연속적 퍼콜레이션 이론

수학 및 확률론에서 연속 퍼콜레이션 이론은 이산 퍼콜레이션 이론을 연속 공간(종종 유클리드 공간 Ⅱⁿ)으로 확장하는 수학의 한 분야다. 좀 더 구체적으로 말하면, 이산적 과대결집의 기본 지점은 격자의 유형을 형성하는 반면, 연속적 과대결집의 기본 지점은 종종 어떤 연속적인 공간에 랜덤하게 위치하며 점 과정의 한 유형을 형성한다. 각 점에 대해 임의의 모양을 자주 배치하고 모양이 서로 겹쳐서 뭉치나 성분을 형성한다. 이산적 퍼콜레이션에서와 같이, 연속적 퍼콜레이션의 공통 연구 초점은 무한하거나 거대한 구성요소의 발생 조건을 연구하는 것이다.^[1][2] 다른 공유 개념과 분석 기법은 무작위 그래프와 무작위 기하 그래프의 연구뿐만 아니라 이 두 종류의 퍼콜레이션 이론에 존재한다.

연속 퍼콜레이션은 무선 네트워크의 초기 수학 모델에서 비롯되었는데,^[2][3] 최근 몇 년 동안 여러 무선 네트워크 기술이 부상하면서 무선 네트워크에서 정보 용량과 성능의 이론적 한계를 결정하기 위해 일반화되고 연구되고 있다.^[4][5] 이 설정 외에도, 연속체 퍼콜레이션은 다공성 물질과 반도체의 연구와 같은 생물학, 지질학, 물리학을 포함한 다른 분야에 응용하는 한편, 그 자체로 수학적 관심의 대상이 되었다.^[6]

초기 역사

1960년대 초 에드가 길버트는^[3] 연속 퍼콜레이션 이론의 분야를 발생시킨 무선 네트워크에서의 수학 모델을 제안하여 이산 퍼콜레이션을 일반화하였다.^[2] 길버트 디스크 모델이라고도 알려진 이 모델의 기초 지점은 동종 포아송 프로세스에 따라 무한 평면 Ⅱ에² 균일하게 흩어져 있었다. 이산형 및 연속형 퍼콜레이션의 유사성을 알아차린 길버트는 이후 분기 공정의 확률 주제의 개념과 기법을 사용하여 무한하거나 "거대한" 구성요소에 대한 문턱값이 존재한다는 것을 보여주었다.^[7]

정의 및 용어

이러한 모델의 정확한 명칭, 용어 및 정의는 출처에 따라 약간 다를 수 있으며, 포인트 프로세스 표기법 사용에도 반영된다.

공통 모델

잘 연구된 많은 모델들이 연속적으로 존재하며, 이것은 종종 동질적인 포아송 점 공정에 기초한다.

디스크 모델

일정한 (점) 밀도 λ의 동종 포아송 공정 φ을 형성하는 평면 ℝ에서² {x_i} 점의 집합을 고려한다. 포아송 공정의 각 지점(즉_i, x ∈ φ φ)에 대해, 중심점이 x 지점에_i 위치하도록 디스크 D를_i 배치한다. 각 디스크 D가_i 다른 모든 반지름과_i 모든 기초 지점 {x_i}에 독립적인 임의 반지름 R(공통 분포로부터)을 가지고 있다면, 결과 수학 구조를 랜덤 디스크 모델이라고 한다.

부울 모형

무작위 디스크 모델을 제시하면, 모든 디스크 {D_i}의 설정된 결합을 취하면, 결과_i 구조 _i⋃ D는 부울-포아송 모델(단순히 부울 모델이라고도 ^[8]함)로 알려져 있는데, 이는 확률 기하학뿐만 아니라 연속적 과집합에서^[1] 일반적으로 연구되는 모델이다.^[8] 모든 반지름을 어떤 공통 상수(예: r > 0)로 설정하면, 결과 모델을 길버트 디스크(Boolean) 모델이라고도 한다.^[9]

세균-그레인 모델

디스크 모델은 디스크 대신 랜덤 콤팩트(Hence² bound and closed in in) 쉐이프_i S가 각 포인트_i x에 배치되는 더 임의적인 형태로 일반화될 수 있다. 다시 말하지만, 각 쉐이프 S는_i 공통분포를 가지고 있으며 다른 모든 쉐이프와 기본(Poisson) 포인트 프로세스에 독립적이다. 이 모델은 기본 점 {x_i}이(가) 세균이고 임의의 소형 형상 S가_i 곡물인 세균-곡물 모델이라고 알려져 있다. 모든 형상의 세트 결합은 부울 세균-회색 모델을 형성한다. 곡물에 대한 일반적인 선택은 디스크, 랜덤 다각형 및 랜덤 길이의 세그먼트를 포함한다.^[8]

부울 모델은 커버리지 프로세스로 알려진 확률적 프로세스의 예이기도 하다.^[10] 위의 모델은 평면 ℝ에서² 일반 유클리드 공간 ℝ까지ⁿ 확장할 수 있다.

