라마누잔-피터슨 추측

수학에서, 스리니바사 라마누잔(Srinivasa Ramanujan, 1916, p. 176)으로 인한 라마누잔 추측은 $, 커스프$ 의 푸리에 $계수$ τ(n)에 의해 주어진 라마누잔의 타우 함수가 가중치 12의 δ ((z)를 형성한다고 말합니다.

\Delta (z)=\sum _{n>0}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n>0}\left(1-q^{n}\right)^{24}=q-24q^{2}+252q^{3}-1472q^{4}+4830q^{5}-\cdots ,

$q=e^{2\pi iz}$ 서 $q=e^{2\pi iz}$ = e 2 πiz {\displaystyle q = e^{2\piiz}}는 다음을 만족합니다.

\tau (p) \leq 2p^{11/2}

$p$ 가 소수일 때. 일반화된 라마누잔 추론 또는 라마누잔-Petersson(1930)에 의해 도입된 Petersson 추측은 다른 모듈 형태 또는 자동 형태에 대한 일반화입니다.

라마누잔 L함수

리만 제타 함수와 디리클레 L-함수는 오일러 곱을 만족시키고,

L(s,a)=\prod _{p}\left(1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+\dots \right)

(1)

그리고 그들의 완전한 곱셈적 속성 때문에.

L(s,a)=\prod _{p}\left(1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}\right)^{-1}.

(2)

리만 제타 함수와 디리클레 L-함수 이외에 위의 관계를 만족시키는 L-함수가 있습니까? 실제로, 오토모픽 형태의 L-함수는 오일러 곱(1)을 만족하지만 완전 곱셈 특성을 갖지 않기 때문에 (2)를 만족하지 않습니다. 그러나 Ramanujan은 모듈식 판별자의 L-함수가 수정된 관계를 만족한다는 것을 발견했습니다.

L(s,\tau )=\prod _{p}\left(1-{\frac {\tau (p)}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s-11}}}\right)^{-1},

(3)

여기서τ(p)는 라마누잔의 타우 함수입니다. 용어

{\frac {1}{p^{2s-11}}

완전히 곱셈적인 성질과의 차이로 생각됩니다. 위의 L-함수를 라마누잔의 L-함수라고 합니다.

라마누잔 추측

라마누잔은 다음과 같이 추측했습니다.

$τ$ 는 곱셈적이고,
$τ$ 은 완전 곱셈은 아니지만 $N$ 의 소수 $p$ 와 j에 $대해서$ 는 $τ$ (p $)$ $=$ $τ$ $($ p) $τ$ (p) - p $τ$ (p), 그리고
$τ($ p) ≤ 2p

라마누잔은 (3)의 RHS 분모에서 $u$ = $p$ 의 2차방정식을 관찰하였고,

1-\ tau (p)u+p^{11}u^{2}

항상 많은 예로부터 상상의 뿌리를 가지고 있을 것입니다. 2차 방정식의 근과 계수 사이의 관계는 라마누잔 추측이라고 불리는 세 번째 관계를 주도합니다. 더욱이, 라마누잔 타우 함수의 경우, 위의 2차 방정식의 근을 $α$ 와 $β$ 라고 하면,

\operatorname {Re}(\alpha )=\operatorname {Re}(\beta)=p^{11/2}

리만 가설처럼 보이는군요 이는 $모든$ τ(n)에 대해 약간 약한 추정치를 의미합니다. $즉$ , 모든 ε에 대해 > 0:

{\displaystyle O\left(n^{11/2+\varepsilon}\right)}.

1917년 L. 모델은 복잡한 분석의 기법, 구체적으로 현재 Hecke 연산자로 알려진 기법을 사용하여 첫 번째 두 관계를 증명했습니다. 세 번째 진술은 Deligne(1974)에 의한 Weil 추측의 증명으로부터 이어졌습니다. 그것이 결과라는 것을 보여주기 위해 필요한 공식은 섬세했고, 전혀 명백하지 않았습니다. 쿠가 미치오의 작품으로 사토 미키오, 시무라 고로, 이하라 야스타카 등이 출연하였고, 딜리뉴(1971)가 뒤를 이었습니다. 연관성의 존재는 에탈 코호몰로지 이론의 결과가 도출되던 1960년대 후반에 일부 깊은 연구에 영감을 주었습니다.

라마누잔-모듈 형식에 대한 피터슨 추측

1937년 Erich Hecke는 Hecke 연산자를 사용하여 SL $($ 2, Z)의 이산 부분군 γ의 자동 L-함수에 대한 모델의 증명 방법을 일반화했습니다. 모든 모듈 형식에 대해

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}\qquad q=e^{2\pi iz},

디리클레 시리즈를 구성할 수 있습니다.

