아핀 변환

유클리드 기하학에서 아핀 변환 또는 친화력(라틴어, affinis, connected with)은 선과 평행성을 보존하는 기하학적 변환이다.

보다 일반적으로 아핀 변환은 아핀 공간의 자기동형성(유클리드 공간은 특정 아핀 공간)이다. 즉, 아핀 부분 공간의 치수(점, 선에서 선으로, 평면에서 평면으로 등을 보내는 것을 의미)를 보존하면서 아핀 공간을 그 자신에게 매핑하는 함수이다.평행선 세그먼트의 길이.따라서 병렬 아핀 서브스페이스의 세트는 아핀 변환 후에도 평행하게 유지된다.아핀 변환은 직선상에 있는 점 사이의 거리 비율을 유지하지만 선 사이의 각도 또는 점 사이의 거리를 반드시 유지하는 것은 아닙니다.

X가 아핀 공간의 점 집합인 경우, X 위의 모든 아핀 변환은 X 위의 선형 변환의 구성과 X의 변환으로 나타낼 수 있습니다.순수 선형 변환과 달리 아핀 변환은 아핀 공간의 원점을 보존할 필요가 없습니다.따라서 모든 선형 변환이 아핀이지만 모든 아핀 변환이 선형인 것은 아닙니다.

아핀 변환의 예로는 번역, 스케일링, 균질성, 유사성, 반사, 회전, 전단 매핑 및 이들의 조합과 시퀀스의 구성을 들 수 있다.

아핀 공간을 투영 공간의 무한대에 있는 초평면의 보완물로 볼 때, 아핀 변환은 해당 초평면의 보완으로 제한된 무한대로 초평면을 떠나는 투영 공간의 투영 변환입니다.

아핀 변환의 일반화는 동일한 필드 k 위의 두 개의 (잠재적으로 다른) 아핀 공간 사이의 아핀^[1] 맵(또는 아핀 동형 또는 아핀 매핑)입니다.(X, V, k) 및 (Z, W, k)를 두 개의 아핀 공간으로 하고, X와 Z를 점 세트, V와 W를 필드 k 위의 각각의 관련 벡터 공간으로 합니다.지도 f: X ^[2]→ Z는 X의 모든 x, y에 대해 m(x - y) = f(y)가_f 되는 선형 지도_f m : V → W가 존재하는 경우 아핀 지도이다.

정의.

(X, V, k)를 최소 2차원 아핀 공간으로 하고, X를 점 세트, V를 필드 k 위의 관련 벡터 공간으로 한다.X의 반직선 변환 f는 다음을 만족시키는 ^[3]X의 분사이다.

1. S가 X의 d차원 아핀 부분공간이라면 f(S)도 X의 d차원 아핀 부분공간이다.
2. S와 T가 X의 평행 아핀 부분 공간이면 f(S) f(T)이다.

이 두 조건은 "f가 병렬성을 보존한다"는 표현이 정확히 무엇을 의미하는지 나타냅니다.

이 조건들은 두 번째 조건이 ^[4]첫 번째 조건과 이어지기 때문에 독립적이지 않다.게다가 필드 k가 적어도 3개의 요소를 가지는 경우, 제1의 조건은, f는 콜리네이션, 즉, ^[5]라인에의 매핑으로 간략화할 수 있다.

아핀 공간(X, V, k)의 치수가 최소 2인 경우 아핀 변환은 다음 조건을 만족하는 반쪽 변환 f입니다.x y y와 p q q가 X의 점이고 선분 xy와 pq가 평행한 경우^[6],

${\displaystyle {\frac {pq} {\overline {xy}} = frac {\overline {f(p)f(q)}}} {\} {\overline {f(x)f(y)}}} {\}}}}$

아핀선

아핀 공간의 치수가 1인 경우, 즉 공간이 아핀 선일 경우 X의 순열은 자동으로 반쪽 변환 조건을 충족합니다.따라서, 아핀선의 아핀 변환은 X의 점의 임의의 치환 f로 정의되며, x and y와 p are q가 X의 점일 경우^[7],

${\displaystyle {\frac {pq} {\overline {xy}} = frac {\overline {f(p)f(q)}}} {\} {\overline {f(x)f(y)}}} {\}}}}$

구조.

