적절한 조건에서 두 신호의 콘볼루션의 푸리에 변환이 푸리에 변환의 포인트와 같은 결과물인 정리
수학 에서, 콘볼루션 정리 는 적절한 조건에서 두 가지 기능(또는 신호 )의 콘볼루션 의 푸리에 변환 은 그들의 푸리에 변환의 포인트와 같은 산물 이라고 말한다. 보다 일반적으로, 한 도메인(예: 시간 영역)의 콘볼루션은 다른 도메인(예: 주파수 영역 )의 포인트 와이즈 곱셈과 같다. 다른 버전의 콘볼루션 정리는 다양한 푸리에 관련 변환 에 적용할 수 있다.
연속 변수의 함수 푸리에 변환 G {\displaystyle G} H {\displaystyle } ( x ( x) .
G ( f ) ≜ F { g } ( f ) = ∫ − ∞ ∞ g ( x ) e − i 2 π f x d x , f ∈ R H ( f ) ≜ F { h } ( f ) = ∫ − ∞ ∞ h ( x ) e − i 2 π f x d x , f ∈ R {\displaystyle {\begin{aligned}G(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{g\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\H(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{h\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }h(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \end{aligned}}} 여기서 F {\ displaystyle {\mathcal {F} 푸리에 변환 연산자 변환은 다른 방법으로 정규화할 수 있으며, 이 경우 상수 스케일링 인자(일반적 2π {\displaystyle 2\pi } 2π {\ displaystyle {\sqrt {2\pi }}}) g {\displaystyle g} h {\displaystyle h} .
r ( x ) = { g ∗ h } ( x ) ≜ ∫ − ∞ ∞ g ( τ ) h ( x − τ ) d τ = ∫ − ∞ ∞ g ( x − τ ) h ( τ ) d τ . {\displaystyle r(x)=\{g*h\}(x)\int _{-\infit _{-\infit _}g(\tau)h(x-\tau )\,d\int _{-\infit }^{-\noth(x-\tau )\tau). 이 맥락에서 별표 는 표준 곱셈 대신 경련을 나타낸다. 텐서 제품 기호 {\displaystyle \otimum}
콘볼루션 정리 에는 다음과 같이 명시되어 있다. [1] [2] : eq.8
R ( f ) ≜ F { r } ( f ) = G ( f ) H ( f ) . f ∈ R {\displaystyle R(f)\triangleq {F}\mathcal {F}\{r\}(f)=G(f)H(f). \quad f\in \mathb {R} } (Eq.1a )
역 Fourier 변환F displaystyle mathcal{ 1} . [2] : eqs.7, 10
콘볼루션 정리 r ( x ) = { g ∗ h } ( x ) = F − 1 { G ⋅ H } , 어디에 ⋅ 점괘 곱셈을 나타낸다. {\displaystyle r(x)=\{g*h\}(x)={\mathcal {F}^{1}\{G\cdot H\},\quad \script 스타일 {\text{where}\displaystyle \cdicdot \script 스타일{\text}}}}}}}}}}}}}}은(점-wise 곱셈)}}} (Eq.1b )
정리는 일반적으로 다차원 기능에도 적용된다.
Eq.1의 다차원 유도
Fourier 변환 G H {\displaystyle G,H L-space p ( R) {\displaystyle L^{1}(\mathb {R} ^{n 함수 h {\displaystyle G,H} .
G ( f ) ≜ F { g } ( f ) = ∫ R n g ( x ) e − i 2 π f ⋅ x d x , f ∈ R n H ( f ) ≜ F { h } ( f ) = ∫ R n h ( x ) e − i 2 π f ⋅ x d x , {\displaystyle {\begin{aligned}G(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{g\}(f)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} ^{n}\\H(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{h\}(f)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx,\end{aligned}}} where f ⋅ x {\displaystyle f\cdot x} inner product of R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} f ⋅ x = ∑ j = 1 n f j x j , {\displaystyle f\cdot x=\sum _{j=1}^{n}{f}_{j}x_{j},} d x = ∏ j = 1 n d x j . {\displaystyle dx=\prod _{j=1}^{n}dx_{j}. }
g {\displaystyle g} h {\displaystyle h} .