\varphi (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.

γ≥에 대한 $중량$ k φ 2의 모듈 형태 f( $z)$ 의 경우, a = O(n)이기 $때문$ 에 φ(s)는 Re $($ s) > k에서 $절대적$ 으로 수렴합니다. $f$ 는 가중치 $k$ 의 모듈 형태이므로 ( $s$ - $k)$ φ는 $전체$ 로 밝혀지고 $R$ (s) =( $2$ π) γ φ는 다음 함수식을 만족합니다.

R(k-s)=(-1)^{k/2}R(s);

이것은 1929년에 Wilton에 의해 증명되었습니다. $f$ 와 φ 사이의 대응 관계는 1 대 1입니다( $a$ = (- $1$ ) Res R(s)). x > 0인 $경우$ , g( $x)$ = f(ix) -a라고 하면, g(x)는 Mellin 변환을 통해 R(들)과 관계가 있습니다.

R(s)=\int _{0}^{\infty }g(x)x^{s-1}\,dx\Leftrightarrow g(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\operatorname {Re} (s)=\sigma _{0}}R(s)x^{-s}\,ds.

이 대응은 위 함수 방정식을 만족하는 디리클레 급수와 $SL(2,$ $Z$ )의 이산 부분군의 자동형 형태를 연관시키는 것입니다 $.$

사례 k ≥ 3 Hans Petersson은 Petersson 메트릭이라고 불리는 모듈 형태의 공간에 대한 메트릭을 도입했습니다(Weil-Petersson 메트릭도 참조). 이 추측은 그의 이름을 따서 붙여졌습니다. Petersson 메트릭에 따르면 모듈 형태의 공간에 대한 직교성을 커스프 형태의 공간과 그 직교 공간으로 정의할 수 있으며 유한 차원을 가지고 있습니다. 또한 Riemann-Roch 정리를 사용하여 홀로모픽 모듈러 형식의 공간의 차원을 구체적으로 계산할 수 있습니다(모듈러 형식의 차원 참조).

Deligne(1971)는 Iichler-Simura 동형을 사용하여 라마누잔 추측을 나중에 증명한 Weil 추측으로 축소했습니다. 더 일반적인 라마누잔-합동 부분군에 대한 타원 모듈 형태 이론에서 홀로모픽 커스프 형태에 대한 피터슨 추측은 지수 ( $k$ - $1)/2$ 로 유사한 공식을 갖는데, 여기서 $k$ 는 형태의 무게입니다. 이러한 결과는 Deligne & Serre (1974)의 결과인 $경우$ k = $1$ 을 제외하고 Weil 추측에서도 따릅니다.

라마누잔-마스 형태에 대한 피터슨 추측은 완전 형식의 경우에 잘 작동하는 Deligne의 방법이 실제 분석 사례에서는 작동하지 않기 때문에 여전히 열려 있습니다(2022년 기준).

라마누잔-자동 형태에 대한 피터슨 추측

사타케(Satake, 1966)는 라마누잔족을 재구현하였습니다. $GL(2)$ 에 대한 오토모픽 표현의 관점에서 피터슨 추측은 오토모픽 표현의 로컬 구성 요소가 주계열에 있다고 말하며 이 조건을 라마누잔의 일반화로 제안했습니다.다른 그룹의 자동 형태에 대한 피터슨 추측. 이것을 말하는 또 다른 방법은 커스프 형태의 국부적인 구성 요소를 강화해야 한다는 것입니다. 그러나 여러 저자는 무한대의 성분이 강화되지 않은 이방성 그룹에 대한 반례를 발견했습니다. Kurokawa(1978)와 Howe & $Piatetski-Shapiro$ (1979)는 표현 θ과 관련하여 거의 모든 곳에서 비강성인 단일 그룹 U $(2, 1)$ 와 심플렉틱 그룹 $Sp(4)$ 에 대한 자동형 형태를 구성함으로써 일부 준분할 및 분할 그룹에서도 추측이 거짓임을 보여주었습니다.

반례가 발견된 후, Piatetski-Shapiro(1979)는 추측의 재구성이 여전히 유지되어야 한다고 제안했습니다. 일반화된 라마누잔 추측의 현재 공식은 연결된 환원 그룹의 전 세계적으로 일반적인 커스피달 자동 모픽 표현에 대한 것이며, 여기서 일반적인 가정은 표현이 휘태커 모델을 인정한다는 것을 의미합니다. 그러한 표현의 각 로컬 구성 요소를 강화해야 한다고 명시되어 있습니다. 랭글런즈는 $GL(n)$ 의 오토모픽 표현의 대칭적인 힘의 기능을 설정하면 라마누잔의 증명을 얻을 수 있다는 것을 관찰했습니다.피터슨 추측.