아핀 공간의 정의에 따라, V는 X에 작용하여 X × V의 모든 쌍(x, v)에 대해 X에 점 y가 관련지어지도록 한다.이 작용은 v→(x) = y로 나타낼 수 있습니다. 여기서는 v→= v가 V의 원소에 대해 두 개의 교환 가능한 표기법이라는 규칙을 사용합니다. X의 점 c를 고정함으로써 m : X → V by_c m(x) = cx = 함수를 정의할_c 수 있습니다.모든 c에 대해, 이 함수는 일대일이므로, m(v) = v→(c)로 주어진_c⁻¹ 역함수_c⁻¹ m : V → X를 갖는다.이 ^[8]함수는 다음을 정의하여 X를 벡터 공간(점 c에 대한)으로 변환하는 데 사용할 수 있습니다.

• ${\displaystyle x{}_{}}$+ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle m_{}^{}}$c -${\displaystyle {}_{}^{}{1}_{}^{}}$ ( m${\displaystyle {}_{}{c}_{}}$ (${\displaystyle x}$) + ${\displaystyle {}_{}{c}_{}}$ (${\displaystyle y}$), X 의 ${\displaystyle 모든x}$ , ${\displaystyle y}$ 의 $,$ {\$displaystyle$x+$y=m_{c}^{-1}\left (m_{c}(x)+m_{c}(y)\$right$),${\$text$ {$모든 }x,ytext${\} x} 및 X$$$}$ 의 경우
• ${\displaystyle rx=m_{c}^{-1}\left(rm_{c}(x)\right), {\text{\text{ in }k'text{ 및 }}x'text{ in }}}X.}$

이 벡터 공간은 원점 c를 가지며 형식적으로는 아핀 공간 X와 구별할 필요가 있지만, 일반적으로는 같은 기호로 나타내 원점이 지정된 후에 벡터 공간임을 언급하는 것입니다.이 식별을 통해 점을 벡터로 볼 수 있으며 그 반대도 가능합니다.

V의 선형 변환 θ에 대해, 우리는 다음과 같이 L(c, θ) : X → X를 정의할 수 있다.

$\displaystyle L(c,\lambda)(x)=m_{c}^{-1}\left(\displayda(m_{c}(x)\right)=c+\displayda(\vec {cx}).}$

L(c, θ)은 점 c를 ^[9]고정 상태로 두는 X의 아핀 변환입니다.원점 c를 갖는 벡터 공간으로 보는 X의 선형 변환입니다.

θ를 X의 임의의 아핀 변환이라고 합니다.X에서 점 c를 선택하고 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ w ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \stackrel{}{c}}$( (${\displaystyle \stackrel{}{c}}$ ) $→$ {\$displaystyle${\$mathbf {w}}$→ {\$displayrightarrow$ {$c\display(c$에 의한 X의 변환을 T로 나타낸다_w.변환은 아핀 변환이며 아핀 변환의 구성은 아핀 변환입니다.이 선택 c의 경우 다음과 같은^[10] V의 고유한 선형 변환 θ가 존재합니다.

$\displaystyle \display(x)=T_{\mathbf {w}}\left(L(c,\lambda)(x)\right).}$

즉, X의 임의의 아핀 변환은 X의 선형 변환(벡터 공간으로 간주)과 X의 변환의 구성이다.

아핀 변환의 이러한 표현은 종종 아핀 변환의 정의로 받아들여집니다(원점 선택은 ^[11][12][13]암묵적입니다).

