응집 부분군

수학에서 정수 항목이 있는 행렬 그룹의 일치 부분군은 항목에서 일치 조건에 의해 정의된 부분군이다.매우 간단한 예로는 비대각 입력이 짝수인 결정인자 1의 반전성 2 × 2 정수 행렬이 있다.보다 일반적으로 합치 하위그룹의 개념은 대수집단의 산술적 하위집단에 대해 정의될 수 있다. 즉, 우리가 '통합구조'라는 개념을 가지고 있고 감량지도를 정수로 정의할 수 있는 하위집단에 대한 개념이다.null

산술집단에 조합 하위집단의 존재는 풍부한 하위집단을 제공하는데, 특히 집단이 잔류적으로 유한하다는 것을 보여준다.산술집단의 대수적 구조에 관한 중요한 질문은 합치 부분군 문제로, 유한지수의 모든 부분군이 본질적으로 합치 부분군인지를 묻는 것이다.null

2×2 행렬의 조합 하위 그룹은 고전적인 모듈형 형태 이론의 근본적인 물체다. 현대적인 자동 형태 이론은 더 일반적인 산술 그룹에서 조합 하위 그룹의 유사한 사용을 만든다.null

모듈 그룹의 일치 부분군

조합 하위군을 연구할 수 있는 가장 간단한 흥미로운 설정은 모듈 그룹 S ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ )${\displaystyle \mathrmat {SL} _{2}(\mathb {Z} )$의 설정이다$.$^[1]

주합성 부분군

If ${\displaystyle n\geqslant 1}$ is an integer there is a homomorphism ${\displaystyle \pi _{n}:\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$ induced by the reduction modulo ${\displaystyle n}$ morphism ${\displaystyle \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n}$${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$. The principal congruence subgroup of level ${\displaystyle n}$ in ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ is the kernel of ${\displaystyle \pi _{n}}$, and it is usually denoted ${\displaystyle \Gamma$$(n)}$. 명시적으로 다음과 같이 설명하고 있다.

${\displaystyle \Gamma(n)=\{\\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in \mathrm {SL}_{2}(\mathb {Z})):a,d\equiv 1{pmod{c\n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\quad b,\pmod}\pmod}\iquiquique\ique\ique\ique\rign}\i$

이 정의는 즉시 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \Gamma (n)}$이 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $\$$Gamma }}$의 유한지수의 정상 부분군임을 암시한다$.$ 강한 근사정리(이 경우 중국 나머지 정리의 쉬운 결과)는 ${\displaystyle {\pi n}_{}}$ ${\$가 과부여함을 암시한다.${\displaystyle \gamma \mathrm{}}$ /${\displaystyle }$\${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \Gamma /\Gamma (n)}$은(는) $S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle n\mathbb{}}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$)에 대해 이형이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathrmatmatrm {SL} _{2}(\mathb {Z} /n\mathb {Z}).$ 이 유한 그룹의 순서를 계산하면$$ 인덱스에 대해 다음과 같은 공식이 산출된다.

${\displaystyle [\Gamma (n)]=n^{3}\cdot \prod_{p\mid n}\left(1-{p^{1}{p^}}}\오른쪽)}$

여기서 제품은 $n$을 $나누는$ 모든 소수 $중$에서 선택된다$.$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⩾}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n\geqslant 3$$}$인 경우 $finite$ n ${\displaystyle \pi$ $_{n}$의 유한 부분군 제한은 주입식이다$$.이는 다음과 같은 결과를 암시한다.

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⩾}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n\geqslant 3}$인 경우 주요 일치 하위 그룹 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle (n}$) ${\displaystyle \Gamma$ (n$)}$은 비틀림이 $없다$.null

그룹 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle \Gamma(2)$는${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{Id}}${\$displaystyle$-\$operatorname {Id}$을(를) 포함하며$$ 비틀림이 없는 것은 아니다.반면 ${\displaystyle {\mathrm{PSL}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathb {Z}$)의 이미지는 비틀림이 없으며$$, 이 부분군에 의한 쌍곡면의 몫은 3개의 큐스가 있는 구이다.null

결합 부분군의 정의

If ${\displaystyle H}$ is a subgroup in ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ then it is called a congruence subgroup if there exists ${\displaystyle n\geqslant 1}$ such that it contains the principal congruence subgroup ${\displaystyle \Gamma (n)}$.$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 수준 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle l}$은(는) 이러한 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 중에서 가장 작다$.$

이 정의에서 다음 사항을 따른다.

