상호 상관

컨볼루션, 교차 상관 및 자기 상관의 시각적 비교.

함수

f와 관련된 연산의 경우, f의

높이

가 1.0이라고 가정하면, 5개의 다른 지점에서 결과의 값은 각 점 아래의 음영 영역으로 표시됩니다.또, 이 예에서는,

f

의 수직 대칭이

f의

f\star g

와

f*g

f*g

f의 g

가 같은

f\star g

f*g

입니다.

신호 처리에서 교차 상관이란 두 계열의 유사성을 측정하는 것으로, 한 계열이 다른 계열에 비해 변위하는 함수입니다.이것은 슬라이딩 도트 제품 또는 슬라이딩 내부 제품이라고도 합니다.일반적으로는 더 짧고 알려진 기능을 찾기 위해 긴 신호를 검색할 때 사용됩니다.패턴 인식, 단일 입자 분석, 전자 단층 촬영, 평균화, 암호 분석 및 신경 생리학에 응용됩니다.상호 상관 관계는 본질적으로 두 함수의 수렴과 유사합니다.신호 자체와의 상호 상관 관계인 자기 상관에서는 항상 0의 지연에 피크가 존재하며 그 크기가 신호 에너지입니다.

확률과 통계학에서 상호상관이라는 용어는 두 $\mathbf {X}$ 벡터 $\mathbf {X}$ X $(\displaystyle$ \ $mathbf$ $\mathbf {Y}$ {X $})$ 와 $\mathbf {Y}$ Y $(\displaystyle$ \ $mathbf$ {Y $\mathbf {Y}$ 의 엔트리 사이의 상관관계를 나타내며, 랜덤 $\mathbf {X}$ X(\ $displaystyle \mathbf {X})$ 의 $\mathbf {X}$ 상관관계는 X(\displaystyle \mathbf {X})의 $\mathbf {X}$ 간의 상관관계이다. $\mathbf {X}$ $X$ 의 상관행렬을 구성하는 X $(\$ $displaystyle$ \ $mathbf$ ${$ $X$ 자체 $.$ X(\displaystyle \ $mathbf {X})$ 와 $\mathbf {X}$ $\mathbf {Y}$ Y(\ $displaystyle \mathbf {Y})$ $\mathbf {X}$ $\mathbf {Y}$ 시계열로 반복적으로 실현되는 스칼라 랜덤 변수인 경우 다양한 상관행렬의 경우 $\mathbf {X}$ $({$ $displaystyle \mathbf$ ${X$ 의 $\mathbf {X}$ $\mathbf {X}$ 상관이라고 하며, X $({$ {X $})$ 와 $\mathbf {X}$ Y $({$ 의 $\mathbf {Y}$ $\mathbf {X}$ 상호 상관이라고 합니다.확률과 통계에서 상관의 정의는 항상 -1과 +1 사이의 값을 갖는 방식으로 표준화 요인을 포함합니다.

X $(\displaystyle$ X $)$ 와 $X$ Y $(\displaystyle$ Y $)$ 가 $Y$ 각각 $확률밀도함수$ f(\ $displaystyle$ f $)$ 와 $f$ g $(\$ $displaystyle g)$ 를 갖는 $Y-X$ 두 개의 독립적인 랜덤 변수인 $경우$ $,$ $Y-X$ 의 확률밀도는 상호 상관(신호 p)에 의해 정식으로 주어진다.processing sense) $style$ f $\star$ g $f\star g$ 단, 이 용어는 확률 및 통계에서는 사용되지 않습니다. $f*g$ , f $f(t)$ $)$ { $displaystyle$ f $*g}$ (f( t) { $displaystyle$ f $(t)}$ $g(-t)$ g $g(-t)$ - $)$ { $displaystyle$ g $(-t$ 의 $f(t)$ 상관 관계와 동일) {\ $displaystyle$ X $+Y$ 의 확률 밀도 함수를 얻을 수 있습니다.

결정론적 신호의 상호 상관

연속 $함수$ f {\ $displaystyle$ f $}$ 및 $g$ {\ $displaystyle$ g $g$ 의 경우 교차 상관 관계는 다음과 ^[1]^[2]^[3]같이 정의됩니다.

(f\star g) (\displayq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t)}}g(t+\interline ),dt

(제1호)

와 동등하다.