표현

위와 같이 아핀 맵은 변환과 선형 맵의 두 가지 함수로 구성됩니다.통상 벡터 대수는 선형 지도를 나타내기 위해 행렬 곱셈을 사용하고 변환을 나타내기 위해 벡터 덧셈을 사용합니다.형식적으로 유한 차원 경우 선형 맵을 $가역행렬{\displaystyle }$A(\$displaystyle$ A$$$)$에 의한 곱셈으로$표현$하고 $벡터$ b$(\displaystyle$\mathbf {$b$의 덧셈으로 변환하면 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$x(\$displaystyle \mathbf {x})$에 작용하는 아핀 $맵{\displaystyle }$f(\$displaystyle$ f$)$를 표현할 수 있다.로서 분개한.

${\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x})=A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}$

증강 매트릭스

증강행렬과 증강 벡터를 사용하여 단일행렬 곱셈을 사용하여 변환과 선형맵을 모두 나타낼 수 있습니다.이 방법에서는 모든 벡터를 끝에 "1"로 증강하고 모든 행렬을 하단에 추가 0 행, 오른쪽에 추가 열(변환 벡터) 및 오른쪽 하단에 "1"로 증강해야 합니다.$A($디스플레이 스타일 A$)$가 매트릭스라면

${\displaystyle {bmatrix}\mathbf {y}\1\end {bmatrix}=\left[{\display {array}{cc c}&A&\mathbf {b} \\0&\cdots & 0&1\end{array}\right}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}$

다음과 같다

$\displaystyle \mathbf {y} = A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}$

상기 증강행렬을 아핀 변환행렬이라고 한다.일반적으로 마지막 행 벡터가 [ 0 $]$ { $displaystyle \left$[ { \ $begin${ array } { $ccc$ c$} 0$& \ $cdots$ &$0$ &$1$ \$end$ { array } $}$ \ right 로 제한되지 않을 경우 행렬은 투영 변환 행렬이 된다(사영 변환 실행에도 사용할 수 있음).

이 표현은 모든 ${\displaystyle {반전}^{}}$아핀 변환 $세트를 Kn(\displaystyle$ ${\displaystyle K}$^{n$})$ 및 GL${\displaystyle }$((${\displaystyle n,K}$)(\$displaystyle \operatorname {GL}(n, K$의 반직접 곱으로 나타냅니다.이것은 아핀 그룹이라고 불리는 함수의 합성 조작을 받고 있는 그룹입니다.

통상적인 행렬 벡터 곱셈은 항상 원점을 원점에 매핑하기 때문에 원점을 다른 점에 매핑해야 하는 변환을 나타낼 수 없습니다.모든 벡터에 추가 좌표 "1"을 부가함으로써 기본적으로 매핑되는 공간을 추가 차원이 있는 공간의 서브셋으로 간주한다.이 공간에서 원공간은 추가좌표가 1인 서브셋을 차지한다.따라서 원래 공간의 원점은 (${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle 0,}$ $)${$displaystyle (0,0,\dotsc,0,1$에서 찾을 수 있습니다. 그러면 고차원 공간의 선형 변환을 통한 원래 공간 내 변환(구체적으로는 전단 변환)이 가능합니다.고차원 공간의 좌표는 균질 좌표의 한 예입니다.만약 원래의 공간이 유클리드라면, 고차원 공간은 실제 투영 공간이다.

동종 좌표를 사용하는 장점은 각 행렬을 곱함으로써 임의의 수의 아핀 변환을 하나로 결합할 수 있다는 것입니다.이 속성은 컴퓨터 그래픽, 컴퓨터 비전 및 로봇 공학에 광범위하게 사용됩니다.

증강 행렬의 예

$벡터{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ +$$(\$displaystyle \mathbf {x} _{1},\$dotsc$$$,\mathbf {x}$ _{$n+1$$})$이 도메인의 투영 벡터 공간의 기본이고, ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}{}_{}{}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ y${\displaystyle {}_{}}$+$$(\$displaystyle \mathbf {y} _{1},\dotbfy$ {1})가 도메인의 투영 벡터 공간인 경우이 아핀 $변환$을 실현하는 trix$$ M$(\displaystyle$ M$)$

${\displaystyle {bmatrix}\mathbf {y}\1\end {bmatrix}=M{\begin {bmatrix}\mathbf {x}\1\end {bmatrix}}$

이

${\displaystyle M=mathbgin{bmatrix}\mathbf {y}_{n+1}\\cdots\1\end{bmatrix}{\mathbf {x}_{1}&\cdots\n}_mathbf {x}_{1}}$

이 공식은 도메인, 코도메인 및 이미지 벡터 공간의 차원이 동일한지 여부에 관계없이 작동합니다.