• 일치 부분군은 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$;에서 유한 지수를 가진다.
• 수준$$ $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell }$의 조합 하위 그룹은${\displaystyle {\mathrm{SL}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( Z${\displaystyle }$/$$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$)의 하위 그룹과 일대일 $일치$한다. ${\displaysty \operatorname {SL$} _${2}(\mathb$ {Z} $/\$ell \mathb {$Z}).$$}$

예

$부분군{\displaystyle }$ $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \$Gamma $_{0}(n)}$은$($는) 상위 삼각형 행렬 그룹의$$ ${\displaystyle {\pi n}_{}}$ ${\$에 의해 사전 이미지로 정의된다.그것은

${\displaystyle \Gamma_{0}(n)=\left\{\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :c\equiv 0{\pmod{n}\right\}.}$

지수는 다음 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle [\Gamma :\Gamma _{0}(n)=n\cdot \prod_{pn}\좌측(1+{\frac{1}{p}\오른쪽)}$

여기서$$ $제품$은 n ${\displaystyle$n}을(를) 나누는 모든 프라임 숫자를 인수한다$.$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p$${\displaystyle \}}$이(가) prime인$$ $경우{\displaystyle \mathrm{}}$, ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$/$$$\$ ${\displaystyle {}_{}p}$ ) {\$Displaystyle$ /\$Gamma _{0$}(p)은 유한 필드 F ${\$}{$p}$ _$\{$$p$} 및 명시적으로 투영역할 수 있다.s $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $\Gamma _{0}(p)}$의 $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}p}$) ${\displaystyle$ $\Gamma }$의 (왼쪽 또는 오른쪽) 코스셋은 다음과$$ 같은 행렬이다.

${\displaystyle \operatorname {Id},{\begin{pmatrix}1&0\\1\1\end{pmatrix},\dots,{\begin{pmatrix}1&0\1\end{pmatrix}, {pmatrix}.}$

The subgroups ${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$ are never torsion-free as they always contain the matrix ${\displaystyle -I}$. There are infinitely many ${\displaystyle n}$ such that the image of ${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$ in ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}$$(\mathbb {Z})$ 또한$$ 비틀림 요소를 포함한다.null

부분군 $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \Gamma _{1}(n)}$은(는) 전능하지 않은 행렬의 부분군의 사전 이미지다$$.

${\displaystyle \Gamma _{1}(n)=\왼쪽\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :a,d\equiv 1{n},c\equiv 0{\pmod{n}}\ripmod}\rig}\rign}\right\right\}.}$

이들의 지수는 다음과 같은 공식에 의해 제시된다.

${\displaystyle [\Gamma :\Gamma _{1}(n)]=n^{2}\cdot \prod _{pn}\좌측(1-{\frac{1}{p^{2}}}\우측)}}$

Γ{\displaystyle \Gamma}의 세타 서브 그룹 Λ{\Lambda\displaystyle}은 일치한 서브 그룹 주문 2의 순환 군.(0− 110)∈ SL2(Z/2Z){\displaystyle \left({\begin{}smallmatrix 0&, -1\\1&, 0\end{smallmatrix}}\right)\in \ma가 생성하 preimage이라고 정의한다.thrm{SL$} _{2}(\mathb {Z} /2\mathb {Z} )}$.그것은 지수 3으로 명시적으로 설명된다.^[2]

${\displaystyle \Lambda =\왼쪽\{\\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in \Gamma :ac\equiv 0{\pmod{n},bd\equiv 0{\pmod{2}}\오른쪽\}.}$

These subgroups satisfy the following inclusions : ${\displaystyle \Gamma (n)\subset \Gamma _{1}(n)\subset \Gamma _{0}(n)}$, as well as ${\displaystyle \Gamma (2)\subset \Lambda }$

결합 부분군 특성

모듈형 그룹과 관련 리만 표면의 결합 하위 그룹은 특히 좋은 기하학적, 위상학적 특성에 의해 구별된다.여기 샘플이 있다.