(f\star g)(\displayq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t-\star )}}g(t),dt

${\overline {f(t)}}$ 서 ${\overline {f(t)}}$ f ( ${\overline {f(t)}}$ ) $¯$ { { $displaystyle { f$ ( t ) $f(t)$ } $f(t)$ where ${\overline {f(t)}}$ $f(t)$ f ( t )의 복소 활용을 나타내고 $,$ $\tau$ { $displaystyle$ $\$ $display$ $f(t)$ 는 $\tau$ $\tau$ 치환 또는 지연이라고 합니다.특정 $\tau$ 에서 최대 상호 상관을 갖는 고 상관 $f$ $\$ $displaystyle$ $g$ 와 $f$ $g$ g $\$ $displaystyle$ g의 경우t $t+\tau$ $displaystyle$ $\tau$ $t$ 에서 f $\displaystyle$ f의 $f$ $t$ $f$ 은 t + $t+\tau$ 에서g\ $displaystyle$ g에서도 $g$ $g$ 합니다 $.$ $displaystyle$ g는 $g$ $"\displaystyle \displaystyle$ f $\tau$ 로 $f$ $f$ 됩니다.

f{\ $displaystyle$ f $}$ $g$ g {\ $displaystyle$ g $}$ 가 $g$ 모두 $주기$ T {\ $displaystyle$ $-\infty$ T $T$ 의 연속된 주기 함수인 $경우$ , - $-\infty$ {\ {\ $infty$ $}$ 에서 $\infty$ {\(\ $displaystyle$ \ $infty }$ 로의 $\infty$ $[t_{0},t_{0}+T]$ 적분은 $[t_{0},t_{0}+T]$ 의 임의의 $[t_{0},t_{0}+T]$ 간격 $[t_{0},t_{0}+T]$ $[t_{0},t_{0}+T]$ 0 $[t_{0},t_{0}+T]$ + $T$ ] { $0}$ { $0}$ 에 걸친 적분으로 대체됩니다. $길이$ T \ $displaystyle$ T $T$ :

\displaystyle(f\star g)\\displayq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t)}}}g(t+\tau), dt}

(제2호)

와 동등하다.

\displaystyle(f\star g)\\displayq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t-\tau)}}}g(t), dt}

마찬가지로 이산 함수의 경우 교차 상관 관계는 다음과 ^[4]^[5]같이 정의됩니다.

(f\star g)[n]\\sum _{m=-\infty}^{\infty}{\overline {f[m]}g[m+n]

(제3호)

와 동등하다.

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]

)

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]

[

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]

]

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]

∑

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]

-

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]

[ [

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]

f

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]

[

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]

- n ]

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]

g [

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]

[

m

]{

displaystyle

( f \

star g

)[ n

]\\

\

sum _

{ m

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]

= - \

infty }{

\

infty }{

\ }{ \

overline

{

f

[ m -

n

[ m

。

유한 이산 $f,g\in \mathbb {C} ^{N}$ f $f,g\in \mathbb {C} ^{N}$ $f,g\in \mathbb {C} ^{N}$ C $f,g\in \mathbb {C} ^{N}$ \ $displaystyle$ f $,g\in \mathbb {C}^{N$ 의 경우, (원형) 상호 상관은 다음과 ^[6]같이 정의됩니다.

(f\star g)[n]\\displayq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}g[(m+n)_{\text{mod}}~N}}}

(제4호)

와 동등하다.

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

g

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

) [

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

]≜

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

∑

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

m

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

0

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

-

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

1

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

[ (

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

-

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

)

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

mod N

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

]{

display style

(

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

f \ star

g

)[ n

]\\\ sum _

{

m =

0 }^{

N

- 1 }{\

overline

{ f[ (

m

- n )

]

}

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

}

(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]

유한 이산 $f\in \mathbb {C} ^{N}$ f $f\in \mathbb {C} ^{N}$ C $f\in \mathbb {C} ^{N}$ \ $displaystyle$ f $\in$ \ $mathbb { C$ } ^ { $N$ } , $g\in \mathbb {C} ^{M}$ $g\in \mathbb {C} ^{M}$ \ $displaystyle g\in$ \ mathbb { C $}$ ^ { $M$ 의 경우 커널 상호 상관관계는 다음과 ^[7]같이 정의됩니다.

(f\star g)[n]\\sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}K_{g}[(m+n)_{\text{mod}}~N}}}

(제5호)

$K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ 서 K g $K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ [ $K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ ( $K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ g , $K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ ( $K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ ) $K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ , $K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ ( $K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ ) , T $K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ ( $K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ ) , $K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ , $K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ ( $K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ , $K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ - $K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ ( $K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ ) $]{$ $display K_{g$ } = [ $k$ ( $g$ , $T_{0}$ ( g ) , $k$ ( $g$ ) , $T$ _ { 1 ( g ) $）$ 、 \ $dots$ 、 $athbb {R} }$ $T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}$ $T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}$ $T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}$ $T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}$ ) : C $T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}$ $T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}$ $T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}$ M \ $display T_{i}(\cdot$ )\ $display$ \ $mathbb {C}$ ^{ $M}\to$ \mathbb {C $} ^{M$ }은 $T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}$ 아핀 변환입니다.

구체적으로는 $T_{i}(\cdot )$ $T_{i}(\cdot )$ $)({displaystyle T_{i}(cdot)}$ 는 $T_{i}(\cdot )$ 원형변환, 회전변환, 스케일변환 등이 가능하다.커널 상호 상관은 선형 공간에서 커널 공간으로 상호 상관 관계를 확장합니다.크로스 상관관계는 번역과 동등합니다.커널 크로스 상관관계는 번역, 회전, 규모 등 모든 아핀 변환과 동등합니다.

설명.

