헤케 연산자

수학에서 특히 모듈형식의 이론에서 에리히 헤케(1937a,1937b)에 의해 연구된 헤케 연산자는 모듈형식의 벡터 공간 구조와 보다 일반적인 자동모형적 표현에 중요한 역할을 하는 어떤 종류의 "평균" 연산자다.

역사

모르델(1917년)은 헤케(1937a,1937b)가 제시한 일반 이론보다 앞서 라마누잔의 특수한 코프 형태에 관한 논문에서 모듈형 형태로 헤케 연산자를 사용했다.모르델은 라마누잔 형태의 계수를 표현하면서 라마누잔 타우 함수를 증명했다.

${\displaystyle \Delta(z)=q\left(\prod _{n=1}^{n1}{n}\flight)^{24}=\sum _{n=1}{n=1}^{n}\inft q^{n)},\quad q=e^2\piiz}}$

승수 함수:

${\displaystyle \tau(mn)=\tau(n)\tau(n)\text{{{}(m,n)=1.}$

이 아이디어는 일부 개별 헤케 연산자를 실현하는 모듈형 곡선들 사이의 대수학적 대응들을 취급한 아돌프 허위츠의 초기 연구로 거슬러 올라간다.

수학적 설명

헤케 연산자는 여러 맥락에서 실현될 수 있다.가장 간단한 의미는 조합(combinatorial)으로, 즉 고정된 순위의 격자 위에 정의된 특정 정수 n의 일부 함수 f(λ)를 취하는 것이다.

${\displaystyle \sum f(\Lambda ')}$

지수 n의 λ의 부분군인 λ의 모든 λ의 합계를 인수한다.예를 들어, n=2와 2차원의 경우, 그러한 ′′은 세 가지 있다.모듈형 형식은 격자의 특정한 종류의 기능으로, 무한대의 중간 성장뿐만 아니라 분석적 기능과 동질성을 만드는 조건의 영향을 받는다. 이러한 조건은 합계에 의해 보존되며, 따라서 헤케 연산자는 주어진 중량의 모듈형 형태의 공간을 보존한다.

헤케 연산자를 표현하는 또 다른 방법은 모듈 그룹의 이중 코세트를 이용하는 것이다.현대 아델릭 접근법에서, 이것은 일부 소형 하위그룹에 대해 두 배의 코세트를 의미한다.

명시식

M을_m 결정인자 m과 integral = M을₁ 2×2 일체형 행렬의 집합으로 하고 완전한 모듈형 그룹 SL(2, Z)이 되도록 한다.모듈형 형태인 k 중량의 f(z)가 주어진 경우, mth Heeck 연산자는 공식에 의해 작용한다.

${\displaystyle T_{m}f(z)=m^{k-1}\sum _{\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma \backslash M_{m}}(cz+d)^{-k}f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right),}$

여기서 z는 상부 반면에 있고 정규화 상수 m은^k−1 정수 푸리에 계수가 있는 형식의 영상에 정수 푸리에 계수가 있는지 확인한다.이것은 양식으로 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle T_{m}f(z)=m^{k-1}\sum _{a,d}0,ad=m}{\frac {1}{d^{k}}\sum _{b{pmod {d}f\{\flack{az+b}{d}}\rig}\right}}}}}}}}}}}$

F_m(z) = F(z)의 푸리에 계수에 대한 공식으로 이어지는 F(z) = z aq_nⁿ_nⁿ:

${\displaystyle b_{n}=\sum _{r}0,r(m,n)}r^{k-1a_{mn/r^{2}.}$

이 명시적 공식에서 서로 다른 지수를 가진 헤케 연산자가 통근하고, a₀ = 0이면₀ b = 0이므로, 중량 k의 정점 형태의 아공간 S가_k 헤케 연산자에 의해 보존된다는 것을 알 수 있다.만약 a (비 0) cusp form f가 고유값 λ을_m 가진 모든 헤케 연산자 T의_m 동시_m 고유형식이라면, a = aa와_m1 0 0이다₁.Heck₁ eigenforms는 a = 1로 정규화된다.

${\displaystyle T_{m}f=a_{m}f,\quad a_{m}a_{n}=\sum _{r>0,r(m,n)}r^{k-1a_{mn/r^{2}},\m,n\geq 1.}$

따라서 정수 중량의 정규화된 쿠시달 헤케 고유 형태의 경우, 이들의 푸리에 계수는 헤케 고유값과 일치한다.

헤케 알헤브라스

헤케의 알헤브라는 "헤케 알헤브라스"라고 불리며, 같은 반지다.고전적인 타원형 모듈형 형태 이론에서, 주어진 무게의 정점 형태 공간에 작용하는 수준으로 n coprime을 가진 Heck 연산자 T는_n 피터슨 내측 제품에 관하여 자가 적응한다.따라서 스펙트럼 정리는 이러한 헤케 연산자에 대한 고유 기능인 모듈형식의 기초가 있음을 암시한다.이 기본 형태는 각각 오일러 제품을 가지고 있다.더 정확히 말하면, 그것의 멜린 변환은 각각의 primary p에 대한 국부적 요소를 가진 오일러 제품을 가지고 있는 디리클레트 시리즈로, p의^−s 2차 다항식인 헤케 다항식의^{[clarification needed]} 역이다.Mordell이 처리한 경우, 전체 모듈 그룹에 대한 12중량의 첨두 형태의 공간은 1차원이다.라마누잔 형태는 오일러 제품을 가지고 있으며 τ(n)의 승수를 확립한 것에 따른다.

때때로 헤케 연산자에 대한 링크가 완전히 분명한 것은 아니지만, 다른 관련 수학적인 링크는 "헤케 알헤브라스"라고도 불린다.이 알헤브라는 땋은 그룹의 알헤브라의 특정 인용구를 포함한다.이 교환 연산자 대수학의 존재는 모듈형식과 일반화의 조화 분석에 중요한 역할을 한다.

참고 항목

• 아이클러-시무라 화합 관계

참조

• Apostol, Tom M. (1990), Modular functions and Dirichlet series in number theory (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97127-8 (제8장 참조)
• "Hecke operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Hecke, E. (1937a), "Über Modulfunktionen und die Dirichletschen Reihen mit Eulerscher Produktentwicklung. I.", Mathematische Annalen (in German), 114: 1–28, doi:10.1007/BF01594160, ISSN 0025-5831, Zbl 0015.40202
• Hecke, E. (1937b), "Über Modulfunktionen und die Dirichletschen Reihen mit Eulerscher Produktentwicklung. II.", Mathematische Annalen (in German), 114: 316–351, doi:10.1007/BF01594180, ISSN 0025-5831, Zbl 0016.35503
• Mordell, Louis J. (1917), "On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions.", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19: 117–124, JFM 46.0605.01
• 장-피에르 세레 산수 과목.
• Don Zagier, Elliptic Modular Forms 및 그 응용 프로그램, 모듈형 양식, Universitext, Springer, 2008 ISBN 978-3-540-74117-6의 1-2-3