예를 들어 벡터 평면의 아핀 변환은 비퇴화 삼각형의 세 꼭지점(${\displaystyle {}_{}{\mathbf{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}{\mathbf{}}_{}}$, x$$ {$displaystyle$ $\mathbf {x} _{1}$ $\mathbf {$$x$$\}$ _${3$} )이 y$,$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$, y, y, y, y, y, y, y, $y,$ y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y,${1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y}$_{$3}),$ 코드메인의 차원 수와 삼각형이 코드메인으로 퇴화되지 않는지 여부에 관계없이.

특성.

속성 보존

아핀 변환은 다음을 유지합니다.

1. 점 사이의 공선성: 같은 선상에 있는 세 개 이상의 점(공선점이라고 함)은 변환 후에도 계속 공선 상태가 됩니다.
2. 평행성: 평행한 두 개 이상의 선은 변환 후에도 계속 평행합니다.
3. 집합의 볼록함: 변환 후에도 볼록 집합은 계속 볼록합니다.게다가 원래의 집합의 극점은 변환된 ^[14]집합의 극점에 매핑된다.
4. 평행선 세그먼트의 길이 비율: ${\displaystyle {포인트\mathrm{}}_{}}$ p 1$({$})과$$p 2({$displaystyle$$p_$$\{$$2$}),$$ 3({$displaystyle$$$p_${$3$$}})와$$p 4({$displaystyle$$$${$4$\})$로 정의된 서로 다른 평행선 세그먼트의 경우 p ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}{}_{}}}$ {\$displaystylearrow {p_1}p_{$2$$$}}$의 비율$d{\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{p\mathrm{}}_{}}}$ 3 ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{4\mathrm{}}_{}}}$ $→$ {\$displaystyle {p_{3}p_{4}}$ : f$$${\displaystyle \stackrel{}{}}$(${\displaystyle \stackrel{}{{p\mathrm{}}_{}}}$2$→$ {\$displaystyle${\$displaystyle$ {$p_{1}$$f{\displaystyle \stackrel{}{}}$$(\$displaystyle ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}{}_{}}}$ {$}$ f$p_${$2}})$ $→${\$displaystyle {3}$ f(p})와 $동일합니다{\displaystyle \stackrel{}{}}$.
5. 가중치 있는 포인트 집합의 바리센서.

무리

아핀 변환은 반전 가능하므로 행렬 표현에 나타나는 정사각형 $행렬{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$는 반전 가능합니다.역변환의 행렬 표현은 다음과 같다.

$\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc c}&A^{-1}{\vec {b}}\\\0&\ldots & 0&1\end {array}}\right]}$

(아핀 공간의) 역방향 아핀 변환은 아핀 그룹을 형성하며, 아핀 그룹은 $n차원$의 일반 선형 그룹(\$displaystyle$ n$)$을 서브그룹으로 가지며${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{n차원}}$의 일반 선형 그룹$(\displaystyle$ n$+1$의 서브그룹이다.

유사도 변환은$하위{\displaystyle }$ 그룹을 $형성$합니다. 여기서 $A(\$displaystyle$$ A)는 직교 행렬의 스칼라 곱입니다.예를 들어 아핀 변환이 평면에서 작용하고$A의$$행렬식$이 1 또는 -1인 경우 변환은 등면적 매핑입니다.이러한 변환은 에퀴-아핀 ^[15]그룹이라고 불리는 하위 그룹을 형성합니다.등가변환과 유사성은 유클리드 거리로 찍은 평면의 등각도이다.

