3	8: 11	34: 45

퀘허 원리

Koecher 원리로 알려진 정리는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 중량$$ $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho$ $\},$ 레벨 1 g> 1 ${\displaystyle g>1}$의Sigel 모듈형 $형태$라면$,$ f {\$displaystystyle$ f$}$은 형식의$$ $H{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\\\\\\\\\mathcalet$ {$H}{H}}}}{{{{{{}$의 하위 집합에 경계를 두고 있다.

${\displaystyle \left\{\tau \in {\mathcal {H}_{g}\\\\\\textrm {Im}(\tau )\epsilon I_{g}\right\}}}}$

여기서 > ${\displaystyle \epsilon >0$ 이 정리에 대한 코롤러리는 도 > 1 ${\displaystyle g>1}$의 Sigel 모듈형 형식이 푸리에 확장을 가지고 있으며 따라서 무한대에서 홀로모르픽이라는 사실이다.^[1]

물리학에 응용

스트링 이론에서 초대칭 블랙홀의 D1D5P 시스템에서 블랙홀 엔트로피의 미세상태를 자연스럽게 포착하는 기능은 시겔 모듈형이다.^[2]일반적으로 시겔 모듈형 형태는 블랙홀이나 다른 중력계를 설명할 수 있는 잠재력을 가지고 있다고 설명되어 왔다.^[2]

또한 시겔 모듈형 형식은 상등 필드 이론, 특히 가상의 AdS/CFT 대응에서 중심 전하가 증가하는 CFT2 계열의 기능을 생성하기 위한 기능으로서 사용된다.^[3]

참조

• Chenevier, Gaëtan; Lannes, Jean (2014), Formes automorphes et voisins de Kneser des réseaux de Niemeier, arXiv:1409.7616, Bibcode:2014arXiv1409.7616C
• Duke, W.; Imamoḡlu, Ö. (1998), "Siegel modular forms of small weight", Math. Ann., 310 (1): 73–82, doi:10.1007/s002080050137, MR 1600030
• Freitag, E. (1983), Siegelsche Modulfunktionen, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 254. Springer-Verlag, Berlin, doi:10.1007/978-3-642-68649-8, ISBN 978-3-540-11661-5, MR 0871067
• van der Geer, Gerard (2008), "Siegel modular forms and their applications", The 1-2-3 of modular forms, 181–245, Universitext, Berlin: Springer, pp. 181–245, arXiv:math/0605346, doi:10.1007/978-3-540-74119-0_3, ISBN 978-3-540-74117-6, MR 2409679
• Igusa, Jun-ichi (1962), "On Siegel modular forms of genus two", Amer. J. Math., 84 (1): 175–200, doi:10.2307/2372812, JSTOR 2372812, MR 0141643
• Klingen, Helmut (2003), Introductory Lectures on Siegel Modular Forms, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35052-5
• Siegel, Carl Ludwig (1939), "Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades", Math. Ann., 116: 617–657, doi:10.1007/bf01597381, MR 0001251
• Taïbi, Olivier (2014), Dimensions of spaces of level one automorphic forms for split classical groups using the trace formula, arXiv:1406.4247, Bibcode:2014arXiv1406.4247T
• Tsuyumine, Shigeaki (1986), "On Siegel modular forms of degree three", Amer. J. Math., 108 (4): 755–862, doi:10.2307/2374517, JSTOR 2374517, MR 0853217