예를 들어 x축을 따라 알 수 없는 이동에 의해서만 다른 두 개의 실제 값 $함수$ f $\displaystyle$ $g$ 와 $f$ g $\displaystyle$ g를 생각해 $g$ 보겠습니다.상호 상관을 사용하여 f{\ $displaystyle$ f $f$ 와 동일한 g{\ $displaystyle$ g}을 $g$ (를) x축을 따라 얼마나 이동시켜야 $하는지$ 알 수 있습니다.공식은 기본적으로 x축을 따라 g $\display style$ g 함수를 $g$ $슬라이드하여$ 각 위치에서 제품의 적분을 계산합니다.함수가 일치하면 ( $(f\star g)$ $(f\star g)$ ) { $displaystyle (f\star$ g $)}$ 의 $(f\star g)$ $(f\star g)$ 값이 최대화됩니다.이는 피크(양수 영역)가 정렬되면 적분에 큰 기여를 하기 때문입니다.마찬가지로, 기압골(음수 영역)이 정렬될 때 두 음수의 곱이 양수이므로 적분에도 양의 기여를 합니다.

상호 상관 관계가 계산되는 방법에 대한 애니메이션입니다.왼쪽 그래프는 기능 F에 대해 시간 변위 θ만큼 위상 시프트된 녹색 함수 G를 보여줍니다.가운데 그래프는 함수 F와 위상 편이 G를 Lissajous 곡선으로 함께 나타낸 것입니다.F에 위상 편이 G를 곱하면 θ의 모든 값에 걸친 상호 상관 관계인 올바른 그래프가 생성됩니다.

복소수 $함수$ f {\ $displaystyle$ f $}$ $g$ g {\ $displaystyle$ g $g$ 에서 f {\ $displaystyle$ f $}$ 의 $f$ $f$ 을 사용하면 가상의 구성 요소와 정렬된 피크(또는 정렬된 수조)가 적분에 긍정적인 기여를 합니다.

계량경제학에서 지연된 교차 상관을 교차 자동 ^[8]^{: p. 74}상관이라고 부르기도 한다.

특성.

$f(t)$ f $($ $f(t)$ )와 $f(t)$ g $g(t)$ $)$ 의 $g(t)$ 상호 상관관계는 f ${\overline {f(-t)}}$ - ${\overline {f(-t)}}$ t ) ${\$ { \ $displaystyle$ { $f$ ( - $t$ ) ${\overline {f(-t)}}$ } $g(t)$ g $g(t)$ )의 분해능 $(「\$ $displaystyle$ $*$ 과 같습니다.
$[f(t)\star g(t)](t)=[{\overline {ft}}*g(t)](t)$
$[f(t)\star g(t)](t)=[{\overline {g(t)}}}\star {f(t)}(-t)}).$
f $\displaystyle$ f가 $f$ 에르미트 함수인 $경우$ f $f\star g=f*g.$ $f\star g=f*g.$ $f\star g=f*g.$ $f\star g=f*g.$ $f\star g=f*g.$ . $f\star g=f*g.$ { $display style$ f $\star$ g $= f*$ g $.$ $}$
f ${displaystyle$ f $}$ 와 $f$ $g{displaystyle$ g $}$ 가 $g$ 모두 에르미트어인 경우 f{ $displaystyle$ f $\star$ g $=g\star$ f $f\star g=g\star f$ 입니다.
$\left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)$ $\left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)$ $\left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)$ $\left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)$ ) $\left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)$ ( $\left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)$ $\left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)$ $g$ ) $\left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)$ ( $\left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)$ $\left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)$ $\left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)$ ) $\left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)$ ( $\left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)$ ( $\left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)$ ) \ $displaystyle \ left$ ( $f$ \ $star$ g \ $right$ )\ $star$ \ left ( $f$ \ $star$ f \ $right$ $star$ \ $left$ ( $f$ \ $star$ f \ $right )$
컨볼루션 정리와 유사하게, 교차 상관관계는 다음을 만족시킨다.
${F}\left\{f\star g\right\}=오버라인 {{\mathcal {F}\left\right\}\cdot {F}\left\{g\right\}$
${\mathcal {F}}$ 서 ${\mathcal {F}}$ F ${\mathcal {F}}\left\{{\overline {f(-t)}}\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}}}$ $displaystyle {F})$ 는 ${\mathcal {F}}$ 푸리에 변환을 나타내고 f $(\$ $displaystyle$ ${\overline {f}}$ { ${\mathcal {F}}\left\{{\overline {f(-t)}}\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}}}$ $f$ 는 ${\overline {f}}$ 다시 $f$ ${\mathcal {F}}\left\{{\overline {f(-t)}}\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}}}$ ${\mathcal {F}}\left\{{\overline {f(-t)}}\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}}}$ F ${\mathcal {F}}\left\{{\overline {f(-t)}}\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}}}$ { ${\mathcal {F}}\left\{{\overline {f(-t)}}\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}}}$ t ${\mathcal {F}}\left\{{\overline {f(-t)}}\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}}}$ $}$ ${\mathcal {F}}\left\{{\overline {f(-t)}}\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}}}$ f $(\displaystyle$ { $f}$ 의 복소 활용을 나타냅니다. $erline {{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right$ 고속 푸리에 변환 알고리즘과 함께 이 속성은 종종 상호 상관의^[9] 효율적인 수치 계산을 위해 이용된다(원형 상호 상관 참조).
교차상관은 스펙트럼 밀도와 관련이 있다(위너-킨친 정리 참조).
$함수$ g ${\$ $displaystyle$ g $}$ 를 $g$ 갖는 $f$ f {\ $displaystyle$ f $}$ 와 $g$ h {\displaystyle h $}$ 의 $h$ $f$ $교차$ $상관관계$ 는 g {\ $displaystyle$ g $\$ $displaystyle$ h $h$
$g\star \left(f*h\right)=\left(g\star f\right)*h$ $g\star \left(f*h\right)=\left(g\star f\right)*h$ $=$ ( $g\star \left(f*h\right)=\left(g\star f\right)*h$ $g\star \left(f*h\right)=\left(g\star f\right)*h$ $g\star \left(f*h\right)=\left(g\star f\right)*h$ )∗ $g\star \left(f*h\right)=\left(g\star f\right)*h$ \ $displaystyle$ g $\ star$ \ left ( $f$ * $h$ \ right )= \ $left$ ( $g$ \ $star$ f \ $right$ )* $h$ } $g\star \left(f*h\right)=\left(g\star f\right)*h$