r ( x ) ≜ ∫ R n g ( τ ) h ( x − τ ) d τ . {\displaystyle r(x)\triangleq \int_{\mathb {R}^{n}g(\tau )h(x-\tau )\,d\tau .} 또한:
∬ g ( τ ) h ( x − τ ) d x d τ = ∫ ( g ( τ ) ∫ h ( x − τ ) d x ) d τ = ∫ g ( τ ) ‖ h ‖ 1 d τ = ‖ g ‖ 1 ‖ h ‖ 1 . {\displaystyle \iint g(\tau )h(x-\tau ) \,dx\,d\tau =\int \left( g(\tau ) \int h(x-\tau ) \,dx\right)\,d\tau =\int g(\tau ) \,\ h\ _{1}\,d\tau =\ g\ _{1}\ h\ _{1}. } 따라서 푸비니의 정리에는 r 1 n {\ displaystyle r\in L^1}(\mathb {R} ^{n}) R {\displaystyle R} .
R ( f ) ≜ F { r } ( f ) = ∫ R n r ( x ) e − i 2 π f ⋅ x d x = ∫ R n ( ∫ R n g ( τ ) h ( x − τ ) d τ ) e − i 2 π f ⋅ x d x . {\displaystyle {\begin{aligned}R(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{r\}(f)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}r(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\tau )h(x-\tau )\,d\tau \right)\,e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx. \end{정렬}}} Note that g ( τ ) h ( x − τ ) e − i 2 π f ⋅ x = g ( τ ) h ( x − τ ) {\displaystyle g(\tau )h(x-\tau )e^{-i2\pi f\cdot x} = g(\tau )h(x-\tau ) } :
R ( f ) = ∫ R n g ( τ ) ( ∫ R n h ( x − τ ) e − i 2 π f ⋅ x d x ) ⏟ H ( f ) e − i 2 π f ⋅ τ d τ = ( ∫ R n g ( τ ) e − i 2 π f ⋅ τ d τ ) ⏟ G ( f ) H ( f ) . {\displaystyle {\begin{aligned}R(f)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\tau )\underbrace {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(x-\tau )\ e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx\right)} _{H(f)\ e^{-i2\pi f\cdot \tau }}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\tau )\ e^{-i2\pi f\cdot \tau }\,d\tau \right)} _{G(f)}\ H(f). \end{정렬}}}
이 정리는 또한 라플라스 변환 , 양면 라플라스 변환 , 그리고 적절히 수정되었을 때 멜린 변환과 하틀리 변환 (Mellin 반전 정리 참조)을 위한 것이다. 그것은 지역적으로 콤팩트한 아벨리아 그룹 에 걸쳐 정의된 추상 고조파 분석의 푸리에 변환까지 확장될 수 있다.
주기적 콘볼루션(푸리에 시리즈 계수) P {\displaystyle P} G {\ displaystyle g_{P} 및 displaystyle h_{P},
g P ( x ) ≜ ∑ m = − ∞ ∞ g ( x − m P ) {\displaystyle g_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }g(x-mP)} h P ( x ) ≜ ∑ m = − ∞ ∞ h ( x − m P ) . {\displaystyle h_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h(x-mP). } 실제로 성분 g {\displaystyle g} 및 {\displaystyle h} P, {\displaystyle P} 푸리에 시리즈 계수는 다음과 같다.
G [ k ] ≜ F { g P } [ k ] = 1 P ∫ P g P ( x ) e − i 2 π k x / P d x , k ∈ Z ; 모든 길이의 간격에 걸친 통합 P H [ k ] ≜ F { h P } [ k ] = 1 P ∫ P h P ( x ) e − i 2 π k x / P d x , k ∈ Z {\displaystyle {\reasoned} G[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{g_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}g_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\\ H[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{h_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}h_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}} 여기서 F {\ displaystyle {\mathcal {F} Fourier 영상 시리즈 적분 을 의미한다
