일관성(신호 처리)

신호 처리에서 일관성은 두 신호 또는 데이터 집합 사이의 관계를 검사하는 데 사용할 수 있는 통계량이다. 그것은 일반적으로 선형 시스템의 입력과 출력 사이의 동력 전달을 추정하는데 사용된다. 신호가 에르고 시스템 기능이 선형인 경우 입력과 출력 사이의 인과관계를 추정하는 데 사용할 수 있다.

정의 및 공식화

두 신호 x(t)와 y(t) 사이의 일관성(때로는 진폭 제곱 일관성이라고도 함)은 다음과 같이 정의되는 실제 값 함수다.^[1][2]

${\displaystyle C_{xy}(f)={\frac {G_{xy}(f) ^{2}}{G_{xx}(f)G_{yy}(f)}}}$

여기서 G_xy(f)는 x와 y 사이의 교차 스펙트럼 밀도, G_xx(f)와 G_yy(f)는 각각 x와 y의 자기 스펙트럼 밀도다. 스펙트럼 밀도의 크기는 G로 표시된다. 위에서 언급된 제한사항(극성, 선형성)을 감안할 때, 일관성 함수는 최적의 선형 최소 제곱 함수에 의해 x(t)로부터 y(t)를 예측할 수 있는 범위를 추정한다.

일관성의 값은 항상 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ C ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y_{}}$( f${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$(\$displaystyle 0\leq C_{xy}(f)\leq$ 1$}$을 만족한다$.$ 단일 입력 x(t)와 단일 출력 y(t)를 갖는 이상적인 상수 파라미터 선형 시스템의 경우 일관성은 1과 동일하다. 이를 보려면 $다음$과 같이 정의된 충격 응답 h(t)가 있는 선형 시스템을 고려하십시오. 여기서 where은 convolution을 나타낸다$.$ y${\displaystyle (}$ t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle \ast }$ (${\displaystyle t}$) ${\displaystyle y(t)=h(t$)=h(t$)*x(t)}.$ 푸리에 도메인에서 이 방정식은 $Y{\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle H}$( ${\displaystyle f}$) X${\displaystyle }$( f${\displaystyle }$) ${\displaystyle Y(f)=H(f)X(f)}$이 되고 여기서 Y(f)는 y(t)의 푸리에 변환이고 H(f)는 선형 시스템 전송 함수가 된다$.$ 이상적 선형 시스템의 경우: ${\displaystyle G_{yy}= H(f) ^{2}G_{xx}(f)}$ and ${\displaystyle G_{xy}=H(f)G_{xx}(f)}$, and since ${\displaystyle G_{xx}(f)}$ is real, the following identity holds,

${\displaystyle C_{xy}(f)={\frac { H(f)G_{xx}(f) ^{2}}{G_{xx}(f)$$G_{y}(f)}}={\frac$ {H$(f)G_{xx}(f) ^{2}}{G_{xx}^{2}(f)$ H$(f) ^{2}}={\frac {G_{xx}(f)$^{{{$g_{xx}}}}}}^{2$

그러나 물리적 세계에서는 이상적인 선형 시스템이 거의 실현되지 않고, 노이즈가 시스템 측정의 본질적인 구성요소이며, 단일 입력, 단일 출력 선형 시스템이 완전한 시스템 역학을 포착하기에 불충분할 가능성이 있다. 이상적인 선형 시스템 가정이 불충분한 경우, Cauchy-Schwarz 불평등은 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle C_{xy}\leq$ 1$}$의 값을 보장한다$.$

C가_xy 1보다 작지만 0보다 크면, 노이즈가 측정값으로 들어가고, x(t)와 y(t)와 관련된 가정된 함수가 선형이 아니거나, y(t)가 입력 x(t)와 기타 입력으로 인해 출력을 발생시키고 있음을 나타내는 것이다. 일관성이 0과 같으면 위에서 언급한 제약조건으로 볼 때 x(t)와 y(t)가 완전히 무관하다는 표시다.

