점 공정 표기법

확률과 통계에서 점 공정 표기법은 점 공정으로 알려진 무작위 객체를 상징적으로 나타내기 위해 사용되는 수학적 표기법의 범위로 구성되며, 확률 기하학, 공간 통계학, 연속체 퍼콜레이션 이론과 같은 관련 분야에서 사용되며 종종 무작위 현상의 수학적 모델로서 사용된다.점, 시간, 공간 또는 둘 다로 표현 가능.

표기법은 특정 수학적 분야의 이력과 점 과정의 서로 다른 해석에 따라 달라지며,^[1]^[2]^[3] 측정 이론이나 세트 이론과 같은 수학적 연구 영역에서 표기법을 차용한다.^[1]

점 공정의 해석

점 공정의 표기법 및 용어는 특정 가정 하에서 점의 무작위 순서, 점의 무작위 집합 또는 무작위 계수 측정으로 해석될 수 있는 수학적 개체로서의 설정과 해석에 따라 달라진다.^[1]

점의 랜덤 순서

일부 수학 체계에서 주어진 점 과정은 각 점이 d차원 유클리드 공간^d^[1] R에 랜덤하게 위치하는 점의 순서와 다른 더 추상적인 수학적 공간으로 간주될 수 있다.일반적으로 무작위 시퀀스가 점 과정의 다른 해석과 동일한지 여부는 기초 수학 공간에 따라 다르지만, 유한 차원 유클리드 공간 R의^d 설정에 대해서는 해당된다.^[4]

임의의 점 집합

점 과정은 확률 1과 위치에서 두 개(또는 그 이상의 점)가 일치하지 않는 경우 단순하다고 한다.점 과정이 단순하고 점의 순서가 중요하지 않은 경우가 많으므로 무작위 점의 집합은 무작위 집합으로^[1]^[5] 간주할 수 있다 랜덤 집합의 이론은 데이비드 켄달과 조르주 매더론에 의해 독자적으로 개발되었다.랜덤 집합으로 간주된다는 측면에서, 랜덤 포인트의 시퀀스는 확률 1이^[6] 있는 누적 포인트가 없는 경우 랜덤 클로즈드 집합이다.

점 공정은 ${N}$ 를 들어 ^[1]^[7]^[8]N ${\$ 과 같이 하나의 문자로 표시되는 경우가 많으며, 점 공정을 무작위 집합으로 간주할 경우 해당 표기법은 다음과 같다.^[1]

{N}에서 {\displaystyle x\in}

임의 점 $x$ $x$ 이 $x$ (가) 점 프로세스 ${N}$ ${\$ 의 요소임을 나타내는 데 사용된다 ${N}$ 무작위 집합의 이론은 이 해석으로 인해 포인트 프로세스에 적용될 수 있으며, 무작위 시퀀스 해석과 함께 포인트 프로세스가 다음과 같이 작성되었다.

\{x_{1},x_{2},\display \}=\{x\}_{i}}}

무작위 시퀀스 또는 무작위 폐쇄 점 집합으로 해석되는 것을 강조한다.^[1]또한 대문자는 점 프로세스를 나타내는 반면, 소문자는 공정에서 점을 나타내는 경우가 있으므로, 예를 들어 점 $\textstyle x$ ${\$ $\$ $textstyle$ x $}($ $\textstyle x_{i}$ $\textstyle x_{i}$ i ${\$ 는 점 $\textstyle X$ X {\ $displaystyle \textstyle$ X $\textstyle X$ 에 속하거나, 설정되지 않은 점 x에 속함ation, $\textstyle x\in X$ $\textstyle x\in X$ $\textstyle x\in X$ ${\$ ^[8]

무작위 측정

일부 Borel $세트$ B{\ $displaystyle B$ }에 ${N}$ ${N}$ 한 N ${N}$ {\ $displaystyle {N}$ 의 포인트 수를 나타내기 위해 때때로 이 점을 기록한다 $B$

\Phi(B)=\#(B\cap {N}),

여기서 $\Phi (B)$ ( $\Phi (B)$ ) $\Phi (B)$ 은 $\Phi(B)$ 랜덤 변수, $\#$ # $\#$ 은 카운트 측정값으로 $\#$ , 일부 집합의 포인트 수를 제공한다.이 수학적 표현에서 점 과정은 다음과 같이 나타낸다.

${N}$ ${\$

반면 기호는 다음과 같다.

