아그 맥스

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수학에서 maxima의 인수(약칭 arg max 또는 argmax)는 함수 값이 최대화되는 일부 함수 영역의 점 또는 요소들이다.^{[note 1]} 함수의 최대 출력을 가리키는 글로벌 맥시마와 대조적으로, arg max는 함수 출력이 가능한 한 큰 입력 또는 인수를 가리킨다.

정의

임의 집합 $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $X$$}$, $완전히{\displaystyle }$ 순서가 지정된 Y ${\displaystyle Y}$및 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f\colon$ $X$$\to Y$$},$ 일부 $부분$ $집합{\displaystyle }$ S에 대한 $argmax$ ${\displaystystyle S}$이 정의된다$$.

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max}}}}}}}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x){\text{모든 }s\in S\}.}$

If ${\displaystyle S=X}$ or ${\displaystyle S}$ is clear from the context, then ${\displaystyle S}$ is often left out, as in ${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):$$=\{x~:~f(s)\leq f(x){\text{모든 }s\in$ X$\}}}.$ 즉, ${\displaystyle \mathrm{argmax}}$ ${\$$displaystyle \$$operatorname {argmax$$}}}}$은(${\displaystyle x)}$이$($가) 함수의 가장 큰 값(있는 $경우$)을 얻는 $지점$의 집합이다$.$ ${\displaystyle \mathrm{Argmax}}$ ${\displaystyle \operatorname {Argmax} }$은(는) 빈 집합이거나 싱글톤이거나 여러 요소를 포함할 수 있다$$.

볼록 분석과 변동 분석 분야에서 $Y{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ -${\displaystyle \mathrm{}-}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \cup }$ {${\displaystyle }$± ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ∞${\displaystyle \{}$ } ${\displaystyle Y=[-\infit ,\infit ]=\mathb {R} \cupt$\cupt $\cupt$ \}}이$$ 확장된 실수에 약간 다른 정의가 사용된다.^[2] In this case, if ${\displaystyle f}$ is identically equal to ${\displaystyle \infty }$ on ${\displaystyle S}$ then ${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing }$ (that is, ${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}\infty :=\varnothing }$) and otherwise $$${\displaystyle {\mathrm{argmax}}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$는 위와 같이 정의되며, 여기서 ${\displaystyle {\mathrm{argmax}}_{}}$ S${\displaystyle {}_{}}$⁡ ${\displaystyle f}$ ${\displaysty \operatorname$ {$argmax} _{S}f}$도 다음과 같이 쓸 수 있다$$.

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}}}}$

${\displaystyle {}_{}}$서 ${\displaystyle {}_{}}$ S ${\displaystyle \inf {}_{S}f}$과(와) 관련된 이 평등은 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S$^[2]에서 f ${\$displaystyle $\infty }$이$($가) 동일한 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ \inft}이(가)가$$ 아닌 경우에만 유지된다는$$ 점을 강조한다.

아르그민

최소의 인수를 의미하는 ${\displaystyle \mathrm{argmin}}$ ${\displaystyle \operatorname {arg$\,$min$} $}($${\displaystyle 또는\mathrm{}}$ r g ${\displaystyle \mathrm{m}}$ i n ${\$min} $$$})$의 개념은 유사하게 정의된다. 예를 들어.

${\displaystyle {\underset {x\in S}{\\operatorname {arg\,min}}}}}}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{모든 }s\in S\}}}$

$f{\displaystyle (x}$) ${\displaystyle f(x)}$이(가) 가장 작은 값을 갖는$$ $점{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$이다. ${\displaystyle \mathrm{r}}$ ${\displaystyle \mathrm{g}}$ m ${\displaystyle \mathrm{a}}$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\$의 보완 연산자다$.$

In the special case where ${\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ are the extended real numbers, if ${\displaystyle f}$ is identically equal to ${\displaystyle -\infty }$ on ${\displaystyle S}$ then ${\displaystyle \operatornam$$e {argmin} _{S}f:=\varnothing }$ (that is, ${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}-\infty :=\varnothing }$) and otherwise ${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f}$ is defined as above and moreover, in this case (of ${\displaystyle f}$ not identically equal to ${\displayst$$yle$ -$\infit$ $\}$ ) 또한 다음을 충족한다.