랜덤 벡터의 상호 상관

정의.

랜덤 $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})$ X $=$ ( $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})$ 1, $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})$ , $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})$ m $)({displaystyle \mathbf {X}$ =( $X_{1},\$ $ldots,$ $X_$ ${m$ $}})$ $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})$ Y $Y$ displaystyle $\mathbf {Y}$ =( $Y_{1},$ cont_ldots},Y,{ $N$ 의 경우) $\mathbf {X}$ $(\$ 는 $\mathbf {Y}$ 다음과 같이 정의됩니다^[10]^{: p.337}.

\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} \triangleq \\operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {Y} \right]

(제6호)

$m\times n$ × $m\times n$ n(\ $displaystyle m\times$ n $m\times n$ 을 가집니다. 구성요소별로 작성:

\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} } = begin{ {bmatrix} \operatorname {E} [ X _ {1} & \operatorname {E }Y_{2}&\cdots&\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}&\cdots&\operatorname {E} [X_{2}Y_{n} \\\vdots &\dots &\vdots \\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}&\cdots&\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\end {bmatrix}

랜덤 $\mathbf {X}$ X(\ $displaystyle \mathbf {X})$ 와 $\mathbf {X}$ $\mathbf {Y}$ Y(\ $displaystyle \mathbf {Y})$ 는 $\mathbf {Y}$ 차원이 같을 필요는 없으며 스칼라 값일 수도 있습니다.

예

예를 들어 X $\mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)$ ( X $\mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)$ , $\mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)$ 2, X $\mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)$ ) ${\$ =\ $left(X_{$ 2}, $X_{3}\right)}$ $\mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)$ Y $=$ ( $Y$ 1, $\mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)$ Y $\mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)$ ) $\mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)$ {\displaystyle $\mathbf {Y}$ =\ $left(Y_1})$ 인 $\mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)$ , $(i,j)$ $(i,j)$ , $(i,j)$ ) { $displaystyle ( i$ , $j )$ $\operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]$ is $(i,j)$ $\operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]$ $y$ [ $\operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]$ Xi Y j $]$ { $displaystyle \operatorname$ { E $\operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]$ } [ X _ { $i$ } $\operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]$ $Y_{j$

복잡한 랜덤 벡터에 대한 정의

$\mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})$ $=$ ( $\mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})$ 1, $\mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})$ … , Z $\mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})$ ) ${{displaystyle \mathbf {Z}$ =( $Z_{1},\ldots,Z_{m}})$ $\mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})$ W $\mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})$ $\mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})$ n $)$ { $displaystyle \mathbf {W}$ =( $W_{$ 1},\ $ldots,W_{n$ 복합 벡터인 $\mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})$ $athbf {Z}$ $\mathbf {W}$ W $(\$ 는 $\mathbf {W}$ 다음과 같이 정의됩니다.

\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W}} \triangleq \\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}}

${}^{\rm {H}}$ 서 ${}^{\rm {H}}$ H(\ $displaystyle {}^{\rm {H}})$ 는 ${}^{\rm {H}}$ 에르미트 전이를 나타냅니다.