구성 요소 및 중요도

부울-포아송 모델에서 디스크는 다른 디스크 집단과 접촉하지 않는 격리된 그룹이나 디스크 덩어리가 있을 수 있다. 이 덩어리들은 성분으로 알려져 있다. 구성 요소의 영역(또는 더 높은 차원의 볼륨)이 무한하다면 무한하거나 "거대한" 구성 요소라고 말한다. 퍼콜레이션 이론의 주요 초점은 무작위 네트워크 연구와 평행한 모델에 거대한 구성요소가 존재할 때의 조건을 확립하는 것이다. 큰 구성요소가 존재하지 않는 경우, 모델은 중요하지 않다고 한다. 거대한 구성요소 중요도의 조건은 당연히 기초점 공정의 밀도와 같은 모델의 매개변수에 따라 달라진다.

제외영역 이론

배치된 물체의 제외된 영역은 첫 번째 물체와 겹치지 않고 추가 물체를 배치할 수 없는 물체 주위의 최소 영역으로 정의된다. 예를 들어 길이 l, 너비 w와 가로 세로 비율 r)의 무작위로 지향적 균질의 사각형 시스템의.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den.{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}l/w 평균은 제외되 지역[11]:에 의해서 주어진다.

${\displaystyle A_{r}=2lw\left(1+{\frac {4}{\pi ^{2}}}\right)+{\frac {2}{\pi }}\left(l^{2}+w^{2}\right)=2l^{2}\left[{\frac {1}{r}}\left(1+{\frac {4}{\pi ^{2}}}\right)+{\frac {1}{\pi }}\left(1+{\frac {1}{r^{2}}}\right)\right]}$

반축 a와 b, 비율 r = a/b, 둘레 C가 있는 동일한 타원체 시스템에서 제외된 평균 영역은 다음과 같다.^[12]

${\displaystyle A_{r}=2\pi ab+{\frac{C^{2}}{2\pi }}}$

제외된 영역 이론에 따르면 시스템의 임계 수 밀도(percolation threshold) N은_c 평균 제외 영역_r A에 반비례한다.

${\displaystyle N_{\mathrm {c}}}\propto A_{r}^{-1}$

직사각형 또는 타원의 동종 및 이종 시스템 모두에서 과대포장 임계값이 평균 제외 영역에 의해 지배되며 선형 관계에 의해 상당히 잘 추정될 수 있다는 것이 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 입증되었다.

${\displaystyle N_{\mathrm {c} }-N_{\mathrm {c} 0}\propto A_{r}^{-1}$

3.1–3.5 범위의 비례 상수로.^[11][12]

적용들

퍼콜레이션 이론의 적용은 다양하고 물질 과학에서부터 무선 통신 시스템에 이르기까지 다양하다. 종종 그 작업은 시스템에서 한 유형의 위상 전환이 발생한다는 것을 보여주는 것을 포함한다.

무선 네트워크

무선 네트워크는 복잡성과 예측 불가능성 때문에 때로는 확률론적 모델로 가장 잘 표현되기도 한다. 따라서 연속 퍼콜레이션은 무선 네트워크의 확률론적 기하학적 모델을 개발하는데 사용되어 왔다. 예를 들어 센서 네트워크의 적용범위와 연결성을 연구하기 위해 지속적인 퍼콜레이션 이론과 커버리지 프로세스의 도구가 사용되어 왔다.^[13][14] 이러한 네트워크의 주요 제한사항 중 하나는 에너지 소비량이다. 일반적으로 각 노드는 배터리와 내장형 에너지 수확 형태를 가지고 있다. 센서 네트워크에서의 에너지 소비를 줄이기 위해, 다양한 수면 체계가 제안되었다. 노드의 하위 컬렉션을 에너지 소모가 적은 수면 모드로 만드는 것을 수반한다. 이러한 수면 계획은 분명히 센서 네트워크의 범위와 연결성에 영향을 미친다. 각 노드가 일정한 확률로 독립적으로 전원을 끄거나 켜는 단순 미조정 '블링킹' 모델과 같은 단순한 절전 모델이 제안되었다. 퍼콜레이션 이론의 도구를 사용하여 깜박이는 부울 푸아송 모델을 분석하여 그러한 간단한 전원 구성표의 지연 시간과 연결 효과를 연구했다.^[13]

참고 항목

• 무선 네트워크의 확률적 기하학적 모델
• 랜덤 그래프
• 부울 모형(확률 이론)

참조