모듈형 형식을 나타내는 시리즈
독일의 수학자 고톨드 아이젠슈타인 의 이름을 딴 아이젠슈타인 시리즈 는 직접 적을 수 있는 무한 시리즈 확장을 가진 특별한 모듈형 형식 이다. 원래 모듈형 집단을 위해 정의되었던 아이젠슈타인 시리즈는 자동형식 이론에서 일반화될 수 있다.
모듈러 그룹용 아이젠슈타인 시리즈 단위 디스크 의 q 함수로서 G 6 실제 부분.음수는 검정색이다. 단위 디스크의 q 함수로서 G 6 가상 부분. τ 은 엄밀히 말하면 양의 가상의 부분 을 가진 복잡한 수 가 되게 하라.k 2 는 정수인 중량 2k 의 홀로모르픽 아이젠슈타인 시리즈 G 2k (τ )
G 2 k ( τ ) = ∑ ( m , n ) ∈ Z 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } 1 ( m + n τ ) 2 k . {\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathb {Z}^{2}\setminus \{(0,0)\}}}{\frac {1}{1}{(m+n\tau )^{2k}}}}. } 이 시리즈는 상반면 τ 의 홀로모르픽 함수로 절대적으로 수렴 되며, 아래에 제시된 푸리에 팽창은 it i ∞ 아이젠슈타인 시리즈가 모듈형 이라는 것은 주목할 만한 사실이다. 실제로 핵심 속성은 SL(2, ℤ )- 명시적으로 a ,b ,c ,d ℤ ad - bc 1 인 경우
G 2 k ( a τ + b c τ + d ) = ( c τ + d ) 2 k G 2 k ( τ ) {\displaystyle G_{2k}\왼쪽({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}\오른쪽)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )} (증거)
G 2 k ( a τ + b c τ + d ) = ∑ ( m , n ) ∈ Z 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } 1 ( m + n a τ + b c τ + d ) 2 k = ∑ ( m , n ) ∈ Z 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } ( c τ + d ) 2 k ( m d + n b + ( m c + n a ) τ ) 2 k = ∑ ( m ′ , n ′ ) = ( m , n ) ( d c b a ) ( m , n ) ∈ Z 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } ( c τ + d ) 2 k ( m ′ + n ′ τ ) 2 k {\displaystyle {\reasoned} G_ᆲ\left({\frac{a\tau +b}{c\tau +d}}\right)&, =\sum _{(m,n)\in \mathbb{Z}^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac{1}{\left(m+n{\frac{a\tau +b}{c\tau +d}}\right)^{2k}}}\\&, =\sum _{(m,n)\in \mathbb{Z}^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac{(c\tau +d)^{2k}}{(md+nb+(mc+na)\tau)^{2k}}}\\&, =\sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\)c\\b\)a\e.nd{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathb {Z} ^{2}\setminus \{{0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{\좌측(m'+n'\tau \right)^{2k}}}}}}} 광고 bc 1 인 경우
( d c b a ) − 1 = ( a − c − b d ) {\displaystyle {\pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}^{-1}={\nd{pmatrix}\a&nd{pmatrix}}}} 하도록
( m , n ) ↦ ( m , n ) ( d c b a ) {\displaystyle (m,n)\mapsto(m,n){pmatrix}d&c\b&a\end{pmatrix}}} 편향 → → ℤ2 2 , 즉:
∑ ( m ′ , n ′ ) = ( m , n ) ( d c b a ) ( m , n ) ∈ Z 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } 1 ( m ′ + n ′ τ ) 2 k = ∑ ( m ′ , n ′ ) ∈ Z 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } 1 ( m ′ + n ′ τ ) 2 k = G 2 k ( τ ) {\displaystyle \sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}=\sum _{\left(m',n'\right)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m'+n'\tau )^{2k}}}=G_{2k}(\tau )} 전체, 광고 bc 1 인 경우
G 2 k ( a τ + b c τ + d ) = ( c τ + d ) 2 k G 2 k ( τ ) {\displaystyle G_{2k}\왼쪽({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}\오른쪽)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )} 그리고 G 2k 따라서 무게 2k 의 모듈형이다. k note 2 가정 하는 것이 중요하며, 그렇지 않으면 합계의 순서를 변경하는 것은 불법이며, SL(2, ℤ )- 사실, 중량 2의 비종교적인 모듈형 형태는 없다. 그럼에도 불구하고, 홀모픽 아이젠슈타인 시리즈의 아날로그는 퀘이모듈라 형식 일 뿐이지만 k 1 에 대해서도 정의할 수 있다. 모듈형 불변제와의 관계 타원곡선 의 모듈형 불변성물 g 2 g 3 처음 두 개의 아이젠슈타인 시리즈에 의해 주어진다.
g 2 = 60 G 4 g 3 = 140 G 6 . {\displaystyle {\begin}g_{2}&=60G_{4}\\g_{3}&=140G_{6}. \end{정렬}}} 모듈형 불변제에 관한 기사는 세타 함수 의 관점에서 이 두 함수에 대한 표현을 제공한다.