확률적 과정의 상호 상관

시계열 분석 및 통계에서 랜덤 공정 쌍의 상호 상관은 서로 다른 시간에 있는 공정 값 사이의 상관 관계입니다. 두 시간의 함수입니다. $(X_{t},Y_{t})$ $(X_{t},Y_{t})$ , $(X_{t},Y_{t})$ t $(X_{t},Y_{t})$ ) { $displaystyle$ ( $X$ _ { $(X_{t},Y_{t})$ ) 。 $Y_{t}$ 는 $(X_{t},Y_{t})$ 랜덤 프로세스의 쌍이며 $,$ $t$ { $displaystyle$ t $}$ 는 $t$ 임의의 시점입니다( $t$ { $displaystyle$ t $}$ 는 $t$ 이산 시간 프로세스의 정수 또는 연속 시간 프로세스의 실수). $X_{t}$ 으로 X t $X_{t}$ \ $displaystyle X_{t}$ 는 $X_{t}$ 특정 시간 t\ $displaystyle$ t $t$ 에서의 프로세스의 실행으로 생성되는 값(또는 실현)입니다.

교차 상관 함수

프로세스의 $\mu _{X}(t)$ 이 $\mu _{X}(t)$ (\ $displaystyle$ \ $mu$ $\mu _{X}(t)$ _ { $X$ } ( $t$ $)$ 및 $\mu _{Y}(t)$ Y ( $t$ )이고 $\mu _{Y}(t)$ $\sigma _{X}^{2}(t)$ 이 X $\sigma _{X}^{2}(t)$ ( $\sigma _{X}^{2}(t)$ t $\sigma _{X}^{2}(t)$ ){ $display$ style \ $sigma$ _ { $X$ }^{ $2$ ( $t$ ) $\sigma _{Y}^{2}(t)$ Y $\sigma _{Y}^{2}(t)$ ( t ){ $display$ style \ sigma }^{ $2$ ( t ){ 2 ( t }{ $display$ stystyle _ sigma }^{ 2 $}{ sigma$ }입니다 $\mu _{X}(t)$ $\sigma _{X}^{2}(t)$ .그러면 $({$ 과 $t_{1}$ $({$ 사이의 $t_{2}$ ^[10]^{: p.392} 상호 상관의 정의는 다음과 같습니다.

\operatorname {R} _{XY}(t_{1},t_{2})\triangleq \operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {Y_{t_{2}}}}\right

(제7호)

$\operatorname {E}$ 서 E $(\displaystyle \operatorname {E})$ 는 $\operatorname {E}$ 예상값 연산자입니다.이 식은 정의되어 있지 않을 수 있습니다.

교차 공분산 함수

곱하기 전의 평균을 빼면 t $({$ 과 $t_{1}$ $t_{2}$ 2 $({$ ^[10]^{: p.392} 사이의 상호 공차가 생성됩니다.

\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}\triangleq \operatorname {E} \left[\left(X_{1}-\right)_{X}(t_{1}\right)_\overline {(Y_{T}_{}_{})_mu}_{Y}_}}}\right]}

(제8호)

평균이나 분산이 존재하지 않을 수 있기 때문에 이 식은 모든 시계열 또는 공정에 대해 잘 정의되어 있지 않습니다.

와이드센스 고정 확률 프로세스의 정의

$(X_{t},Y_{t})$ $(X_{t},Y_{t})$ , $(X_{t},Y_{t})$ t $(X_{t},Y_{t})$ ) { $displaystyle$ ( $X$ _ { $(X_{t},Y_{t})$ ) 。 $Y_{t}}$ 은 $(X_{t},Y_{t})$ (는) 와이드 센스 정지 상태에 있는 확률적 프로세스의 쌍을 나타낸다.다음으로 교차공분산함수와 교차상관함수는 다음과 같이 주어진다.

교차 상관 함수

\operatorname {R} _{XY}(\tau)\triangleq \operatorname {E} \left[X_{t}{\overline {Y_{t+\tau}}}\right}}

(제9호)

또는 동등하게

\operatorname {R} _{XY}(\tau)=\operatorname {E} \left[X_{t-\tau}{\overline {Y_{t}}}\right}

교차 공분산 함수

\displaystyle \operatorname {K} _{XY} \ triangleq \ operatorname {E} \left [ \ left ( X _ { t } - \ mu _ { X } \ right } { \ overline \ left ( Y _ t + \ tau } ) - \ mu _ { Y } } } } } } } ]]]]]]]]]]]]]]] 。

(제10호)

또는 동등하게

\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau)=\operatorname {E} \left[\left (X_{t}\right)\mu _{X}-\mu \overline {\left (Y_{t}-\right}}}}}\operatorname {E}

$\mu _{X}$ 서 $\mu _{X}$ X $(\$ _ ${X})$ 및 $\mu _{X}$ $\sigma _{X}$ X(\ $displaystyle \sigma$ _ ${X})$ 는 $\sigma _{X}$ 각각 정지상태로 인해 일정하게 나타나는 프로세스 $t$ 의 평균 및 표준편차입니다.또, ( $Y$ t $(Y_{t})$ 의 $(Y_{t})$ 경우도 마찬가지입니다. $\operatorname {E} [\ ]$ E $\operatorname {E} [\ ]$ [ $]$ { $displaystyle \operatorname$ { $E$ } [ \ $]$ 는 $\operatorname {E} [\ ]$ $\operatorname {E} [\ ]$ 되는 값을 나타냅니다.교차 공분산 및 교차 상관 관계가 t{\ $displaystyle$ t $}$ 와 $t$ 독립적이라는 것은 (개별적으로 광의 정지 상태를 넘어) 정확히 $다음$ 요구 $(X_{t},Y_{t})$ 사항에 따라 전달되는 추가 정보입니다( $(X_{t},Y_{t})$ t $(X_{t},Y_{t})$ $(X_{t},Y_{t})$ $(X_{t},Y_{t})$ \style $(X_{t}).$ $Y_{t}}$ 은 $(X_{t},Y_{t})$ (는) 와이드센스 고정식입니다.