• 모듈형 표면의 조합성 커버는 0과 같을 뿐이다.^[3]
• (셀버그의 3/16 정리) 만약 f ${\displaystyle f}$이(가) 고유값 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(가) 있는 모듈 표면의 일치 커버에 있는 라플라스-벨트라미 연산자의 비정규적 고유함수라면$$,${\displaystyle }\lambda {\displaystyle }$ 3 ${\displaystyle \frac{16}{}.}$ ${\displaysty \lambda \geqslambda$ \ga \tqslamba \}{$3}{$3}{3}{3}{3$$}.$}$

또한 결합 커버의 원활한 기능에 대해 Heke 연산자라 불리는 뛰어난 연산자 모음도 있는데, 이 연산자는 서로 통근하고 라플라스-벨트라미 연산자와 통근하며 후자의 각 Eigenspace에서 대각선을 볼 수 있다.그들의 공통적인 고유 기능은 자동형 형태의 근본적인 예다.이러한 조합 하위그룹과 연관된 다른 자동형 형태는 홀로모르픽 모듈형 형태로서, 에이클러-시무라 이소형성을 통해 관련 리만 표면의 코호몰로지 등급으로 해석할 수 있다.null

헤케 응집군 정규화자

The normalizer ${\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}}$ of ${\displaystyle \Gamma _{0}(p)}$ in ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ has been investigated; one result from the 1970s, due to Jean-Pierre Serre, Andrew Ogg and John G. Thompson is that the corresponding modular curve (the Riemann surface resulting from taking the quotient of the hyperbolic plane by ${\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}}$) has genus zero (i.e., the modular curve is a Riemann sphere) if and only if p is 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, or 71.나중에 오그는 괴물 집단에 대해 들었을 때, 이것들이 정확히 M 크기의 주요 요소라는 것을 알아차리고, 이 사실을 설명할 수 있는 누구에게나 잭 다니엘의 위스키 한 병을 제공하는 논문을 썼다 – 이것은 모듈형 기능 이론 사이의 깊은 연관성을 설명하는 Monstraous moonshine 이론의 출발점이었다.y와 괴물 그룹.null

산술 그룹 내

산술군

The notion of an arithmetic group is a vast generalisation based upon the fundamental example of ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )}$. In general, to give a definition one needs a semisimple algebraic group ${\displaystyle \mathbf {G} }$ defined over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ and a faithful representation ${\displaystyle \rho }$, also defined over ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ from ${\displaystyle \mathbf {G} }$ into ${\displaystyle \mathrm {GL} _{d}}$; then an arithmetic group in ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ is any group ${\$$디스플레이{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $스타일 \Gamma \subset \mathbf {G}(\mathb {Q}$)은$$ Z d {\$daystyle$\$mathb {Z} ^{d}}$의 유한 지수 하위 래티스 안정기에서 유한 지수를 가진다$.$

응집 부분군

Let ${\displaystyle \Gamma }$ be an arithmetic group: for simplicity it is better to suppose that ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$. As in the case of ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ there are reduction morphisms ${\displaystyle {\pi }_n:\mathrm{\Gamma }\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_{}}$${\displaystyle \pi _{n}:$$\Gamma \to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$. We can define a principal congruence subgroup of ${\displaystyle \Gamma }$ to be the kernel of ${\displaystyle \pi _{n}}$ (which may a priori depend on the representation ${\displaystyle \rho }$), and a congruence subgroup of ${\displaystyle \Gamma }$주요 일치 부분군(표현에 의존하지 않는 개념)을 포함하는 모든 부분군이다.이들은 유한집단 ${\displaystyle {\pi n}_{}}$ (${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ $){\displaystyle \pi _{n}(\Gamma$ $)\}$의 하위집단에 해당하는 유한지수의 하위집단이며, 수준이 정의된다.null

예

$S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathb {Z} )$의 주요 결합 하위 그룹은 다음에서 제공한$$ $하위{\displaystyle \mathrm{}}$ 그룹 subgroups(${\displaystyle n}$)${\displaystyle \Gamma(n)}$이다.