${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\supp {}_{S}f\right\}.}$^[2]

예제 및 속성

예를 들어 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$이(가) ${\displaystyle 1}$- x${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1-x ,}$인 $경우{\displaystyle }$ f ${\displaystyle$ f}은$($는) x${\displaystyle }$= 0. ${\displaystyle$ x$=0$ 지점에서만$$ 최대 값 $1$을 얻는다$$$.$$}$ 그러므로$$

${\displaystyle {x}{\desname {arg\,max}}}}}}\,(1- x )=\{0\}}}$

${\displaystyle \mathrm{argmax}}$ ${\displaystyle \operatorname {argmax}$ 연산자가$$ ${\displaystyle max}$ ${\displaystyle \max }$ 연산자와$$ 다르다. ${\displaystyle 최대}$ ${\displaystyle \max }$ 연산자는$$ 동일한 함수가 주어지면 해당 함수가 해당 값에 도달하게 하는 점이나 점 대신 함수의 최대값을 반환한다. 즉,

${\displaystyle \underset{}{max}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$$$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \max _{x}f(x)}$은${\displaystyle (}$는) ${\displaystyle \text{모든}s}$에 ${\displaystyle \text{대해}}{\displaystyle }${${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle \text{f}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$의 요소$.$ {\$displaysty \{f$(x$)~:~f(x)\leq$ f$(x){}}.$$}$

Like ${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$ max may be the empty set (in which case the maximum is undefined) or a singleton, but unlike ${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {max} }$ may not contain multiple elements:^{[note 2]} for example, if ${\displaystyle f(x)}$ is ${\displaystyle 4x^{2}-x^{4},}$ then ${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},}$ but ${\displayst$$yle {\displaystyle$ \$x}{\$maxname ${max}}}}\}\좌측(4x^{2}-x^{4}\우측)=\{4\}}}$이(가) 함수가 ${\displaystyle \mathrm{argmax}}$의 모든 요소에서 동일한 값을 획득하기 때문에${\displaystyle .}$ ${\displaysty \chostname {argmax}.}}$

마찬가지로 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $M$$}$이(가) $f{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ f$,}$의 최대값인 경우 ${\displaystyle \mathrm{argmax}}$ ${\displaystyle \operatorname {argmax}은($가$$) 최대값의 수준 집합:

${\displaystyle {x}{\displayname {arg\,max}}}}}}\,f(x)=\{x~~f(x)=M\}=:f^{-1(M)}$

우리는 간단한 정체성을^{[note 3]} 주기 위해 재배열할 수 있다.

${\displaystyle f\left\putset {x}{\numbername {arg\,max}}}},f(x)\max _{x}f(x)=\max _{x}f(x).}$

한 지점에서 최대치에 도달하면 이 지점은 종종 ${\displaystyle \mathrm{argmax}}$, ${\displaystyle \operatorname {argmax} ,},$ 그리고$$ ${\displaystyle \mathrm{argmax}}$ ${\displaysty \operatorname {argmax}이($가) 점 집합이 아닌 점으로 간주된다$$. 그래서 예를 들면.

${\displaystyle {\underset {x\in \mathb {R}}{{\operatorname {arg\,max}}}}}\, (x(10-x)))=5}$

(싱글톤 세트${\displaystyle }${ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$$displaystyle$$$\{$5\}}$보다 작음)$$의 $최대값{\displaystyle }$ x$$($10-x$$)$는${\displaystyle }x{\displaystyle }$ = 5. ${\displaystyle$$x$=$5$$}$이므로,$}}$ 단$$^{[note 4]}, 여러 지점에서 최대치에 도달한 경우, ${\displaystyle \mathrm{argmax}}$ ${\displaystyle \operatorname {argmax}}은($는) 포인트 집합으로 간주할 필요가$$ 있다.

예를 들면

${\displaystyle {x\in [0,4\pi ]}{\name {arg\,max}}}\cos(x)=\{0,2\pi,4\pi \}}}}}$

${\displaystyle \cos }$cos ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cos x}$의 최대값은 1,$2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ {\$displaystyle$ 1,$$이$$ 간격에서 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 2}$ π ${\displaystyle$ x$=0,2\pi }$ 또는$$ $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi .}$ ${\displaystyle 4\pi .}$이기 때문에 전체 실제 라인에서$$

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},}$ so an infinite set.

Functions need not in general attain a maximum value, and hence the ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ is sometimes the empty set; for example, ${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing ,}$ since ${\displaystyle x^{$$실제$ 라인에 3$}}}$은(는) 한없이 묶여 있다$$. As another example, ${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing ,}$ although ${\displaystyle \arctan }$ is bounded by ${\displaystyle \pm \pi /2.}$ However, by the extreme value theorem, a continuous real-va닫힌 간격의 루드 함수는 최대값을 가지므로 비어 있지 않은 ${\displaystyle \mathrm{argmax}.}$ ${\displaystyle \chostname {argmax} .}$

참고 항목

• 함수의 인수
• 맥시마와 미니마
• 모드(통계)
• 수학적 최적화
• 커널(선형 대수)
• 프리이미지

메모들

참조

• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.

외부 링크

• PlanetMath에서 arg min 및 arg max.