각 그룹에는 방향 유지 또는 양의 아핀 변환 하위 그룹이 있습니다. 즉, $A\display$ style$$A의$$ 결정 $요인$이 양수인 그룹입니다.마지막 사례에서는 이것이 3D로 이루어진 견고한 변환 그룹입니다(적절한 회전과 순수 변환).

고정점이 있으면 그것을 원점으로 하면 아핀 변환이 선형 변환으로 감소합니다.이를 통해 변환을 분류하고 이해하기 쉬워질 수 있습니다.예를 들어 변환을 특정 축에 대한 특정 각도에 의한 회전으로 기술하는 것은 변환과 회전의 조합으로 기술하는 것보다 변환의 전체적인 거동에 대한 명확한 개념을 제공할 수 있다.단, 이는 어플리케이션과 컨텍스트에 따라 달라집니다.

아핀 지도

두 아핀 공간 사이의 아핀 맵${\displaystyle }f{\displaystyle }$ : ${\displaystyle A\mathcal{}}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$}$~ ${\mathcal {A}}$는 벡터(즉, 공간의 점 사이의 벡터)에 선형으로 작용하는 점의 맵이다.기호에서 f$${\$displaystyle$ f$}$는 선형 변환$${\(\$displaystyle$ \$varphi)$을 결정합니다$$.이 경우, $displaystyle$ P$,Q\in$$\$mathcal ${A$의 임의의 점 쌍에 대해 다음과 같이 됩니다.

$({displaystyle {f(P)~f(Q)}}=\varphi(\overrightarrow {PQ})})$

또는

${\displaystyle f}$(${\displaystyle Q}$) -${\displaystyle f}$ (${\displaystyle P}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (}$( ${\displaystyle Q}$- P $){$ $displaystyle$f ( $Q$) -$f$ ( P ) = \ $varphi$( Q - $P$)$$}

이 정의는 다음과 같이 몇 가지 다른 방법으로 해석할 수 있습니다.

$원점{\displaystyle }$ O${\displaystyle a\mathcal{}}$ A$${\$displaystyle O\in$ \$mathcal$ {A$}}$가$선택$되고${\displaystyle }$B {\$displaystyle$ B$}$가 $이미지{\displaystyle }$f($O$$)$ ${\displaystyle b\mathcal{}}$B${\displaystyle }${\$displaystyle$ f$(O)\in \$$mathcal$$${$B$$\}\}$를 나타내는 경우, 이는 $벡터{\displaystyle \stackrel{}{}}$ x $→${\$displaystyle$ {x$\}$에 대해 다음과 같습니다.

${\displaystyle f}$:${\displaystyle }$(${\displaystyle O}$ + ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \to }$ )${\displaystyle }$( B${\displaystyle }$+${\displaystyle }$( ( ( ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$)$${ $displaystyle$ f$\displaystyle$ ( $O$+ { \ $vec${$x$} ) \ $mapsto$($B$+ \ $varphi${ \ $vec${$x$} )$$} ${\displaystyle 。}$

$원점{\displaystyle {}^{}}$ O${\displaystyle {}^{}b\mathcal{}}$B$$( \ $displaystyle$ O ' \$in$ \ $mathcal${ $B$} )도 선택했을 경우${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 이것}$은 ${\displaystyle A\mathcal{}}$ $→$ B ( \ $displaystyle g$ \$$$displaystyle$ { $A$$\}$ )로 분해되어 O${\displaystyle {}^{}}$ O$$를 보내는 \ $mathcal${ $A$}로$$ 분해할 수 있습니다.

${\displaystyle g}$:${\displaystyle }$(${\displaystyle O}$ + ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ ) ${\displaystyle （}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle ）}$ + ${\displaystyle （}$ ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$ $）$ { $displaystyle g \ displaystyle$ ( O + { \ $vec${ $x$} ) \ $mapsto$($$O ' + \ $varphi$( \ $vec${$x$} ) $\}$ ,

벡터 $b{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle O\stackrel{}{{}^{}b}}$ B $→$ {\$displaystyle${$b}} =$ {\$displaystyle$ {$vec {$b}} → overright$$arrow ${O'B$로 변환됩니다.