${\displaystyle \Gamma (n)=\left\{(a_{ij})\in \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} ):\forall i\,a_{ii}\equiv 1{\pmod {n}},\,\forall i\neq j\,a_{ij}\equiv 0{\pmod {n}}\right\}}$

조합 하위 그룹은 S ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrmat$ {$SL} _{d}(\mathb {Z}$ /$n\mathb {Z} )$의 하위 그룹에 해당한다$.$

산술 그룹의 또 다른 $예$는 S ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{\mathrm{}}}$ (${\displaystyle O}$ )$${\$displaystyle \mathrmat {SL} _{2}(O)}$ 그룹에 의해 주어지며$$, $여기$서$$O {\$displaystyle$ O$}$은 숫자 필드의 정수 링(예: $O{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}]}$ ${\displaystystyle O=\mathb {Z} [{\sqrt{$2$\}\}\}).$그렇다면 $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(${\displaystyle 가\mathfrak{}}$) 합리적인 소수 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}{\displaystyle \Gamma$$({\mathfrak{p}})$를 나누는 것이 가장 이상적인데, 이 부분군은 기본 c를 포함하고 있기 때문에 축소 맵 모드의 $커널$인$부분군$이다.감량모듈로 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에 의해 정의된 옹루성 부분군$.$

그러나 또 다른 산술집단은 다음에 의해$$ 정의된 Siegel 모듈러 $그룹{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ S ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2g}}_{}}$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ,$${\$displaystyle \mathrmat {Sp} _${2g$}(\mathb {Z}),}$이다.

${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathb {Z} )=\lf\{\gmatrm {GL} _{2g}(\mathb {Z}):\gammatma ^{\begin{pmatrix}0>I_{g}\\-I_{g}&#0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0>I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}\right\}.}$

Note that if ${\displaystyle g=1}$ then ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ).}$ The theta subgroup ${\displaystyle \Gamma _{\vartheta }^{(n)}}$ of ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$$$ 전체 C )set S ( Z ) $displaystyle \left({\begin{smallmatrix}A&)$의 집합이다$.$$B\\\C&D\end{smallmatrix}\right)\\mathrm$ {$Sp} _{2g}(\mathb$ {Z} )에서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\top \mathrm{}}^{}}$ ${\$$top$ $}$ 및$$ ${\displaystyle {}^{}}$ D ${\displaystyle {\top \mathrm{}}^{}}$ ${\$이 짝수로 입력한다$$.^[4]null

속성(필수)

주어진 산술 그룹 ${\displaystyle \Gamma}$의 응집 하위 그룹 계열은 항상$$ 루보츠키-짐머의 속성(τ)^[5]을 가지고 있다.$이$는 슈라이어 코제트 그래프(Extender coset graphes) 계열의 Cheeger 상수가 $({\displaystyle \Gamma$ $\}$에 대한 고정 생성 집합에 대해) 0에서 균일하게 경계되고, 다시 말해서 확장형 그래프 계열이라는 것을 의미한다고 볼 수 있다.There is also a representation-theoretical interpretation: if ${\displaystyle \Gamma }$ is a lattice in a Lie group G then property (τ) is equivalent to the non-trivial unitary representations of G occurring in the spaces ${\displaystyle L^{2}(G/\Gamma )}$ being bounded away from the trivial representation (in theG의 단일 이중 하한 위상).재산(ττ)은 카즈단의 재산(T)이 약화되는 것으로, 모든 유한 지수 부분군의 집단이 재산(τ)을 가지고 있음을 암시한다.null

S-armetic 그룹 내

If ${\displaystyle \mathbf {G} }$ is a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-group and ${\displaystyle S=\{p_{1},\ldots ,p_{r}\}}$ is a finite set of primes, an ${\displaystyle S}$-arithmetic subgroup of ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ is defined as an arithmetic subgroup but using ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}$ instead of ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ The fundamental example is ${\displaystyle \operatorname {SL} _{d}(\mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])$$}$.

Let ${\displaystyle \Gamma _{S}}$ be an ${\displaystyle S}$-arithmetic group in an algebraic group ${\displaystyle \mathbf {G} \subset \operatorname {GL} _{d}}$. If ${\displaystyle n}$ is an integer not divisible by any prime in ${\displaystyle S}$, then all primes ${\displayst$$yle p_{i}}$은(는) 변환불능 $모듈$로 n ${\displaystyle n}$이며, 이는 형태론 ${\displaystyle {ism}_{}}$ n :${\displaystyle {}_{}{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$→ G ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle n\mathbb{}}$ Z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaysty \pi _{n}:$$\Gamma _{S}\to \mathrm {GL} _{d}(\mathb {Z} /n\mathb {Z}) }$ 따라서$$ $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\$에서 일치 하위 그룹을 정의할 수 있으며$,$ 이 하위 수준은 $항상{\displaystyle }$ S ${\\displaystylease S$에서 동일하다.