재발관계 모듈 그룹에 대한 모든 홀모픽 모듈형 형태는 G 4 G 6 다항식으로 작성할 수 있다. 특히, 보다 높은 순서 G 2k 재발 관계 를 통해 G 4 G 6 관점에서 작성할 수 있다. dk =(2k + 3)k ! 예 를2k + 4 들어, g 0 3G4 , d = 5G1 6 .그러면 d 는k 관계를 만족시킨다.
∑ k = 0 n ( n k ) d k d n − k = 2 n + 9 3 n + 6 d n + 2 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \선택 k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}d_{n+2}}: 모두 0 에 대하여.여기서() n k 이항계수 다.
d k Weierstrass의 타원함수 에 대한 직렬 확장에서 발생한다.
℘ ( z ) = 1 z 2 + z 2 ∑ k = 0 ∞ d k z 2 k k ! = 1 z 2 + ∑ k = 1 ∞ ( 2 k + 1 ) G 2 k + 2 z 2 k . {\displaystyle {\d_z^}\j&={{1}{z^{2}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\frac {d_{k}z^{2k}}}{k! }}\\&={\frac {1}{z^{2}}+\sum _{k=1}^{\inflit }(2k+1) G_{2k+2}z^{2k}. \end{정렬}}} 푸리에 시리즈 q e 2πiτ q 를 nome e π iτ q = e 2π iτ 현재 수 이론에서 표준으로 정의된다.)그러면 아이젠슈타인 시리즈의 푸리에 시리즈는
G 2 k ( τ ) = 2 ζ ( 2 k ) ( 1 + c 2 k ∑ n = 1 ∞ σ 2 k − 1 ( n ) q n ) {\displaystyle G_{2k}(\tau )=2\제타(2k)\왼쪽(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\inful }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\rigma)} 계수 c 2k 주어지는 곳
c 2 k = ( 2 π i ) 2 k ( 2 k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) = − 4 k B 2 k = 2 ζ ( 1 − 2 k ) . {\displaystyle {\pi-1}c_{2k}&={\frac {(2\pi i)^{2k}}{2k-1)! \제타(2k)}\\[4pt]&={\frac {-4k}{B_{2k}}={\frac {2}{\제타(1-2k)}}}}. \end{정렬}}} 여기서 B n 베르누이 숫자 , ζ (z ) 리만의 제타 함수 , σ p n )n 의 디비저의 p번째 힘의 합인 디비소르 합함수다 . 특히 한 사람이 가지고 있다.
G 4 ( τ ) = π 4 45 ( 1 + 240 ∑ n = 1 ∞ σ 3 ( n ) q n ) G 6 ( τ ) = 2 π 6 945 ( 1 − 504 ∑ n = 1 ∞ σ 5 ( n ) q n ) . {\displaystyle {\begin}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi^{4}}}}}\좌측(1+240\sum _{n=1}^{n=1}\inflt _{3}q^{n}\rigma)\\[4pt] G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi^{6}{6}}}{945}\좌측(1-504\sum _{n=1}^{\n=1}\infully }\sigma _{5}(n)q^{n}\n}\우측. \end{정렬}}} q 에 대한 합계는 램버트 시리즈 로 다시 시작할 수 있다. 즉, q에 대한 합계는
∑ n = 1 ∞ q n σ a ( n ) = ∑ n = 1 ∞ n a q n 1 − q n {\displaystyle \sum \{n=1}^{n1}^{n}\inflma _{a}^{n1}^{n1}{n}}{\frac{n^{a}q^{n}}}}{1-q^{n}}}}}}}}}}}}}}}{1-q^{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 임의 콤플렉스 Q < 1 및 a.아이젠슈타인 시리즈의 q-확장 작업을 할 때, 이 대체 표기법이 자주 도입된다.