The pointwise product: g P ( x ) ⋅ h P ( x ) {\displaystyle g_{_{P}}(x)\cdot h_{_{P}}(x)} P {\displaystyle P} discrete convolution of the G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} F { g P ⋅ h P } [ k ] = { G ∗ H } [ k ] . {\displaystyle {\mathcal{F}\{g_{P}\cdot h_{{P}\}[k]=\{G* H\}[k] 콘볼루션: { g P ∗ h } ( x ) ≜ ∫ − ∞ ∞ g P ( x − τ ) ⋅ h ( τ ) d τ ≡ ∫ P g P ( x − τ ) ⋅ h P ( τ ) d τ ; 모든 길이의 간격에 걸친 통합 P {\displaystyle {\begin{aligned}\{g_{_{P}}*h\}(x)\ &\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }g_{_{P}}(x-\tau )\cdot h(\tau )\ d\tau \\&\equiv \int _{P}g_{_{P}}(x-\tau )\cdot h_{_{P}}(\tau )\ d\tau ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\end{aligned}}} 또한 {\displaystyle 경련이라고 [A] 해당 콘볼루션 정리는 다음과 같다. F { g P ∗ h } [ k ] = P ⋅ G [ k ] H [ k ] . {\displaystyle {\mathcal{F}\{g_{P}*h\}[k]=\P\cdot G[k]\H[k]. } (Eq.2 )
Eq.2의 파생
F { g P ∗ h } [ k ] ≜ 1 P ∫ P ( ∫ P g P ( τ ) ⋅ h P ( x − τ ) d τ ) e − i 2 π k x / P d x = ∫ P g P ( τ ) ( 1 P ∫ P h P ( x − τ ) e − i 2 π k x / P d x ) d τ = ∫ P g P ( τ ) e − i 2 π k τ / P ( 1 P ∫ P h P ( x − τ ) e − i 2 π k ( x − τ ) / P d x ) ⏟ H [ k ] , 주기가 있어서. d τ = ( ∫ P g P ( τ ) e − i 2 π k τ / P d τ ) ⏟ P ⋅ G [ k ] H [ k ] . {\displaystyle{\begin{정렬}{{F\mathcal}}\{g_{_{P}}*h\}[k]&, \triangleq{\frac{1}{P}}\int _ᆳ\left(\int_{P}g_{_{P}}(\tau)\cdot h_{_{P}}(x-\tau)\d\tau \right)e^{-i2\pi kx/P}\,dx\\&, =\int _{P}g_{_{P}}(\tau)\left({\frac{1}{P}}\int_{P}h_{_{P}}(x-\tau)\ e^{-i2\pi kx/P}dx\right)\,d\tau \\&, =\int _{P}g_{_{P}}(\tau)\e^{-i2\pi k\tau. /P}\underbra ce {\left({\frac {1}{P}}\int _{P}h_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi k(x-\tau )/P}dx\right)} _{H[k],\quad {\text{due to periodicity}}}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{P}\ g_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}d\tau \right)} _{P\cdot G[k]}\ H[k]. \end{정렬}}}
이산형 변수의 함수(시퀀스) Eq.1과 유사한 파생에 의해 두 연속함수의 샘플과 같은 시퀀스에 대해 유사한 정리가 있는데, 여기 {\ displaystyle {\mathcal F} 시간 푸리에 변환 ( 변환 G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} g n ] h n ] displaystyle h[n] .
G ( f ) ≜ F { g } ( f ) = ∑ n = − ∞ ∞ g [ n ] ⋅ e − i 2 π f n , f ∈ R H ( f ) ≜ F { h } ( f ) = ∑ n = − ∞ ∞ h [ n ] ⋅ e − i 2 π f n . f ∈ R {\displaystyle {\begin{aligned}G(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{g\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} \\H(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{h\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;. \quad f\in \mathb {R} \end{aigned}}} g {\displaystyle g} h {\displaystyle h} 이산형 콘볼루션 은 다음에 의해 정의된다
r [ n ] ≜ ( g ∗ h ) [ n ] = ∑ m = − ∞ ∞ g [ m ] ⋅ h [ n − m ] = ∑ m = − ∞ ∞ g [ n − m ] ⋅ h [ m ] . {\displaystyle r[n]\cdothq(g*h]=\sum _{m=-\inflt }^{m]\cdoth h[n-m]=\sum _{m=-\inft }^{\infty }g[n-m]\cdot h[m]. } 이산 시퀀스에 대한 콘볼루션 정리 . [3] [4] : p.60 (2.169)
R ( f ) = F { g ∗ h } ( f ) = G ( f ) H ( f ) . {\displaystyle R(f)={\mathcal {F}\{g*h\}(f)=\G(f)H(f)=\G(f)H(f). } (Eq.3 )
주기적 콘볼루션 위 f {\displaystyle G(f)} H f {\displaystyle H(f)} N {\displaystyle N} N {\ displaystyle g_{{N} H {\ displaystyle h_{N}} (