한 프로세스에서 측정된 샘플과 다른 프로세스에서 측정된 샘플의 곱(및 그 시간 이동)을 평균화함으로써 공동으로 넓은 의미의 정지 확률 프로세스 쌍의 교차 상관관계를 추정할 수 있다.평균에 포함된 샘플은 신호에 포함된 모든 샘플의 임의 하위 집합일 수 있습니다(예: 유한 시간 창 내 샘플 또는 신호 중 하나의 하위 샘플링^[which?]).표본 수가 많은 경우 평균은 실제 교차 상관으로 수렴됩니다.

정규화

일부 분야(예: 통계 및 시계열 분석)에서는 시간 종속 Pearson 상관 계수를 얻기 위해 교차 상관 함수를 정규화하는 것이 일반적입니다.그러나 다른 분야(예: 엔지니어링)에서는 정규화가 일반적으로 폐기되고 "교차 상관"과 "교차 공분산"이라는 용어가 상호 호환되게 사용됩니다.

확률적 과정의 정규화된 교차 상관의 정의는 다음과 같다.

μ

{{X}(t_{1})\sigma_{X}(t_{2})}=frac

{

operatorname {E}\left[\left(X_{1}}-\mu _{1}\right)

{\

overline

{\

left(X_{t_{

2}}-{2}}}\

mu_{}}}}}

_left}_left}_left}_left}_left_left}}_left_left_left_left_left_left_right}_left_right

}

$\rho _{XX}$ $\rho _{XX}$ ${\$ _ ${XX$ 함수가 잘 정의되어 있는 경우, 그 $[-1,1]$ 은 $[-1,1]$ [- $[-1,1]$ 1 $]$ { $displaystyle$ [- $1,$ 1 $[-1,1]$ 범위에 있어야 하며, 1은 완벽한 상관관계를 나타내며 -1은 완벽한 반상관관계를 나타냅니다.

공동 광의 정지 확률 프로세스의 경우 정의는 다음과 같다.

=

}-\mu _{Y}\right

}}\right

]}{\sigma

_{

X}\sigma _

{Y

\rho _{XY}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XY}(\tau )}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t}-\mu _{X}\right){\overline {\left(Y_{t+\tau }-\mu _{Y}\right)}}\right]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}

상관관계로서의 자기상관 해석은 통계의존성 강도에 대한 척도 없는 척도를 제공하기 때문에 정규화는 추정된 자기상관의 통계 특성에 영향을 미치기 때문에 중요하다.

특성.

대칭성

와이드센스 공동 고정 확률 프로세스의 경우 교차 상관 함수는 다음과 같은 대칭 ^[11]^{: p.173}특성을 갖는다.

\operatorname {R} _{XY}(t_{1},t_{2})=오버라인 {\operatorname {R} _{YX}(t_{2},t_{1}}}

공동 WSS 프로세스의 경우:

\operatorname {R}_{XY}(\tau)=오버라인(\operatorname {R}_{YX}(-\tau)}

시간 지연 분석

상호상관은 예를 들어 마이크로폰 ^[12]^[13]^{[clarification needed]}어레이를 통한 음향신호의 전파에 대한 시간지연을 결정하기 위해 두 신호 사이의 시간지연을 결정하는 데 유용하다.두 신호 간의 상호상관관계를 계산한 후 상호상관함수의 최대값(또는 신호가 음의 상관관계에 있는 경우 최소값)은 신호가 가장 잘 정렬되는 시점을 나타냅니다.즉, 두 신호 간의 시간 지연은 교차상관의 최대값 또는 arg max 인수에 의해 결정됩니다.의기양양하다

\displaystyle \mathrm {rm} = 언더셋 {t\in \mathbb {R} {\operatorname {ram,max} }}(f\star g)(t)}

이미지 처리 용어

Zero-Normalized Cross-Correlation(ZNCC; 제로 정규화 상호상관)

Animation of the normalized cross-correlation sliding a template over an image. Image and template are consecutive frames of particles in a flow field. This technique is also called Particle Image Velocimetry.

템플릿이 이미지 위로 슬라이딩되는 정규화된 상호 상관 관계 애니메이션입니다.이미지와 템플릿은 흐름 필드 내의 연속된 파티클 프레임입니다.이 기술은 입자상속도측정법이라고도 불린다.