E 2 k ( τ ) = G 2 k ( τ ) 2 ζ ( 2 k ) = 1 + 2 ζ ( 1 − 2 k ) ∑ n = 1 ∞ n 2 k − 1 q n 1 − q n = 1 − 4 k B 2 k ∑ n = 1 ∞ σ 2 k − 1 ( n ) q n = 1 − 4 k B 2 k ∑ d , n ≥ 1 n 2 k − 1 q n d . {\displaystyle {\reasoned} E_{2k}(\tau )&={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}\\&=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{d,n\geq 1}n^{2k-1}q^{nd}. \end{정렬}}} 아이젠슈타인 시리즈와 관련된 정체성 세타 함수로서 주어진 q let 2π iτ
E 4 ( τ ) = 1 + 240 ∑ n = 1 ∞ n 3 q n 1 − q n E 6 ( τ ) = 1 − 504 ∑ n = 1 ∞ n 5 q n 1 − q n E 8 ( τ ) = 1 + 480 ∑ n = 1 ∞ n 7 q n 1 − q n {\displaystyle {\begin}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{n1}{n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}\\\\\frac E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\inflit }{\frac {n^{5}q^{n}}}}{1-q^{n}}\\ E_{8}(\tau )&=1+480\sum _{n=1}^{\n1}^{\inflit }{\frac {n^{7}q^{n}}}}{1-q^{n}}}}\ed}}}}}}}} 그리고 정의하다
a = θ 2 ( 0 ; e π i τ ) = ϑ 10 ( 0 ; τ ) b = θ 3 ( 0 ; e π i τ ) = ϑ 00 ( 0 ; τ ) c = θ 4 ( 0 ; e π i τ ) = ϑ 01 ( 0 ; τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}} 여기서 θ m ϑ ij 자코비 세타 함수 의 대체 표기법이다. 그러면
E 4 ( τ ) = 1 2 ( a 8 + b 8 + c 8 ) , E 6 ( τ ) = 1 2 ( − 3 a 8 ( b 4 + c 4 ) + b 12 + c 12 ) = 1 2 ( a 8 + b 8 + c 8 ) 3 − 54 ( a b c ) 8 2 , {\displaystyle {\begin}E_{4}(\tau )&={\tfrac {1}{1}{1}2}}\좌측(a^{8}+b^{8}+c^{8}+c^{8} }\\\[4pt] E_{6}(\tau )&={\tfrac {1}{1}:{2}}\좌측(-3a^{8}\좌측(b^{4}+c^{4){4} }\\오른쪽)+b^{12}+c^{12}\\\[4pt]&={\tfrac{1}{1}:{2}}: {\sqrt}{\frac {\\\frac(a^{8}+b^{8}+c^{8}+c^{8}}{8] }\right)^{3}-54(으)^{8}{2},\end{aigned}}}} 그러므로
E 4 3 − E 6 2 = 27 4 ( a b c ) 8 {\displaystyle E_{4}^{3}-E_{6}^{2}={\tfrac {27}{4}}(abc)^{8}}}} 모듈형 판별 과 관련된 표현,
Δ = g 2 3 − 27 g 3 2 = ( 2 π ) 12 ( 1 2 a b c ) 8 {\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\좌측({\tfrac {1}{2}}:abc\우측)^{8}}}}}}}}:{8} 또한 8 ,E 2 4 및 4 b 4 + c 4 = 0 이므로, 이는 함축적인 의미를 갖는다.
E 8 ( τ ) = 1 2 ( a 16 + b 16 + c 16 ) . {\displaystyle E_{8}(\tau )={\tfrac {1}{1}:{1}{1}:{2}}\왼쪽(a^{16}+b^{16}+c^{16}\오른쪽). } 아이젠슈타인 시리즈의 제품 아이젠슈타인 시리즈는 완전한 모듈형 그룹 SL(2, ℤ 모듈형 형태 의 가장 명시적인 예를 형성한다. 무게 2k의 모듈형 형태의 공간은 2k = 4, 6, 8, 10, 14에 대한 치수 1을 가지고 있기 때문에, 그러한 무게를 가진 아이젠슈타인 시리즈의 다른 제품들은 스칼라 배수와 같아야 한다. 사실, 우리는 다음과 같은 신원을 얻는다.
E 4 2 = E 8 , E 4 E 6 = E 10 , E 4 E 10 = E 14 , E 6 E 8 = E 14 . {\displaystyle E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}}=E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}}}}}} 위에서 주어진 에이젠슈타인 시리즈의 q-확장을 이용하여, 그것들은 다음과 같은 분열자의 힘의 합계를 포함하는 정체성으로 재조정될 수 있다.
