일반화된 다변량 로그 감마 분포

확률론과 통계에서 일반화된 다변량 로그감마(G-MVLG) 분포는 드미르한과 하무르카로글루가^[1] 2011년 도입한 다변량 분포다.G-MVLG는 유연한 분배다.왜도와 첨도는 분포의 모수에 의해 잘 제어된다.이를 통해 분포의 산포를 제어할 수 있다.이 특성 때문에, 특히 정규 분포와 같은 위치 척도 분포 계열에서 가능성이 없는 경우, 베이시안 분석에서 분포는 공동 사전 분포로 효과적으로 사용된다.

접합 확률밀도함수

If ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}\sim \mathrm {G} {\text{-}}\mathrm {MVLG} (\delta ,\nu ,{\boldsymbol {\lambda }},{\boldsymbol {\mu }})}$, the joint probability density function (pdf) of ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}=(Y_{1},\dots ,Y_{k})}$ is given as t그는 다음과 같이 말했다.

${\displaystyle f(y_{1},\dots ,y_{k})=\delta ^{\nu }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-\delta )^{n}\prod _{i=1}^{k}\mu _{i}\lambda _{i}^{-\nu -n}}{[\Gamma (\nu +n)]^{k-1}\Gamma (\nu )n!}}}\exp {\bigg \{}{{i=1}^{k}\sum _{i}y_{i}-\sum _{i=1}^{i=1}{i=1}k}{1}{1}{{1}{{i}}}}}{i}y_{i}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{bigg,}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

where ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{k},\nu >0,\lambda _{j}>0,\mu _{j}>0}$ for ${\displaystyle j=1,\dots ,k,\delta =\det({\boldsymbol {\Omega }})^{\frac {1}{k-1}},}$ and

${\displaystyle{\boldsymbol{\Omega}}=\left({\begin{배열}{cccc}1&,{\sqrt{\mathrm{복근}(\rho_{12})}}&\cdots &,{\sqrt{\mathrm{abs}(\rho_{1k})}}\\{\sqrt{\mathrm{abs}(\rho_{12})}}&1&, \cdots &,{\sqrt{\mathrm{abs}(\rho_{2k})}}\\\vdots, \vdots &, \ddots & &, \vdots((\rho_{1k})}}&,{\sqr.T{\mathrm{abs}(\rho_{2k})}}&\cdots &amp을 말한다.1\end{array}\오른쪽),}$

${\displaystyle \rho _{ij}}$ is the correlation between ${\displaystyle Y_{i}}$ and ${\displaystyle Y_{j}}$, ${\displaystyle \det(\cdot )}$ and ${\displaystyle \mathrm {abs} (\cdot )}$ denote determinant and absolute value of inner expression, respectively, and ${\displaystyle \mathit{g}}$$=$(${\displaystyle \Delta ,}$ ${\displaystyle \nu }$,${\displaystyle {\mathit{}}^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}}$ ) {\$displaystyle$ {\$boldsymbol{g$}=(\delta$,\nu$,{\$boldsymbol${\$lambda }},{\boldsymbol{\mbol$}}}}}}에는$$ 분포의 파라미터가 포함되어 있다$.$

특성.

조인트 모멘트 생성 기능

G-MVLG 분배의 공동 모멘트 생성 기능은 다음과 같다.

${\displaystyle M_{\boldsymbol {Y}}({\boldsymbol {t}})=\delta ^{\nu }{\bigg (}\prod _{i=1}^{k}\lambda _{i}^{t_{i}/\mu _{i}}{\bigg )}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (\nu +n)}{\감마(\nu )n!}}}{n}\prod _{i=1}^{k}{\frac {\gamma(\nu +n+t_{i}/\mu _{i}}}{\gamma(\nu +n)}}}.}$

한계 중심 모멘트

${\displaystyle {\text{r}}^{}}$ ${\$ $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 한계$$ 중심 모멘트는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle {\mu _{i}}'_{r}=\left[{\frac {(\lambda _{i}/\delta )^{t_{i}/\mu _{i}}}{\Gamma (\nu )}}\sum _{k=0}^{r}{\binom {r}{k}}\left[{\frac {\ln(\lambda _{i}/\delta )}{\mu _{i}}}\right]^{r-k}{\frac {\partial ^{k}\Gamma (\nu +t_{i}/\mu _{i})}{\partial t_{i}^{k}}}\right]_{t_{i}=0}.}$

한계 기대값 및 분산

한계 기대값 ${\displaystyle {Yi}_{}}$ ${\$은(는$$) 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {E}(Y_{i})={\frac {1}{{1}{\mu_{i}}{}}{\big [}\lnn(\lambda _{i}/\delta )+\digamma(\nu ){\big ]}}}}}}},$

${\displaystyle \operatorname {var}(Z_{i})=\digamma ^{{[1](\nu )/(\mu _{i}^{2}}:$

여기서 $ϝ{\displaystyle }$ (${\displaystyle \nu }$ ) ${\displaystyle \digamma (\nu )}$ 및$$ $ϝ{\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {]}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\nu }$) ${\displaystyle$\nu $^{[1](\nu )}$은 각각$$$\nu {\displaystyle }$ ${\displaysty \nu }$에서 digamma 및 trigamma 함수의 값이다$$.

관련 분포

데미란과 하무르카로글루는 G-MVLG 분포와 Gumbel 분포(유형 I 극값 분포)의 관계를 확립하고, G-MVG(일반화된 다변량 Gumbel) 분포의 다변량 형태를 제공한다.The joint probability density function of ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}\sim \mathrm {G} {\text{-}}\mathrm {MVGB} (\delta ,\nu ,{\boldsymbol {\lambda }},{\boldsymbol {\mu }})}$ is the following:

${\displaystyle f(t_{1},\filename,t_{k};\filename,\nu,{\nu,{\nosymbol{\da },{\mu }))=\delta ^{\nu }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-\delta )^{n}\prod _{i=1}^{k}\mu _{i}\lambda _{i}^{-\nu -n}}{[\Gamma (\nu +n)]^{k-1}\Gamma (\nu )n!}}\exp {\bigg \{}-(\nu +n)\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}t_{i}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}}}\exp\{-\mu _{i}t_{i}\}{\bigg \}},\quad t_{i}\in \mathbb {R} .}$

Gumbel 분포는 위험 분석 분야에서 광범위한 응용 분야를 가지고 있다.따라서, G-MVGB 분포는 이러한 유형의 문제에 적용될 때 유익해야 한다.

참조