숫자 필드 위의 라마누잔 경계

수 필드의 경우 일반화된 라마누잔 추측에 대해 가능한 한 최선의 경계를 얻는 것은 많은 수학자들의 관심을 끌었습니다. 각각의 개선은 현대 정수론의 세계에서 획기적인 사건으로 여겨집니다. $GL(n$ )에 대한 라마누잔 경계를 이해하기 위해서는 단일 커스프달 오토모픽 표현을 고려해야 합니다 $.$

\pi =\bigotsomething \pi _{v}

번스타인-젤레빈스키 분류는 각각의 $p-아딕$ π가 표현으로부터 단일 포물선 유도를 통해 얻어질 수 있다는 것을 알려줍니다.

\tau_{1,v}\tomething \cdots \tomething \tau_{d,v}

여기서 각 $\tau _{i,v}$ τ $\tau _{i,v}$ i, v ${\displaystyle \tau$ _{i,v}}는 V라는 $자리$ 위에 있는 GL(n $)$ 을 $표현$ 한 것입니다.

\tau _{i_{0},v}\때론 \left \det \right _{v}^{\sigma _{i,v}

τ $\tau _{i_{0},v}$ 0, v {\displaystyle \tau _{i_{0}}, v}을(를) 강화했습니다. n개의 ≥ 2가 주어졌을 때, 라마누잔 결합은 다음과 같은 수 δ ≥ 0입니다.

\max_{i}\왼쪽 \sigma _{i,v}\오른쪽 \leq \delta .

랭글런즈 분류는 아치메데스 지역에 사용할 수 있습니다. 일반화된 라마누잔 추측은 결합된 δ = 0과 같습니다.

Jacquet, Piatetski-Shapiro & Shalika(1983)는 일반 선형군 GL(n)에 대해δ ≤ 1/2의 첫 번째 바운드를 얻으며, 이를 사소 바운드라고 합니다. Luo, Rudnick & Sarnak(1999)은 임의의 n과 임의의 수 필드에 대해 현재 δ ≡ $1/ 2$ - (n+1)의 최고의 일반 경계를 가지고 있는 중요한 돌파구를 만들었습니다. $GL(2$ )의 경우 $,$ Kim과 Sarnak는 수 필드가 유리수 필드일 때 δ = 7/64의 돌파 경계를 설정했으며, 이는 Kim(2002)의 Langlands를 통해 얻은 대칭적인 네 번째에 대한 함수성 결과의 결과입니다.샤히디 방법. Kim-Sarnak 경계를 임의의 숫자 필드로 일반화하는 것은 Blomer & Brumley(2011)의 결과에 의해 가능합니다.

$GL(n$ ) 이외의 환원 그룹의 경우 $,$ 일반화된 라마누잔 추측은 랭글런즈 함수성의 원리를 따를 것입니다. 중요한 예는 Cogdell et al.에 의해 가능한 최상의 경계를 얻은 고전적인 그룹입니다. (2004) 랭글런즈 펑터럴 리프트의 결과로.

라마누잔-전역 함수장에 대한 피터슨 추측

글로벌 함수장에 대한 $GL(2)$ 에 대한 글로벌 랭글런즈 대응에 대한 Drinfeld의 증명은 라마누잔의 증명으로 이어집니다.피터슨 추측. Lafforgue(2002)는 Drinfeld의 shtuka 기법을 $긍정적$ 인 특성으로 GL( $n)$ 의 경우로 성공적으로 확장하였습니다. 랭글런즈를 확장하는 다른 기술을 통해서-글로벌 함수 필드를 포함하는 샤히디 방법, Lomelí(2009)는 고전 그룹에 대한 라마누잔 추측을 증명합니다.

적용들

라마누잔 추측의 응용은 Lubotzky, Phillips 및 Sarnak에 의한 라마누잔 그래프의 명시적 구성입니다. 실제로 "라마누잔 그래프"라는 이름은 이러한 연관성에서 유래되었습니다. 또 다른 응용은 라마누잔-일반 선형 그룹 $GL(n)$ 에 대한 피터슨 추측은 일부 이산 그룹에 대한 라플라시안의 고유값에 대한 셀버그의 추측을 의미합니다.

참고문헌

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