( 1 + 240 ∑ n = 1 ∞ σ 3 ( n ) q n ) 2 = 1 + 480 ∑ n = 1 ∞ σ 7 ( n ) q n , {\displaystyle \left(1+240\sum _{n=1}^{\inful }\inful }{3}(n)q^{n}\inful \sum)^{2}=1+q^{n=1}{n=1}^{7}(n)q^{n}}}}}}}} 이 때문에
σ 7 ( n ) = σ 3 ( n ) + 120 ∑ m = 1 n − 1 σ 3 ( m ) σ 3 ( n − m ) , {\displaystyle \probma _{7}(n)=\probma_{3}+120\sum _{m=1}^{n-1}\probma _{3}\probma _{3}(n-m),} 다른 사람들도 마찬가지야 8차원 짝수 격자 Ⅱ 의 세타함수 는 전체 모듈형 그룹에 대한 무게 4의 모듈형 형태로서 다음과 같은 정체성을 부여한다.
θ Γ ( τ ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ r Γ ( 2 n ) q n = E 4 ( τ ) , r Γ ( n ) = 240 σ 3 ( n ) {\displaystyle \theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}{n=1}{n_{n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\qquad r_{\gma }=240\sigma _{3(n}}n)} 형식 8 길이 의 벡터 수 r Γ (n )
디리클레 문자 에 의해 뒤틀린 홀로모르픽 아이젠슈타인 시리즈와 관련된 유사한 기법들은 n 의 단점 면에서 두, 네, 여덟 제곱의 합으로 양의 정수 n '의 표현 수에 대한 공식을 생산한다.
위의 반복 관계를 이용하여 모든 상위 E 2k E 4 E 6 다항식으로 표현할 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.
E 8 = E 4 2 E 10 = E 4 ⋅ E 6 691 ⋅ E 12 = 441 ⋅ E 4 3 + 250 ⋅ E 6 2 E 14 = E 4 2 ⋅ E 6 3617 ⋅ E 16 = 1617 ⋅ E 4 4 + 2000 ⋅ E 4 ⋅ E 6 2 43867 ⋅ E 18 = 38367 ⋅ E 4 3 ⋅ E 6 + 5500 ⋅ E 6 3 174611 ⋅ E 20 = 53361 ⋅ E 4 5 + 121250 ⋅ E 4 2 ⋅ E 6 2 77683 ⋅ E 22 = 57183 ⋅ E 4 4 ⋅ E 6 + 20500 ⋅ E 4 ⋅ E 6 3 236364091 ⋅ E 24 = 49679091 ⋅ E 4 6 + 176400000 ⋅ E 4 3 ⋅ E 6 2 + 10285000 ⋅ E 6 4 {\displaystyle {\reasoned} E_{8}&=E_{4}^{2}\\ E_{10}&=E_{4}\cdot E_{6}\\691\cdot E_{12}&=441\cdot E_{4}^{3}+250\cdot E_{6}\\\\ E_{14}&.=E_{4}^{2}\cdot E_{6}\\3617\cdot E_{16}&, =1617\cdot E_{4}^{4}+2000\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{2}\\43867\cdot E_{18}&, =38367\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}+5500\cdot E_{6}^{3}\\174611\cdot E_{20}&, =53361\cdot E_{4}^{5}+121250\cdot E_{4}^{2}\cdot E_{6}^{2}\\77683\cdot E_{22}&, =57183\cdot E_{4}^{4}\cdot E_{6}+20500\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{3}\\236364.091\cdot E_{24}&=49679091\cdot E_{4}^{6}^{6}+176400000\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}^{2}+10285000\cdot E_{4}^{6}^{4}\ended}}}}}}}}}}}}}}}}}}}" 아이젠슈타인 시리즈의 제품들 사이의 많은 관계들은 한클 결정요인 (예: 가반의 정체성)을 사용하여 우아한 방법으로 쓰여질 수 있다.