$결론적$으로 f는$직감적$으로 $번역$과 선형 지도로 구성됩니다$.$

대체 정의

$두$ 개의 아핀 $공간{\displaystyle \mathcal{}}$ A$(\$displaystyle$\$$mathcal${$A})$와 B$(\$\mathcal {$B})$가 동일한 필드에 걸쳐 있을 때 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle :}$ ${\displaystyle A\mathcal{}}$ ${\displaystyle \to }$(\$displaystyle$ f\displaycal {A$})$는 모든 패밀리${\displaystyle \{{}_{}}$에 ${\displaystyle {\mathrm{대한}}_{}}$아핀 맵입니다.$람다 _{i}$$A(\$displaystyle$\mathcal {A})$의 가중치 포인트 중 \}$_{i\in$ I$}$는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \underset{}{i}}$ i${\displaystyle \underset{}{}}$∈ $=$ $1$ \$displaystyle$ \$sum _${ i \ $in$ I } \ $lambda _$ {$i$ } $=$1 ,

우리는^[16] 가지고 있다

${\displaystyle f}$(${\displaystyle \underset{i}{}}$ i$i$ ${\displaystyle i_{}}$= i )$=$ ${\displaystyle i_{}\underset{}{}{f}_{}\underset{}{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ )$displaystyle$f \$left$ ( \ $sum$_ {$i$ \ $in$ I } \ $lambda _${ i }$a$_ { $i$} \ right )= \ $sum _${ i \ $in$ I } \ $lambda$_ { $i }$ f { i （ $i$

즉, f$\displaystyle$f는$$ 바리센트를 $보존$합니다.

역사

수학 용어로서 "아핀"이라는 단어는 분석 무한대에서 ^[17]오일러의 1748년 소개에서 곡선에 대한 접선과 관련하여 정의된다.펠릭스 클라인은 "아핀 변환"이라는 용어가 뫼비우스와 ^[12]가우스에 기인한다고 본다.

이미지 변환

디지털 화상 처리에의 응용에 있어서, 아핀 변환은, 고무 시트에 인쇄해, 시트의 가장자리를 평면에 평행하게 늘리는 것과 유사합니다.이 변환은 강도 보간이 필요한 픽셀을 이동된 픽셀의 값에 근접하도록 재배치합니다. 바이큐빅 보간은 이미지 처리 애플리케이션에서 이미지 변환의 표준입니다.아핀 변환은 다음 ^[18]예시와 같이 이미지의 스케일링, 회전, 변환, 미러링 및 전단 처리를 수행합니다.

변환명	아핀 행렬	예
아이덴티티(원래 이미지로 변환)	$(\displaystyle {bmatrix}1&0\\0&1&1\end {bmatrix})$
번역.	${\displaystyle {bmatrix}1&0&v_{x}>0\0&1&v_{y}=0\0&1\end{bmatrix}}$
반사	$(\displaystyle {bmatrix}-1&0\\0&1\\0&1\end {bmatrix})$
규모.	${\displaystyle {bmatrix} c_{x}=2&0\\0&c_{y}=1&0&1\end{bmatrix}}$
회전	$(\displaystyle {bmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)&\cos(\theta)&\cos(\theta)&0&1\end {bmatrix})$	어디 θ).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-.parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}π/6 =30°
전단	${\displaystyle {bmatrix}1&c_{x}=0.5&0\c_{y}=0&1&0&1\end{bmatrix}}$

아핀 변환은 두 개 이상의 이미지가 정렬(등록)되는 등록 프로세스에 적용할 수 있습니다.영상 등록의 예로는 여러 영상이 함께 스티칭된 결과인 파노라마 영상 생성을 들 수 있습니다.

아핀 뒤틀림

아핀 변환은 평행선을 유지합니다.단, 다음 예시와 같이 스트레칭 및 전단 변환은 워프 모양을 나타냅니다.

다음은 이미지 왜곡의 예입니다.그러나 아핀 변환은 곡면에 투영하거나 반지름 변형을 용이하게 하지 않습니다.