조명 및 노출 조건에 따라 영상 및 템플릿의 밝기가 달라질 수 있는 영상 처리 애플리케이션의 경우 먼저 영상을 정규화할 수 있습니다.이 작업은 일반적으로 모든 단계에서 평균을 뺀 후 표준 편차로 나누어 수행됩니다.즉, 템플릿 t $t(x,y)$ $t(x,y)$ ) { $f(x,y)$ t $f(x,y)$ x , y $)}$ 와 서브이미지 $f($ $x$ , $)$ { $displaystyle$ f $(x$ , y $)}$ 의 $t(x,y)$ $f(x,y)$ 상호 상관관계는 다음과 같습니다.

{\frac {1}{x,y}{\frac {f}\frac _{t}}\left(f(x,y)-\mu _{f}\right)\left(x,y)-\mu _{t}\right)

$n$ 서n { $displaystyle$ n $}$ 은 $n$ $t(x,y)$ t $t(x,y)$ y $)$ { $displaystyle$ t $(x,y)}$ $f(x,y)$ f $x$ { $displaystyle$ f $f(x,y)$ $\sigma _{f}$ $\mu _{f}$ f { $displaystyle \mu$ _ ${f}$ 는 $\mu _{f}$ $\sigma _{f}$ f ${$ $displaystyle$ f $f$ 의 $f$ 평균치이고 $\sigma _{f}$ f는 $fstyle$ f의 $표준$ 편차입니다.

함수 분석 용어로, 이것은 두 정규화된 벡터의 점곱이라고 생각할 수 있다.즉, 만약

F(x,y)=f(x,y)-\mu _{f}

그리고.

T(x,y)=t(x,y)-\mu _{t}

그러면 위의 합계는 와 같다.

\left\langle {\F}, {\frac {T}{\T}}\right\rangle

여기서 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 、 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ display $、$ { $displaystyle$ \ $langle$ \ $cdot$ , \ $cdot$ \ $rangle }$ 는 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 내부 제품이고 $\|\cdot \|$ display { $displaystyle$ \ \ \ $cdot \$ }는 $\|\cdot \|$ L² 규격입니다.Cauchy-Schwarz는 ZNCC의 범위가 $]([-1,1$ 을 나타냅니다.

따라서 f ${displaystyle$ f $}$ 와 $t{displaystyle$ t $}$ 가 $f$ $t$ 실행렬인 $경우$ 정규화된 교차상관은 단위 $벡터$ F{ $displaystyle$ F}와 $F$ T ${$ $displaystyle$ T $T$ 사이의 각도의 코사인(cosine)과 같으며 F ${displaystyle$ F $}$ 가 $1$ T ${displaystyle$ F}와 $F$ $같을$ $F$ 에만1이 $됩니다$ . $e$ T에 양의 스칼라를 곱한 $T$ 값입니다.

정규화된 상관관계는 템플릿 매칭에 사용되는 방법 중 하나이며, 이미지 내에서 패턴 또는 객체의 발생을 찾는 데 사용되는 프로세스입니다.또한 Pearson 곱-모멘트 상관 계수의 2차원 버전입니다.

정규화 상호상관(NCC)

NCC는 ZNCC와 비슷하지만 로컬 평균 강도 값을 빼지 않는다는 유일한 차이입니다.

{1}{n}\sum _{x,y}{\frac {1}{\filen_{f}\f(x,y)t(x,y)

비선형 시스템

비선형 시스템에 상호 상관 관계를 사용할 때는 주의해야 합니다.입력의 특성에 따라 달라지는 특정 상황에서는 비선형 역학을 가진 시스템의 입력과 출력 사이의 상호 상관관계가 특정 비선형 ^[14]효과에 대해 완전히 보이지 않을 수 있습니다.이 문제는 일부 2차 모멘트가 0과 같을 수 있으며, 실제로는 두 신호가 비선형 역학에 의해 강하게 관련되어 있을 때 두 신호 사이에 (통계적 의존성의 측면에서) "상관관계"가 거의 없음을 잘못 암시할 수 있기 때문에 발생합니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ 브레이스웰, R. "교차 상관을 위한 펜타그램 표기법"푸리에 변환과 그 용도.뉴욕: McGraw-Hill, 46쪽과 243쪽, 1965년.
^ 파풀리스, A.푸리에 적분 및 그 용도.뉴욕: McGraw-Hill, 244-245페이지 및 252-253, 1962.
^ Weisstein, Eric W. "교차 상관"MathWorld에서 울프램 웹 리소스.http://mathworld.wolfram.com/Cross-Correlation.html
^ Rabiner, L.R.; Schafer, R.W. (1978). Digital Processing of Speech Signals. Signal Processing Series. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp. 147–148. ISBN 0132136031.
^ Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard (1975). Theory and Application of Digital Signal Processing. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. pp. 401. ISBN 0139141014.
^ Wang, Chen (2019). Kernel learning for visual perception, Chapter 2.2.1 (Thesis). Doctoral thesis. Nanyang Technological University, Singapore. pp. 17–18. doi:10.32657/10220/47835. hdl:10356/105527.
^ Wang, Chen; Zhang, Le; Yuan, Junsong; Xie, Lihua (2018). "Kernel Cross-Correlator". Proceedings of the AAAI Conference on Artificial Intelligence. The Thirty-second AAAI Conference On Artificial Intelligence. Association for the Advancement of Artificial Intelligence. 32: 4179–4186. doi:10.1609/aaai.v32i1.11710. S2CID 3544911.
^ Campbell; Lo; MacKinlay (1996). The Econometrics of Financial Markets. NJ: Princeton University Press. ISBN 0691043019.
^ Kapinchev, Konstantin; Bradu, Adrian; Barnes, Frederick; Podoleanu, Adrian (2015). "GPU implementation of cross-correlation for image generation in real time". 2015 9th International Conference on Signal Processing and Communication Systems (ICSPCS). pp. 1–6. doi:10.1109/ICSPCS.2015.7391783. ISBN 978-1-4673-8118-5. S2CID 17108908.
^ ^a ^b ^c Gubner, John A. (2006). Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86470-1.
^ 박건일, 확률과 확률의 기초, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
^ Rhudy, Matthew; Brian Bucci; Jeffrey Vipperman; Jeffrey Allanach; Bruce Abraham (November 2009). Microphone Array Analysis Methods Using Cross-Correlations. Proceedings of 2009 ASME International Mechanical Engineering Congress, Lake Buena Vista, FL. pp. 281–288. doi:10.1115/IMECE2009-10798. ISBN 978-0-7918-4388-8.
^ Rhudy, Matthew (November 2009). "Real Time Implementation of a Military Impulse Classifier". University of Pittsburgh, Master's Thesis. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)
^ Billings, S. A. (2013). Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains. Wiley. ISBN 978-1-118-53556-1.