g N [ n ] ≜ ∑ m = − ∞ ∞ g [ n − m N ] {\displaystyle g_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }g[n-mN]} h N [ n ] ≜ ∑ m = − ∞ ∞ h [ n − m N ] , n ∈ Z . {\displaystyle h_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .} 이러한 N displaystyle G} 및 } ( 샘플링 displaystyle N} 이산 푸리에 변환 DFT )을 수행한 결과로 발생한다(§ 샘플링 the DTFT 참조). 이산형 콘볼루션:
{ g N ∗ h } [ n ] ≜ ∑ m = − ∞ ∞ g N [ m ] ⋅ h [ n − m ] ≡ ∑ m = 0 N − 1 g N [ m ] ⋅ h N [ n − m ] {\displaystyle \{g_{_{N}}*h\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }g_{_{N}}[m]\cdot h[n-m]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]\cdot h_{_{N}}[n-m]} 또한 {\displaystyle N} 경련이라고 F {\ displaystyle {\mathcal {F} N {\displaystyle N} .[5] [4] : p.548
F { g N ∗ h } [ k ] = F { g N } [ k ] ⏟ G ( k / N ) ⋅ F { h N } [ k ] ⏟ H ( k / N ) , k ∈ Z . {\displaystyle {\mathcal {F}}\{g_{_{N}}*h\}[k]=\ \underbrace {{\mathcal {F}}\{g_{_{N}}\}[k]} _{G(k/N)}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{h_{_{N}}\}[k]} _{H(k/N)},\quad k\in \mathbb {Z} .} (Eq.4a )
따라서 다음과 같다.
{ g N ∗ h } [ n ] = F − 1 { F { g N } ⋅ F { h N } } . {\displaystyle \{g_{{N}*h\}[n]=\\\\\\\mathcal{-1}\{\mathcal {{F}\{g_{N}\cdot {\mathcal{F}\{F}\{H_{N}}\}\}}}. } (Eq.4b )
올바른 조건에서 이 N-길이 g {\displaystyle g*h} 그러나 g n {\displaystyle g(n)} h ( n ) {\displaystyle h(n)} N {\displaystyle N} 무한히 긴 § 이산 힐버트 변환 임펄스 응답의 DTFT를 직접 샘플링하여 H k ){\displaystyle H(k/N)} [B]
0이 아닌 지속 시간이 N {\displaystyle N} g {\displaystyle h} .
원형 콘볼루션 { g N ∗ h } [ n ] = F − 1 { F { g } ⋅ F { h } } . {\displaystyle \{g_{{N}*h\}[n]=\\\\\\mathcal{-1}^{1}\{\mathcal{F}\{g\}\cdot {\mathcal {F}\{h\}\}}\mathcal. } (Eq.4c )
이 형태는 종종 컴퓨터 에 의한 수치적 경합을 효율적으로 구현하기 위해 사용된다. (§ 고속 콘볼루션 알고리즘 및 § 예제 참조)
Eq.4의 파생어
시간 영역 파생은 다음과 같이 진행된다.
D F T { g N ∗ h } [ k ] ≜ ∑ n = 0 N − 1 ( ∑ m = 0 N − 1 g N [ m ] ⋅ h N [ n − m ] ) e − i 2 π k n / N = ∑ m = 0 N − 1 g N [ m ] ( ∑ n = 0 N − 1 h N [ n − m ] ⋅ e − i 2 π k n / N ) = ∑ m = 0 N − 1 g N [ m ] ⋅ e − i 2 π k m / N ( ∑ n = 0 N − 1 h N [ n − m ] ⋅ e − i 2 π k ( n − m ) / N ) ⏟ D F T { h N } [ k ] 주기가 있어서. = ( ∑ m = 0 N − 1 g N [ m ] ⋅ e − i 2 π k m / N ) ⏟ D F T { g N } [ k ] ( D F T { h N } [ k ] ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{g_{_{N}}*h\}[k]&\triangleq \sum _{n=0}^{N-1}\left(\sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]\cdot h_{_{N}}[n-m]\right)e^{-i2\pi kn/N}\\&=\sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]\left(\sum _{n=0}^{N-1}h_{_{N}}[n-m]\cdot e^{-i2\pi kn/N}\right)\ \&, =\sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]\cdot e^{-i2\pi km/N}\underbrace{\left(\sum_{n=0}^{N-1}h_{_{N}}[n-m]\cdot e^{-i2\pi k(n-m)/N}\right)}_{\scriptstyle{\rm{DFT}}\displaystyle \{h_{_{N}}년}[k]\quad\scriptstyle{\text{주기성 때문에}}}\\&,{\left(\sum_{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]\cdot e^{-i2\pi km/N}\right)}=\underbrace_{\scriptstyle{\rm{DFT.}}\displ aystyle \{g_{{N}\}[k]}\left(\scriptstyle {\rm {DFT}\displaystyle \{h_{{N}\}[k]\right)). \end{정렬}}} 주파수 영역 파생은 § 주기적 데이터 에서 따르며, 이는 DTFT가 다음과 같이 기록될 수 있음을 나타낸다.