기내

2개의 실제 차원에서의 아핀 변환은 다음과 같습니다.

• 순수 번역,
• 다른 방향(꼭 수직일 필요는 없음)의 선에 대해 주어진 방향의 스케일링과 스케일링의 방향이 순수하지 않은 변환과 결합한다.일반적인 의미에서 "스위치"는 스케일 팩터가 제로(투영) 또는 마이너스인 경우를 포함한다.후자는 반사를 포함하며, t와 결합된다.활공 반사를 포함한 랜슬레이션,
• 호모신교와 번역이 합쳐진 윤번,
• 균질성 및 번역과 결합된 전단 매핑 또는
• 스퀴즈 맵핑과 동질성 및 번역이 결합되어 있습니다.

유클리드 평면의 일반적인 아핀 변환을 시각화하려면 라벨이 부착된 평행사변형 ABCD와 A aBcCdD′를 취한다.어떤 점을 선택하든 간에 A에서 A'로 가는 평면의 아핀 변환 T가 존재하며 각 정점은 이와 유사합니다.ABCD가 면적이 0인 퇴화 케이스를 제외한다고 가정하면, 그러한 아핀 변환 T는 유일하다.ABCD에 근거해 전체 평행사변형의 그리드를 그려, 선분 AB에 적용되는 T(A) = Aδ, 선분 AB에 적용되는 T가 AδBδ, 선분 AC에 적용되는 T가 AδCδ, T가 A[IF]에서의 스칼라 배수에 관한 점에 주목해, 임의의 점 P의 화상 T(P)를 구한다.A'F'/length(A'E')]기하학적으로 T는 ABCD에 기초한 그리드를 AbBcCdD에 기초한 그리드로 변환한다.

아핀 변환은 길이 또는 각도를 고려하지 않습니다. 면적에 상수 계수를 곱합니다.

A areaBcCdD / / ABCD 영역

주어진 T는 직접(존중방향) 또는 간접(역방향) 중 하나이며, 이는 서명된 영역에 대한 효과(예를 들어 벡터의 교차곱에 의해 정의됨)에 의해 결정될 수 있다.

예

실수에 대해서

R$${\$displaystyle$ m$}$ 및$$$c{\displaystyle }$ {\$displaystyle$$c$의 $함수{\displaystyle f\mathbb{}}$: R ${\displaystyle \to R}$ ( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle m}$x +$c$ \$to \$$mathbb${$R$$}$ $,\;f(x$) $→ c$ \$displaystyle$ c$$}는$$ 정확하게 아핀 변환선입니다.

유한 필드 이상

다음 방정식은 암호 알고리즘 Rijndael(AES)에서 사용되는 GF(2)의 8차원 벡터 공간으로 간주되는 GF(2)의⁸ 아핀 변환을 나타냅니다.

$\displaystyle \{a'\}=M\{a\}\oplus\{v\}$

여기서 $]({displaystyle$ [M$])$은 아래${\displaystyle \mathrm{매트릭스}}$, {v$}({displaystyle$\{$v$$\})$는 고정 벡터$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle a\}}$ $=$ (${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}{2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ 3,${\displaystyle {}_{}{a\mathrm{}}_{}}$ 4,${\displaystyle {}_{}}$a ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}{7\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle ).}${$displaystyle$\{$a}$ =($a_{0},$ {v\})_${a},$ {a},$}$ 구체적으로는$$ M{를})[1000111111000111111000111111000111111000011111000011111000011111]{\displaystyle M\{a\}={\begin{bmatrix}1&, 0&, 0&.앰프, 0&, 1&, 1&, 1&.1\\1&1&0&0&0&1&1&1\\1&1&1&0&0&0&1&1\\1&1&1&1&0&0&0&1\\1&1&1&1&1&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&0&0\\0&0&1&1&1&1&1&0\\0&0&0&1&1&1&1&1\end{bmatrix}}} [ a 0 1234567해결{\displaystyle{\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\\a_{6}\\a_{7}\end{bmatrix}}}. $$ 및 { ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle =}$ [ ${\displaystyle \begin{array}{}1\\ \mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}1\\ \mathrm{}\end{array}}$ 1 ${\displaystyle \begin{array}{}0\\ \mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}0\\ \mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}1\\ \mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}0\\ \mathrm{}\\ \end{array}]}$ .$${ $displaystyle$\ { v \ } $= param$ { $bmatrix$} $1$\ \ \ 1 \ \ $0$\ 0 \ $1$\ $1$\ 1 \$0$ \ \ \$0$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $bmatrix$} } 。$}$