추가 정보

Tahmasebi, Pejman; Hezarkhani, Ardeshir; Sahimi, Muhammad (2012). "Multiple-point geostatistical modeling based on the cross-correlation functions". Computational Geosciences. 16 (3): 779–797. doi:10.1007/s10596-012-9287-1. S2CID 62710397.

외부 링크

[1] 브레이스웰, R. "교차 상관을 위한 펜타그램 표기법"푸리에 변환과 그 용도.뉴욕: McGraw-Hill, 46쪽과 243쪽, 1965년.

[2] 파풀리스, A.푸리에 적분 및 그 용도.뉴욕: McGraw-Hill, 244-245페이지 및 252-253, 1962.

[3] Weisstein, Eric W. "교차 상관"MathWorld에서 울프램 웹 리소스.http://mathworld.wolfram.com/Cross-Correlation.html

[4] Rabiner, L.R.; Schafer, R.W. (1978). Digital Processing of Speech Signals. Signal Processing Series. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp. 147–148. ISBN 0132136031.

[5] Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard (1975). Theory and Application of Digital Signal Processing. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. pp. 401. ISBN 0139141014.

[6] Wang, Chen (2019). Kernel learning for visual perception, Chapter 2.2.1 (Thesis). Doctoral thesis. Nanyang Technological University, Singapore. pp. 17–18. doi:10.32657/10220/47835. hdl:10356/105527.

[7] Wang, Chen; Zhang, Le; Yuan, Junsong; Xie, Lihua (2018). "Kernel Cross-Correlator". Proceedings of the AAAI Conference on Artificial Intelligence. The Thirty-second AAAI Conference On Artificial Intelligence. Association for the Advancement of Artificial Intelligence. 32: 4179–4186. doi:10.1609/aaai.v32i1.11710. S2CID 3544911.

[8] Campbell; Lo; MacKinlay (1996). The Econometrics of Financial Markets. NJ: Princeton University Press. ISBN 0691043019.

[KAP-9] Kapinchev, Konstantin; Bradu, Adrian; Barnes, Frederick; Podoleanu, Adrian (2015). "GPU implementation of cross-correlation for image generation in real time". 2015 9th International Conference on Signal Processing and Communication Systems (ICSPCS). pp. 1–6. doi:10.1109/ICSPCS.2015.7391783. ISBN 978-1-4673-8118-5. S2CID 17108908.

[Gubner-10] Gubner, John A. (2006). Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86470-1.

[KunIlPark-11] 박건일, 확률과 확률의 기초, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3

[12] Rhudy, Matthew; Brian Bucci; Jeffrey Vipperman; Jeffrey Allanach; Bruce Abraham (November 2009). Microphone Array Analysis Methods Using Cross-Correlations. Proceedings of 2009 ASME International Mechanical Engineering Congress, Lake Buena Vista, FL. pp. 281–288. doi:10.1115/IMECE2009-10798. ISBN 978-0-7918-4388-8.

[13] Rhudy, Matthew (November 2009). "Real Time Implementation of a Military Impulse Classifier". University of Pittsburgh, Master's Thesis. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)

[SAB1-14] Billings, S. A. (2013). Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains. Wiley. ISBN 978-1-118-53556-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Search

상호 상관

네임스페이스

더

목차

결정론적 신호의 상호 상관

설명.

특성.

랜덤 벡터의 상호 상관

정의.