F { g N ∗ h } ( f ) = 1 N ∑ k = − ∞ ∞ ( D F T { g N ∗ h } [ k ] ) ⋅ δ ( f − k / N ) . ( E q .5 a ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\{g_{_{N}}*h\}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}*h\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right). \quad \scriptstyle {\mathsf {(Eq.5a)}}} F { g N } ( f ) = 1 N ∑ k = − ∞ ∞ ( D F T { g N } [ k ] ) ⋅ δ ( f − k / N ) . {\displaystyle {\mathcal {F}}\{g_{_{N}}\}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right). } 따라서 f {\displaystyle H(f)}
F { g N ∗ h } ( f ) = G N ( f ) H ( f ) = 1 N ∑ k = − ∞ ∞ ( D F T { g N } [ k ] ) ⋅ H ( f ) ⋅ δ ( f − k / N ) = 1 N ∑ k = − ∞ ∞ ( D F T { g N } [ k ] ) ⋅ H ( k / N ) ⋅ δ ( f − k / N ) = 1 N ∑ k = − ∞ ∞ ( D F T { g N } [ k ] ) ⋅ ( D F T { h N } [ k ] ) ⋅ δ ( f − k / N ) , ( E q .5 b ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{g_{_{N}}*h\}(f)&=G_{_{N}}(f)H(f)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\right)\cdot H(f)\cdot \delta \left(f-k/N\right)\ \&={\frac {1}{{N}\sum _{k=-\inflt }^{\nft}\{\nft}\proft(\scriptstyle {\\\rm {DFT}\displaysty \{g_{{{N}\}\cdot H(k/N)\deltalef)\deltaleft. \&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{h_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right),\quad \scriptstyle {\mathsf {(Eq.5b)}}\end{aligned}}} 여기 서 H( k ){\displaystyle H(k/N)} DF T h N } k displaystyle \left(\ style {\rm {DFT}}\displaysty \{h_{N}}\k]\rig) DTFTFTFT의 샘플링 에서 나타난다 따라서 (5a)와 (5b)의 등가성은 다음을 요구한다.
D F T { g N ∗ h } [ k ] = ( D F T { g N } [ k ] ) ⋅ ( D F T { h N } [ k ] ) . {\displaystyle \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle {\{g_{_{N}}*h\}[k]}=\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{h_{_{N}}\}[k]\right). } 또한 (5b)의 역 DTFT도 확인할 수 있다.
( g N ∗ h ) [ n ] = ∫ 0 1 ( 1 N ∑ k = − ∞ ∞ D F T { g N } [ k ] ⋅ D F T { h N } [ k ] ⋅ δ ( f − k / N ) ) ⋅ e i 2 π f n d f = 1 N ∑ k = − ∞ ∞ D F T { g N } [ k ] ⋅ D F T { h N } [ k ] ⋅ ( ∫ 0 1 δ ( f − k / N ) ⋅ e i 2 π f n d f ) ⏟ 0을 위해 k ∉ [ 0 , N ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 ( D F T { g N } [ k ] ⋅ D F T { h N } [ k ] ) ⋅ e i 2 π n N k = D F T − 1 ( D F T { g N } ⋅ D F T { h N } ) . {\displaystyle{\begin{정렬}[n]&,=\int _ᆮ^ᆯ\left({\frac{1}{N}}\sum_{}k=-\infty ^{}\infty \scriptstyle{\rm{DFT}}\displaystyle\와 같이{g_{_{N}})}[k]\cdot\scriptstyle{\rm{DFT}}\displaystyle\와 같이{h_{_{N}})}[k]\cdot \delta \left(f-k/N\right)\right)\cdot e^{i2\pi 2}df\\&, ={\frac{1}{N}}\sum _{k=-\infty}^{\infty}\scriptstyle{\rm.{DFT}}) Displaystyle \{g_{_{N}}년}[k]\cdot\scriptstyle{\rm{DFT}}\displaystyle \{h_{_{N}}년}[k]\cdot \underbrace{\left(\int_{0}일 경우 ^{1}\delta \left(f-k/N\right)\cdot e^{i2\pi 2}df\right)}_{{\text{0,}})k\)\notin[0,\ N)}\\&.\){\frac{1}{N}}\sum_{k=0}^{N-1}{\bigg(}\scriptstyle{\rm{DFT}}\displaystyle\와 같이{g_{_{N}}}-LSB- k]\cdot \scriptstyle{\rm{DFT}}년.disp laystyle \{h_{_{N}}\}[k]{\bigg )}\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k}\\&=\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle {\bigg (}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{h_{_{N}}\}{\bigg )}. \end{정렬}}}
역 푸리에 변환을 위한 콘볼루션 정리 역 푸리에 변환을 위한 콘볼루션 정리도 있다.