예를 들어 요소${\displaystyle }${${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$7 + ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$6 + ${\displaystyle {}^{}{3\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle y}$ $=$ { ${\displaystyle {11001010\mathrm{}}_{}}$ 2 $}$ { $displaystyle$\ {a \ } = $y^{7}$ + $y^{6}$ + $y^{3$} + y= \ $11001010_{2}\}$의 아핀 변환은 다음과 같이 계산된다.

${\displaystyle a_{0}=a_{0}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 1=0\oplus 0\oplus 1\oplus 1=1\oplus 1\oplus 1=1}$

${\displaystyle a_{1}=a_{0}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 1\oplus 1\oplus 1=0}$

${\displaystyle a_{2}=a_{0}\oplus a_{2}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1}$

${\displaystyle a_{3}'=a_{0}\oplus a_{2}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1}$

${{4}'=a_{0}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=0}$

${\displaystyle a_{5}'=a_{1}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus 1=1\oplus 0\oplus 0\oplus 1=1}$

${\displaystyle a_{6}'=a_{2}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1=1}$

$({displaystyle a_{7}'=a_{3}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1}).$

따라서${\displaystyle }${${\displaystyle {}^{}}$δ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}{7\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$6 + ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 5${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}{3\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle 1}$ $=$ { ${\displaystyle {11101101\mathrm{}}_{}}$ 2 $}$ { $displaystyle$\ {a ' \ } =$y^{7}$ + $y^{6}$ + $y^{3$} + $y^{$2} + y^{$2}$= \ $11101101101$\} 입니다$.$

평면 지오메트리 내

${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2$(\$2$\})$에서는 왼쪽에 표시된 변환은 다음과 같은 맵을 사용하여 이루어집니다.

${\displaystyle {bmatrix}x\y\end {bmatrix}\mapsto {bmatrix}\mapstyle {bmatrix}x\y\end {bmatrix}+{\display {bmatrix}-100\end {bmatrix}$

원래 삼각형의 세 모서리 점(빨간색)을 변환하면 새 삼각형(파란색)을 형성하는 세 개의 새로운 점이 제공됩니다.이 변환은 원래 삼각형을 왜곡하고 변환합니다.

사실, 모든 삼각형은 아핀 변환에 의해 서로 연관되어 있습니다.이는 모든 평행사변형에도 해당되지만 모든 4변수에는 해당되지 않습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• Anamorphosis – 아핀 변환의 예술적 응용
• 아핀 기하학
• 3D 투영
• 호모그래피
• 평면(기하학)
• 구부러진 기능

메모들

레퍼런스

• Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3
• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6
• Nomizu, Katsumi; Sasaki, S. (1994), Affine Differential Geometry (New ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
• Klein, Felix (1948) [1939], Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry, Dover
• Samuel, Pierre (1988), Projective Geometry, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
• Sharpe, R. W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
• Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989) [1971], Metric Affine Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-66108-7
• Wan, Zhe-xian (1993), Geometry of Classical Groups over Finite Fields, Chartwell-Bratt, ISBN 0-86238-326-9

외부 링크

• Wikimedia Commons의 Affine 변환 관련 매체
• "Affine transformation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 기하학적 연산: 아핀 변환, R.피셔, S. 퍼킨스, A.워커와 E.울파르트.
• Weisstein, Eric W. "Affine Transformation". MathWorld.
• 베르나르 비유미에의 아핀 트랜스폼, 울프람 데모 프로젝트.
• MATLAB에 의한 아핀 변환