일치 부분군 문제

SL₂(Z)의 유한지수 부분군

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathb {Z} )}$의 조합성 부분군은 유한지수 부분군이다$$. $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma$}의 모든 유한지수 부분군을 설명하는지 묻는 것은 당연하다$.$ 대답은 '아니오.이 사실은 펠릭스 클라인에게 이미 알려져 있었고 비합치적 유한지수 하위그룹을 많이 보여줄 수 있는 여러 가지각색이다.예를 들면 다음과 같다.

1. The simple group in the composition series of a quotient ${\displaystyle \Gamma /\Gamma '}$, where ${\displaystyle \Gamma '}$ is a normal congruence subgroup, must be a simple group of Lie type (or cyclic), in fact one of the groups ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {F} _{p})}$ for a prime ${\displaystyle p}$. But for every ${\displaystyle m}$ there are finite-index subgroups ${\displaystyle \Gamma '\subset \Gamma }$ such that ${\displaystyle \Gamma /\Gamma '}$ is isomorphic to the alternating group ${\displaystyle A_{m}}$ (for example ${\displays$$tyle \Gamma(2)$ 두 개의 생성기가 있는 모든 그룹에서, 특히 모든 교대 그룹에서, 그리고$$ 이러한 형태론의 낟알이 예를 보여 준다).따라서 이러한 집단은 일관성이 없어야 한다.
2. There is a surjection ${\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} }$; for ${\displaystyle m}$ large enough the kernel of ${\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ must be non-congruence (one way to see this is that the Cheeger constant of the Schreier graph는 0으로 간다; 또한 이전 항목의 정신에 간단한 대수적 증거가 있다).
3. The number ${\displaystyle c_{N}}$ of congruence subgroups in ${\displaystyle \Gamma }$ of index ${\displaystyle N}$ satisfies ${\displaystyle \log c_{N}=O\left((\log N)^{2}/\log \log N\right)}$. On the other hand, the number ${\displaysty$$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$$\$$Gamma }$의 $색인{\displaystyle }$ $N$의 유한 색인 부분군$$ 중 $la_{{N}$이 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$n$$ = ${\displaystyle O}$(${\displaystyle \log {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ N$){\displaysty N=O(\log$ a_${N})$를 만족하므로, 유한 색인의 대부분의 부분군은 비일치가 되어야 한다$.$^[6]

응결 커널

어떤 산술집단에 대해서도 모듈집단과 같은 질문을 할 수 있다.

순응 부분군 문제: 산술집단이 주어지면, 유한지수 하위집단은 모두 합치된 하위집단이 되는가?null

This problem can have a positive solution: its origin is in the work of Hyman Bass, Jean-Pierre Serre and John Milnor, and Jens Mennicke who proved that, in contrast to the case of ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$, when ${\displaystyle n\geqslant 3}$ all finite-index subgroups in ${\displaystyle {\mathrm{S}\mathrm{L}}_n}$${\displaystyle {}_{}(}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathb {Z} )}$은(는) 일치 하위 그룹이다$$.Bass-Milnor-Serre의 해법은 K 이론과 연계된 대수적 숫자 이론의 한 측면을 포함했다.^[7]반면 Serre의 S ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$회 숫자 필드에 대한$$ 연구는 순진한 질문에 대한 대답이 "아니오"인 반면 약간의 문제 완화는 긍정적인 답을 가지고 있다는 것을 보여준다.^[8]null