F { g ∗ h } = F { g } ⋅ F { h } {\displaystyle {\mathcal {F}\{g*h\}={\mathcal {F}\cdot {\mathcal {F}\{h\}}}}} F { g ⋅ h } = F { g } ∗ F { h } {\displaystyle {{F}\{g\cdot h\}={\mathcal {F}\{g\}*{\mathcal {F}\{h\}}}}}} 하도록
g ∗ h = F − 1 { F { g } ⋅ F { h } } {\displaystyle g*h={\mathcal {F}^{-1}\좌측\{\mathcal {F}\{g\}\cdot {\mathcal {F}\{h\}\오른쪽\}}}}}}}}} g ⋅ h = F − 1 { F { g } ∗ F { h } } {\displaystyle g\cdot h={\mathcal {F}^{-1}\좌측\{\mathcal {F}\{g\}*{\mathcal {F}\{h\}\오른쪽\}}}}}}}}}} 강화분포를 위한 콘볼루션 정리 콘볼루션 정리는 강화분포 까지 확장된다. 여기서 g {\displaystyle g} Dirac comb )이다
F { f ∗ g } = F { f } ⋅ F { g } {\displaystyle {\mathcal {F}\{f*g\}={\mathcal {F}\{f\}\cdot {\mathcal {F}\{g\}}}}} F { α ⋅ g } = F { α } ∗ F { g } {\displaystyle {\mathcal {F}\{\alpha \cdot g\}={\mathcal {F}\\alpha \}*{\mathcal {F}\{g\}}}}}} 그러나 F F α } {\displaystyle f=F\{\alpha \}}} ∞ {\displaystyle -\ft} {\displaystyty +\ft} 동등하게 α F 1 f } {\displaystyle \alpha =F^{-1}\{f\}}}}} [6] [7] [8]
특히 디락 델타 처럼 압축적으로 지원되는 모든 강화 유통은 "급격한 감소"를 보이고 있다. 동등하게, 지속적 [\displaystyle 대역제한 기능은 부드러운 "느리게 성장하는" 일반적인 기능이다 예를 들어 g ≡ III {\displaystyle g\equiv \operatorname III} } 방정식 모두 포아송 합산식 을 산출하며, 더욱이 f Δ {\displaystyle f\equiv \delta } Δ displaystyle \alpha \equiv 1} 디락 결합 정체성 을 산출한다.
참고 항목 메모들 ^ 증명: ∫ − ∞ ∞ g P ( x − τ ) ⋅ h ( τ ) d τ = ∑ k = − ∞ ∞ [ ∫ x o + k P x o + ( k + 1 ) P g P ( x − τ ) ⋅ h ( τ ) d τ ] x 0 임의의 매개 변수 = ∑ k = − ∞ ∞ [ ∫ x o x o + P g P ( x − τ − k P ) ⏟ g P ( x − τ ) , 주기적으로 ⋅ h ( τ + k P ) d τ ] 대체하는 τ → τ + k P = ∫ x o x o + P g P ( x − τ ) ⋅ [ ∑ k = − ∞ ∞ h ( τ + k P ) ] ⏟ ≜ h P ( τ ) d τ {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }g_{_{P}}(x-\tau )\cdot h(\tau )\,d\tau &=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}+kP}^{x_{o}+(k+1) P}g_{_{p}}(x-\tau )\cdot h(\tau )\\\\tau \right]\quad x_{0}{\text{\text{}}는 임의 파라미터}\\\\\\\\\c=\c=\computy }^{x_}}{x_}}}}}}}{x_{o+}}}}}}{o+}}}}}}}}}{o+}}}}}}}}}}}}}} P}\underbrace {g_{_{P}}(x-\tau -kP)} _{g_{_{P}}(x-\tau ),{\text{ by periodicity}}}\cdot h(\tau +kP)\ d\tau \right]\quad {\text{substituting }}\tau \rightarrow \tau +kP\\&=\int _{x_{o}}^{x_{o}+ P}g_{_{P}}(x-\tau )\cdot \underbrace {\\\\sum _{k=-\infit }^{}h(\tau +kP)\riangleq \{_{P}}\tau \ed}}}} ^ 예를 들면 MATLAB 함수인 힐버트(g,N .
