앳킨-레너 이론

수학에서는 앳킨-레너 이론은 Heckey 연산자의 이론이 더 높은 수준으로 확장될 수 있는 방식으로 그것들이 주어진 정수 수준 N에서 발생할 때를 기술하는 모듈형 형태 이론의 일부다.

Atkin-Lehner 이론은 새로운 형태의 개념에 기초하는데, 이는 주어진 레벨 N에서 'new' 형태의 보조 형태로서 레벨은 내포된 결합 하위 그룹이다.

${\displaystyle \Gamma _{0}(N)=\left\{\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{\text}SL}}(2,\mathbf {Z}):c\equiv 0{\pmod{{N}\right\}}}}$

모듈 그룹의 N.D.O.N.O.S.O.S.O.S.O.S.S즉, M이 N을 나누면 γ₀(N)은 γ₀(M)의 부분군이다.γ₀(N)에 대한 구형 형식은 레벨 M의 모듈형 형태 g에 대해 레벨 G의 모듈형 형태에 대해 레벨 G(d τ)의 레벨 N의 모듈형 형태 f(τ)이며, 여기서 d는 N/M을 나눈다.새로운 형태는 N 레벨의 모듈형 형태의 벡터 서브공간으로 정의되며, 구형식이 확장한 공간, 즉 피터슨 내측 제품에 관한 직교공간을 보완한다.

모든 서류의 공간에 작용하는 Heeck 연산자는 새로운 형태의 아공간을 보존하며, 이 아공간으로 제한될 때 (Petersson 내부제품에 관한) 자기 적응형 및 통근 연산자(Petersson 내부제품에 관한)이다.따라서, 그들이 생성하는 새로운 형태의 연산자의 대수학은 상호 작용하는 유한 차원 C*-알지브라(computive dimension C*-algebra)이며, 그러한 연산자의 스펙트럼 이론에 의해, 완전한 헤케 대수학을 위한 고유형식으로 구성된 새로운 형태의 공간에 대한 근거가 존재한다.

애트킨-레너 비자발성

N의 홀 구분자 e를 고려하십시오. 이는 e가 N을 나누는 것뿐만 아니라 e와 N/e도 비교적 소수라는 것을 의미한다(종종 e N으로 표시됨).N이 뚜렷한 소수점일 경우 N의 홀 구분점이 2개^s 있는데, 예를 들어 N = 360 = 2³ 2335인²¹ 경우 N의 8개 홀 구분자는 1, 2, 3³², 5¹, 2³⋅3², 2⋅5¹, 3³²⋅5, 2³⋅5¹ 및 2⋅3²⋅5이다¹.

N의 각 홀 구분선 e에 대해 폼의 적분 행렬 W를_e 선택하십시오.

${\displaystyle W_{e}={\begin{pmatrix}ae&b\\cN&de\end{pmatrix}}}$

멈춤_e W = e.이러한 행렬에는 다음과 같은 속성이 있다.

• W 원소는_e γ₀(N): 즉, A가 γ₀(N)에 있으면 WAW는_e⁻¹
  _e γ₀(N)에 있다.
• 결정인자² e가 있는 매트릭스 W는²
  _e A가₀ ((N)에 있는 eA로 기록할 수 있다.우리는 스칼라 e와 매트릭스 A가 모두 사소한 행동을 하는 결합에 의한 )(N)에_e0 대한 W의 작용에서 오는 중단 서식에 관한 운영자들에게 관심을 가질 것이다.따라서, 동등²
  _e W = eA는 정체성에 대한 W_e 제곱의 작용을 암시한다. 이러한 이유로, 결과 연산자를 Atkin–이라고 부른다.레너 비자발.
• e와 f가 모두 N의 홀 구분자일 경우, W와_ef W 통근 모듈로 ((N₀)이다.또한 g를 홀 구분자 g = ef/(e,f)로 정의하면,² 그들의_g 제품은 W modulo γ₀(N)과 동일하다.
• W_e 대신 다른 매트릭스 _eW w을 선택했다면 W_{e e}and _eW determine modulo γ₀(N)로 밝혀졌으므로 W와_e W가 동일한 Atkin–을 결정할 것이다.레너 비자발.

우리는 이 속성들을 다음과 같이 요약할 수 있다.행렬₀ W와_e 함께 together(N)에 의해 생성된 GL(2,Q)의 부분군을 고려한다. γ₀(N)⁺이 그 지수를 양의 스칼라 행렬로 나타내도록 한다.그₀ 다음 ((N)은^s 지수 2의₀ ((N)⁺의 정규 부분군이다(여기서 s는 N의 구별되는 주요 인자의 수). 지수 그룹은 (Z/2Z)^s에 이형성이며, 앳킨–을 통해 서프 형태에 작용한다.레너 비자발.

참조

• 모카누, 안드리아.(2019).γ₁(m)-모형형태의 애트킨-레너 이론
• Atkin, A. O. L.; Lehner, J. (1970), "Hecke operators on Γ₀ (m)", Mathematische Annalen, 185 (2): 134–160, doi:10.1007/BF01359701, ISSN 0025-5831, MR 0268123
• 하라다 고이치로(2010) 유한그룹 '문샤인' 13페이지, 유럽수학협회 ISBN 978-3-03719-090-6 MR2722318