따라서 선형 시스템의 일관성은 해당 주파수에서 입력에 의해 생성되는 출력 신호 출력의 부분적인 부분을 나타낸다. 또한 특정 주파수에서 입력에 의해 기여되지 않는 출력의 부분 전력의 추정치로$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$의 수량을 볼 수 있다. 이는 자연스럽게 일관성 있는 출력 스펙트럼의 정의로 이어진다.

${\displaystyle G_{vvv}=C_{xy}G_{yyy}}}}$

${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$은(는) 노이즈나 기타 입력과 상관없는 출력 전력의 스펙트럼 계량화를 제공한다$$.

예

여기서는 그림 1과 같이 일관성의 연산을 설명한다($그림{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$로 $표시$됨$).$ 그림 2의 하단에 표시된 두 신호를 고려하십시오. 해수면과 지하수 수위 사이에는 밀접한 관계가 있는 것으로 보인다. 기압은 바닷물 수위와 지하수 수위에 모두 영향을 미치는 것도 분명하다.

그림 3은 장기간에 걸친 해수면의 자기 관측 밀도를 보여준다.

예상대로 대부분의 에너지는 잘 알려진 조수주파수에 집중되어 있다. 마찬가지로 지하수 우물 수준의 자기 관측 밀도는 그림 4와 같다.

지하수 수위의 변동은 해양 조석주파수에서 상당한 힘을 가지고 있는 것이 분명하다. 지하수 수위가 해수면 수위에 의해 영향을 받는 정도를 추정하기 위해, 우리는 그것들 사이의 일관성을 계산한다. 해수면 높이와 지하수 수위 사이에 선형 관계가 있다고 가정해 보자. 우리는 또한 해수면 높이가 지하수 수위를 조절하여 해수면 높이를 입력 변수로, 지하수 높이를 출력 변수로 삼을 것이라고 가정한다.

계산된 일관성(그림 1)은 대부분의 주요 해양 조수 빈도에서 이 특정 현장의 지하수 수위 변화가 해양 조수의 강제력으로 인해 90% 이상임을 나타낸다. 그러나 인과관계를 귀속시킬 때는 주의를 기울여야 한다. 입력과 출력 사이의 관계(전송 함수)가 비선형인 경우 일관성의 값이 잘못될 수 있다. 또 다른 일반적인 실수는 실제로 원인 메커니즘이 시스템 모델에 없을 때 관찰된 변수들 사이의 인과 입출력 관계를 가정하는 것이다. 예를 들어 대기 기압은 바닷물 수위와 지하수 수위에 모두 변화를 유발하는 것은 분명하지만 기압은 입력 변수로 시스템 모델에 포함되지 않는다. 우리는 또한 바닷물 수위가 지하수 수위를 운전하거나 통제한다고 가정해 왔다. 실제로 관측된 입력 신호와 출력 신호를 모두 구동하는 것은 바닷물 수위로부터의 수문학적 강제력과 조력 전위의 조합이다. 또한 측정 프로세스에서 또는 스펙트럼 신호 처리에 의해 도입된 소음은 일관성의 원인이 되거나 손상될 수 있다.

비스테이션 신호로 확장

신호가 역학적이 아닌 경우(따라서 에고딕적이지 않은 경우), 위의 제형이 적절하지 않을 수 있다. 그러한 신호의 경우, 기존 스펙트럼 대신 비정전 신호의 시간 변동 스펙트럼 변동을 나타내기 위해 시간 주파수 분포의 개념을 사용하여 일관성의 개념을 확장했다. 자세한 내용은 항목을 참조하십시오.^[3]

신경과학의 응용

일관성은 뇌 네트워크에서 동적 기능 연결을 찾는 훌륭한 응용 프로그램이 발견되었다. 연구는 다른 뇌 영역 간의 일관성이 다른 정신적 또는 지각적 상태 동안에 바뀔 수 있다는 것을 보여준다.^[4] 휴식기 동안 뇌의 일관성은 장애와 질병에 의해 영향을 받을 수 있다.^[5]

참고 항목

• 바이코센스
• 축척 상관 관계
• 정규화된 교차 상관

참조