참조 ^ McGillem, Clare D.; Cooper, George R. (1984). Continuous and Discrete Signal and System Analysis (2 ed.). Holt, Rinehart and Winston. p. 118 (3-102). ISBN 0-03-061703-0 ^ a b Weisstein, Eric W. "Convolution Theorem" . From MathWorld--A Wolfram Web Resource . Retrieved 8 February 2021 . ^ Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications Bibcode :1996dspp.book.....P , ISBN 9780133942897 ^ a b Oppenheim, Alan V. ; Schafer, Ronald W. ; Buck, John R. (1999). Discrete-time signal processing ISBN 0-13-754920-2 https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf 에서도 이용 가능 ^ Rabiner, Lawrence R. ; Gold, Bernard (1975). Theory and application of digital signal processing ISBN 978-0139141010 ^ Horváth, John (1966). Topological Vector Spaces and Distributions . Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company.^ Barros-Neto, José (1973). An Introduction to the Theory of Distributions . New York, NY: Dekker. ^ Petersen, Bent E. (1983). Introduction to the Fourier Transform and Pseudo-Differential Operators . Boston, MA: Pitman Publishing. 추가 읽기 Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to Harmonic Analysis , Dover, ISBN 0-486-63331-4 Li, Bing; Babu, G. Jogesh (2019), "Convolution Theorem and Asymptotic Efficiency", A Graduate Course on Statistical Inference , New York: Springer, pp. 295–327, ISBN 978-1-4939-9759-6 Crutchfield, Steve (October 9, 2010), "The Joy of Convolution" , Johns Hopkins University , retrieved November 19, 2010
추가 자원 신호 처리 에서 콘볼루션 정리의 사용을 시각적으로 표현하려면 다음을 참조하십시오.
고려하십시오
. 
있으므로 푸리에 변환 
. 
![{\displaystyle {\begin{aligned}G[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{g_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}g_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\\H[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{h_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}h_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efbb447fea158f7a72207eeb714e09bad9b37e94)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{g_{_{P}}\cdot h_{_{P}}\}[k]=\{G*H\}[k].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2bad2d46fc3d7f55fa1f0aba4d07d0ac4c9b005)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{g_{_{P}}*h\}[k]=\ P\cdot G[k]\ H[k].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb5efc88b27e768f431ae3a8929535d601bad5b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{g_{_{P}}*h\}[k]&\triangleq {\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\int _{P}g_{_{P}}(\tau )\cdot h_{_{P}}(x-\tau )\ d\tau \right)e^{-i2\pi kx/P}\,dx\\&=\int _{P}g_{_{P}}(\tau )\left({\frac {1}{P}}\int _{P}h_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi kx/P}dx\right)\,d\tau \\&=\int _{P}g_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}\underbrace {\left({\frac {1}{P}}\int _{P}h_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi k(x-\tau )/P}dx\right)} _{H[k],\quad {\text{due to periodicity}}}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{P}\ g_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}d\tau \right)} _{P\cdot G[k]}\ H[k].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeba8d6f6601291d180c80b2641e0cd55e9fcf79)
![h[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89981bbbb05ffd469eeadb828c18359965985e46)
![g[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5e1d771a2385e9aeb71838a40425bb07c89525)
![{\displaystyle {\begin{aligned}G(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{g\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} \\H(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{h\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;.\quad f\in \mathbb {R} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae1eeef675264af7f8fcfd557058e49a788bf47)
![{\displaystyle r[n]\triangleq (g*h)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }g[m]\cdot h[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }g[n-m]\cdot h[m].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/922ec502551f6e1b4d5d124fc87dbcfe5e345903)
![{\displaystyle g_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }g[n-mN]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1976cd03f62847e2e3d1a2e9e0e30ec42fe1e807)
![{\displaystyle h_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f75c9e9e824b567446dcab2b4627367ea971534)
![{\displaystyle \{g_{_{N}}*h\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }g_{_{N}}[m]\cdot h[n-m]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]\cdot h_{_{N}}[n-m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f212e0d92ccbbaae8dee6b3f0817dc7491a1d06)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{g_{_{N}}*h\}[k]=\ \underbrace {{\mathcal {F}}\{g_{_{N}}\}[k]} _{G(k/N)}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{h_{_{N}}\}[k]} _{H(k/N)},\quad k\in \mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42f8d9aefdc1ed7b83274d802ced42bc6fa54770)