이 새로운 문제는 산술 그룹 $[\displaystyle \Gamma }$과(와) 관련된 특정 콤팩트 위상학적 그룹의 관점에서 더 잘 설명되어 있다$.$ $[\displaystyle \Gamma$}에는$$ 사소한 부분군의 인접성의 기반이 유한 지수(확실한 위상)의 부분군 집합인 위상이 있다. 그리고 많은 위상이 있다.er 응집 부분군만 사용하여 동일한 방식으로 정의된 위상.The profinite topology gives rise to a completion ${\displaystyle {\widehat {\Gamma }}}$ of ${\displaystyle \Gamma }$, while the "congruence" topology gives rise to another completion ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$. Both are profinite groups and there is a natural surjective morphism ${\displaystyle \hat{\mathrm{\Gamma }}\to }$${\$}}($$직관적으로 Cauchy 시퀀스가 일치 위상에서 준수할 수 있는 조건은 무궁무진한 위상에 비해 적다.^[9][10]응집 커널 $C{\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$) ${\displaystyle$ C$(\Gamma )}$은 이러한 형태론의 커널이며, 위에서 언급된 응집 부분군 문제는 C${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{\gamma })}$ ${\displaystyle C(\Gamma )}$이(가) 사소한$$ 것인가에 해당한다.결론의 약화는 그 후 다음과 같은 문제로 이어진다.null

일치 부분군 문제: 응결 커널 $C{\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$) ${\displaystyle C(\Gamma )}$은(는) 유한한가$$?

문제가 긍정적인 해결책을 가지고 있을 때, $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$이(가) 일치 부분군 속성을 가지고 있다고$$ 말한다.A conjecture generally attributed to Serre states that an irreducible arithmetic lattice in a semisimple Lie group ${\displaystyle G}$ has the congruence subgroup property if and only if the real rank of ${\displaystyle G}$ is at least 2; for example, lattices in ${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R$$} )}$에는 항상 속성이 있어야 한다$$.null

네거티브 솔루션

Serre의 추측에 따르면, Lie 그룹의 1등급에 있는 격자는 일치 부분군 속성을 갖지 않아야 한다.There are three families of such groups: the orthogonal groups ${\displaystyle \mathrm {SO} (d,1),d\geqslant 2}$, the unitary groups ${\displaystyle \mathrm {SU} (d,1),d\geqslant 2}$ and the groups ${\displaystyle \mathrm {Sp} (d,1),d\geqslant 2}$ (the isomet해밀턴 쿼터 위에 있는 sesquilinar 형태의 ry 그룹)과 예외 그룹 $F{\displaystyle {}_{}^{}}$ 4${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle {20}_{}^{}}$ ${\$단순 거짓말 그룹 목록 참조).일치 부분군 문제의 현재 상태는 다음과 같다.

• $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle d\neq$ 7$}$을(를) 가진 모든 $그룹{\displaystyle \mathrm{}}$ S ${\displaystyle \mathrm{O}(\mathrm{d}}$,${\displaystyle }$1 )$${\$displaystyle \mathrmatr$ {$SO}(d,$1)에 대해 음의 해법(추론 확인)이 있는 것으로 알려져 있다$.$The proof uses the same argument as 2. in the case of ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$: in the general case it is much harder to construct a surjection to ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ the proof is not at all uniform for all cases and fails for some lattices in dimension 7 due to the phenome삼위일체가 ^[11][12]아닌치수 2와 3에서 그리고 더 높은 치수 인수 1과 3의 일부 격자도 적용된다.
• S ${\displaystyle \mathrm{U}}$(${\displaystyle \mathrm{d}}$, 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {SU} (d,1$에서 많은 래티로 알려져 있지만,^[13] 전부는 아니다(주장 2의 일반화를 사용함).
• 그것은 남은 모든 경우에 완전히 개방되어 있다.

포지티브 솔루션

일치 부분군 문제가 긍정적인 해결책을 가질 것으로 예상되는 많은 상황에서 이것이 사실이라는 것이 입증되었다.관련 Lie 그룹의 순위(또는 S-ar산술 그룹의 경우 실제 및 p-adic 요인의 순위 합계)가 최소 2인 경우, 관련 산술 격자에 대해 일치 부분군 속성이 있는 것으로 알려진 대수 그룹의 목록이 여기에 있다.^[14]

• ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 비등방성 그룹(Bass-Milnor-Serre와 $S{\displaystyle \mathrm{}}$ O${\displaystyle (p}$ ,${\displaystyle q}$) ${\displaystyle \mathrm {SO}(p,q)}$은 , ) ${\displaysty \min(p,q)}$$등$)이(가$)$인 경우가 포함된다.
• $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이 아닌 유형의 그룹($$예: 모든 비등방성 형태의 동위 또는 직교 그룹 $⩾{\displaystyle }$ ${\displaystyle \geqslant 2});$
• ${\displaystyle A_{}}$ 유형 ${\$의 외부 형식$($예: 단일 그룹).