( Δ ( 2 π ) 12 ) 2 = − 691 1728 2 ⋅ 250 퇴장시키다 E 4 E 6 E 8 E 6 E 8 E 10 E 8 E 10 E 12 {\displaystyle \left({\frac {\Delta }{(2\pi )^{12}}}\right)^{2}=-{\frac {691}{1728^{2}\cdot 250}}\det {\begin{vmatrix}E_{4}&E_{6}&E_{8}\\E_{6}&E_{8}&E_{10}\\ E_{8}&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}}} 어디에
Δ = ( 2 π ) 12 E 4 3 − E 6 2 1728 {\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}{\frac {E_{4}^{3}-E_{6}^{2}}{1728}}}}}}}} 모듈형 판별 이다.[1]
라마누잔의 정체성 라마누잔 스리니바사 는 차별화를 수반하는 최초의 몇 개의 아이젠슈타인 시리즈 사이에 몇 가지 흥미로운 정체성을 부여했다.내버려두다
L ( q ) = 1 − 24 ∑ n = 1 ∞ n q n 1 − q n = E 2 ( τ ) M ( q ) = 1 + 240 ∑ n = 1 ∞ n 3 q n 1 − q n = E 4 ( τ ) N ( q ) = 1 − 504 ∑ n = 1 ∞ n 5 q n 1 − q n = E 6 ( τ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}L(q)&=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{2}(\tau )\\M(q)&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{4}(\tau )\\N(q)&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{6}(\tau ),\end{aligned}}} 그때
q d L d q = L 2 − M 12 q d M d q = L M − N 3 q d N d q = L N − M 2 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}q{\frac {dL}{dq}}&={\frac {L^{2}-M}{12}}\\q{\frac {dM}{dq}}&={\frac {LM-N}{3}}\\q{\frac {dN}{dq}}&={\frac {LN-M^{2}}{2}}. \end{정렬}}} 이러한 정체성은, 시리즈 사이의 정체성과 마찬가지로, 이분율 함수 와 관련된 산술적 경련 정체성을 산출한다. 라마누잔에 이어 이러한 정체성을 가장 단순한 형태로 넣기 위해서는 설정을 통해 n ( n)의p
σ p ( 0 ) = 1 2 ζ ( − p ) ⟹ σ ( 0 ) = − 1 24 σ 3 ( 0 ) = 1 240 σ 5 ( 0 ) = − 1 504 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{p}(0)={\tfrac {1}{2}}\zeta (-p)\quad \Longrightarrow \quad \sigma (0)&=-{\tfrac {1}{24}}\\\sigma _{3}(0)&={\tfrac {1}{240}}\\\sigma _{5}(0)&=-{\tfrac {1}{504}}. \end{정렬}}} 그러면 예를 들면.
∑ k = 0 n σ ( k ) σ ( n − k ) = 5 12 σ 3 ( n ) − 1 2 n σ ( n ) . {\displaystyle \sum \{k=0}^{n}\sigma(k)\\ma(n-k)={\tfrac {5}{12}\\ma_{3}-{\tfrac {1}{1}{2}}n(n). } L , M , N 기능 사이의 선행 관계와는 직접 관련이 없는 이러한 유형의 다른 정체성은 예를 들면 라마누잔과 주세페 멜피 에 의해 증명되었다.[2] [3]
∑ k = 0 n σ 3 ( k ) σ 3 ( n − k ) = 1 120 σ 7 ( n ) ∑ k = 0 n σ ( 2 k + 1 ) σ 3 ( n − k ) = 1 240 σ 5 ( 2 n + 1 ) ∑ k = 0 n σ ( 3 k + 1 ) σ ( 3 n − 3 k + 1 ) = 1 9 σ 3 ( 3 n + 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{120}}\sigma _{7}(n)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (2k+1)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{240}}\sigma _{5}(2n+1)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (3k+1)\sigma (3n-3k+1)&={\tfrac {1}{9}}\sigma _{3}(3n+2). \end{정렬}}} 일반화 오토모픽 형태 는 일반적인 리 그룹 에 대한 모듈형 형태 개념을 일반화하고, 아이젠슈타인 시리즈도 유사한 방식으로 일반화한다.
O K 완전히 실제 대수적 숫자 필드 K 의 정수 링 으로 정의한 다음, Hilbert-Blumenthal 모듈러 그룹 을 PSL(2,OK )로 정의한다. 그런 다음 에이젠슈타인 시리즈를 힐버트-블루멘탈 모듈러 그룹의 모든 정점 에 연결할 수 있다.
참조 ^ Milne, Steven C. (2000). "Hankel Determinants of Eisenstein Series". arXiv :math/0009130v3 Δ {\displaystyle \Delta } . ^ Ramanujan, Srinivasa (1962). "On certain arithmetical functions". Collected Papers . New York, NY: Chelsea. pp. 136–162.^ Melfi, Giuseppe (1998). "On some modular identities". Number Theory, Diophantine, Computational and Algebraic Aspects: Proceedings of the International Conference held in Eger, Hungary . Walter de Grutyer & Co. pp. 371–382. 추가 읽기 
![{\displaystyle {\begin{aligned}c_{2k}&={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}\\[4pt]&={\frac {-4k}{B_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ddc76157126f55a5ce39737f1637f52b15d297b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left(1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93b279685fbc57bf429dd02f46cceda2b5c2249b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right),\\[4pt]E_{6}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(-3a^{8}\left(b^{4}+c^{4}\right)+b^{12}+c^{12}\right)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54(abc)^{8}}{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41234fcf1a2c810f65163647afabcb693347973)