![{\displaystyle \{g_{_{N}}*h\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{g_{_{N}}\}\cdot {\mathcal {F}}\{h_{_{N}}\}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3afd1b404e196441c047ef002dd165db76d21f3)
![{\displaystyle \{g_{_{N}}*h\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{g\}\cdot {\mathcal {F}}\{h\}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4388bd55d5ec6394f6ef0ab23cd0c352e90c8b5b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{g_{_{N}}*h\}[k]&\triangleq \sum _{n=0}^{N-1}\left(\sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]\cdot h_{_{N}}[n-m]\right)e^{-i2\pi kn/N}\\&=\sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]\left(\sum _{n=0}^{N-1}h_{_{N}}[n-m]\cdot e^{-i2\pi kn/N}\right)\\&=\sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]\cdot e^{-i2\pi km/N}\underbrace {\left(\sum _{n=0}^{N-1}h_{_{N}}[n-m]\cdot e^{-i2\pi k(n-m)/N}\right)} _{\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{h_{_{N}}\}[k]\quad \scriptstyle {\text{due to periodicity}}}\\&=\underbrace {\left(\sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]\cdot e^{-i2\pi km/N}\right)} _{\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]}\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{h_{_{N}}\}[k]\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f72b0bb1a83f5ef635b23406c8aa233f77dc2293)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{g_{_{N}}*h\}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}*h\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right).\quad \scriptstyle {\mathsf {(Eq.5a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9368d34b3f14cd676f446e5e1cb1c14fa730c2ba)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{g_{_{N}}\}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f7671220c23f50d801a2db5d96501703288034)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{g_{_{N}}*h\}(f)&=G_{_{N}}(f)H(f)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\right)\cdot H(f)\cdot \delta \left(f-k/N\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\right)\cdot H(k/N)\cdot \delta \left(f-k/N\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{h_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right),\quad \scriptstyle {\mathsf {(Eq.5b)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e624efeeea53ccdd77e6b17bb7db8961fd53bc)
![{\displaystyle \left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{h_{_{N}}\}[k]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a022299541f9ddb48759cbe9773de2bed0820d99)
![{\displaystyle \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle {\{g_{_{N}}*h\}[k]}=\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{h_{_{N}}\}[k]\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/679f74e01669d53072e3a672d42f561d5be4fe40)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(g_{_{N}}*h)[n]&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{h_{_{N}}\}[k]\cdot \delta \left(f-k/N\right)\right)\cdot e^{i2\pi fn}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{h_{_{N}}\}[k]\cdot \underbrace {\left(\int _{0}^{1}\delta \left(f-k/N\right)\cdot e^{i2\pi fn}df\right)} _{{\text{0, for}}\ k\ \notin \ [0,\ N)}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\bigg (}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{h_{_{N}}\}[k]{\bigg )}\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k}\\&=\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle {\bigg (}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{h_{_{N}}\}{\bigg )}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b5327902ec010f0b1945c2296d19dd9a9d99b7)
(는) 두 
(가) 디락 델타인 경우
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }g_{_{P}}(x-\tau )\cdot h(\tau )\,d\tau &=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}+kP}^{x_{o}+(k+1)P}g_{_{P}}(x-\tau )\cdot h(\tau )\ d\tau \right]\quad x_{0}{\text{ is an arbitrary parameter}}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}\underbrace {g_{_{P}}(x-\tau -kP)} _{g_{_{P}}(x-\tau ),{\text{ by periodicity}}}\cdot h(\tau +kP)\ d\tau \right]\quad {\text{substituting }}\tau \rightarrow \tau +kP\\&=\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}g_{_{P}}(x-\tau )\cdot \underbrace {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(\tau +kP)\right]} _{\triangleq \ h_{_{P}}(\tau )}\ d\tau \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f82664f02c8e4c5dbe70478ecfda771e71cf54)