$타입{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ n ${\$의 내부 형태 케이스는 여전히$$ 열려 있다.The algebraic groups involved are those associated to the unit groups in central simple division algebras; for example the congruence subgroup property is not known to hold for lattices in ${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$ or ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}($$\mathb {R}\times \mathrm {SL} _{2}(\mathb {R}$ )이$$(가)^[15] 콤팩트한 지수.null

화합 그룹 및 아델 그룹

아델 $A{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은(는${\displaystyle )}$ $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ,$${\$displaystyle \mathb {Q},}$의 모든 조합의 제한 제품이다.null

${\displaystyle \mathb {A} =\mathb {R}\time \prod _{p}\mathb {Q} _{p}}}}}$

where the product is over the set ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ of all primes, ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ is the field of p-adic numbers and an element ${\displaystyle (x,(x_{p})_{p\in {\mathcal {P}}})}$ belongs to the restricted product if and only if for almost all primes $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p$ ${\displaystyle x_{}}$ v ${\$은(는) p-adic 정수의 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 속한다$$.null

$Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 $대수{\displaystyle \mathbf{}}$$$ 그룹 G ${\$을$($를) 지정하면 아델릭 대수 그룹 $G{\displaystyle \mathbf{}(A\mathbb{})}$ ${\displaystyle \mathbf {G}(\mathb {A})$가 잘 정의되어$$ 있다.표준 위상(propertic topology)을 부여할 수 있으며, $G{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이$($가) 선형 대수 그룹인 경우 $A{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$A$} ^{m}}}$의 하위 집합으로서 위상이 된다$.$유한한 아델 $A{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 모든 비아카이전(모든 p-adic 필드)의 제한제품이다$$.null

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle G\mathbf{}}$( ${\displaystyle Q\mathbb{}}$) ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G}(\mathb {Q} )}$이(가) 산술 그룹인$$ 경우, 그 조합 하위 그룹은 다음 속성으로 특징지어진다.${\displaystyle H\subset \Gamma }$ is a congruence subgroup if and only if its closure ${\displaystyle {\overline {H}}\subset \mathbf {G} (\mathbb {A} _{f})}$ is a compact-open subgroup (compactness is automatic) and ${\displaystyle H=\Gamma \cap {\overline {H}}}$. In general thegroup ${\displaystyle \Gamma \cap {\overline {H}}}$ is equal to the congruence closure of ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle \Gamma ,}$ and the congruence topology on ${\displaystyle \Gamma }$ is the induced topology as a subgroup of ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {A} _{f}$$)\}\},$ 특히 일치완료 $({\$은(는) 해당 그룹에서 종료된다.이러한 발언은 S-산술 하위집단에 대해서도 유효하며, S에서가 아닌 모든 시간에 걸쳐 유한한 아델의 링을 제한된 제품으로 대체한다.

More generally one can define what it means for a subgroup ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ to be a congruence subgroup without explicit reference to a fixed arithmetic subgroup, by asking that it be equal to its congruence closure ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}\ca$$p \mathbf {G} (\mathbb {Q} ).}$ Thus it becomes possible to study all congruence subgroups at once by looking at the discrete subgroup ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )\subset \mathbf {G} (\mathbb {A} ).}$ This is especially convenient in the theory of automorphic forms: for example all modern treatments아서-셀버그 미량 공식은 이 아델릭 환경에서 이루어진다.null

메모들

참조

• Lubotzky, Alexander; Segal, Dan (2003). Subgroup growth. Birkhäuser. ISBN 3-7643-6989-2.
• Platonov, Vladimir; Rapinchuk, Andrei (1994). Algebraic groups and number theory. (Translated from the 1991 Russian original by Rachel Rowen.). Pure and Applied Mathematics. Vol. 139. Boston, MA: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-558180-7. MR 1278263.
• Sury, B. (2003). The congruence subgroup problem. Hindustan book agency. ISBN 81-85931-38-0.