$\displaystyle \Phi }$

$B$ $B$ 에서 ${N}$ ${N}$ ${\$ 의 포인트 수를 나타냄 $B$ 무작위 측정의 맥락에서 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\Phi(B)=n$

${N}$ ${\$ 의 $n$ $n$ 점을 $n$ 포함하는 $B$ $세트$ B $B$ 이 있다는 것을 나타내기 위해. 즉, 포인트 프로세스는 음이 아닌 일부 정수 값을 세트에 할당하는 임의의 측정으로 간주할 수 있다 ${N}$ ^[1]이러한 해석은 무작위 계수 측정의^[9]^{: 106} 다른 이름, 그리고 포인트 프로세스를 연구하기 위한 또 다른 방법을 제공하는 무작위 측정 이론의 기법을 단지 다른 이름으로 간주하는 것에 동기를 부여해 왔으며,^[1]^[10] 이것은 또한 통합과 측정 이론에 사용되는 다양한 개념의 사용을 유도한다.^[a]

이중 표기법

무작위 집합과 계수 측정으로 점 공정을 해석하는 다른 해석은 자주 사용되는 표기법으로 포착된다.

${N}$ ${\$ 은 랜덤 포인트 집합을 나타낸다 ${N}$ .
${N}(B)$ ) ${N}(B)$ 은 $B$ $B$ 에서 ${N}$ ${N}$ ${\$ 의 포인트 수를 나타내는 랜덤 변수를 의미한다 ${N}(B)$ ( $B$ 임의 계산 측정치임을 의미).

$\#$ $\#$ 을(를) 사용하여 다시 계산 측정값을 나타내는 이 이중 표기법은 다음을 함축한다 $\#$

{N}(B)=\#(B\cap {N}).

합계

$f$ $f$ 이(가) R에서^d 어떤 측정 가능한 함수인 $f$ 경우 $,$ ${N}$ ${\$ 의 $x$ 모든 $x$ 에 대한 $f(x)$ $f(x)$ ( x ) {\ $displaystyle$ $f(x)$ f $x)}$ 의 합은 다음과 같은 여러 가지 방법으로 기록할 수 있다 ${N}$ .

f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots

무작위 시퀀스 모양 또는 다음과 같이 설정된 표기법:

\sum _{x\in{N}f(x)

또는 동등하게 통합 표기법을 다음과 같이 사용한다.

\int_{\textbf {R}^{d(x){N}(dx)

${N}$ 서 N ${\$ 의 해석을 무작위 계수 측정으로 ${N}$ 강조한다.대체 통합 표기법을 사용하여 이 적분을 다음과 같이 쓸 수 있다.

\int_{\textbf {R}^{d}f\,d{N}

포인트 프로세스의 이중 해석은 세트 $B$ $B$ 에 ${N}$ ${\$ 개의 ${N}$ 포인트를 다음과 같이 $B$ 쓸 때 예시된다.

{N}(B)=\sum _{x\in{{N}1_{B}(x)

여기서 $표시기$ $1_{B}(x)=1$ B $($ x ) = 1 {\ $displaystyle$ $1_{B}(x)=1}$ $1_{B}(x)=1$ x가 $B$ {\ $displaystyle B}$ 에 $B$ 있고 $x$ 다른 점 x가 0인 경우 $1_{B}(x)=1$ 이 설정에서는 Dirac 측정이라고도 한다.^[11]이 표현에서 무작위 측정 해석은 왼쪽에, 무작위 집합 표기법은 오른쪽에 있다.

기대들

점 프로세스에 대한 함수 합계의 평균 또는 기대 값은 다음과 같이 기록된다.^[1]^[3]

E\left[\sum _{x\in {N}f(x)\right]\qquad {\text{or}\qquad \int_{\textbf{N}\sum {n}f(d{{N}),}

여기서(임의 측정 의미) $P$ $P$ 은(는) 계수 측정값 ${\textbf {N}}$ ${\$ 에 정의된 적절한 확률 측정값이다 $P$ ${\textbf {N}}$ ${N}(B)$ ( ${N}(B)$ ) ${N}(B)$ 의 예상 값은 다음과 같이 쓸 수 있다 ${N}(B)$ .^[1]

E[{N}(B)]=E\left(\sum _{x\in{N1}_{B}(x)\right)\qquad {\text{or}\qquad \int_{\textbf{N}\sum _{x\{N1}_{B}P(d{N})}

N ${\$ 의 첫 모멘트 측정이라고도 한다 ${N}$ 포인트 프로세스 이론에서 샷 노이즈 프로세스로 알려진 그러한 무작위 합에 대한 기대는 캠벨의 정리를 통해 계산할 수 있다.^[2]

다른 필드에서 사용

포인트 프로세스는 다른 수학적 및 통계적 분야에서 채택되므로, 확률적 기하학, 공간 통계학 또는 연속적 집적 이론과 같은 분야와 이러한 분야에서 방법과 이론을 사용하는 영역에서는 표기법을 사용할 수 있다.

참고 항목

메모들

^ Stoyan, Kendall 및 Mechke 제1장에서 논의한 바와 같이,^[1] 다양한 적분 표기법은 일반적으로 국내외 모든 통합에 적용된다.

참조

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[11] Stoyan, Kendall 및 Mechke 제1장에서 논의한 바와 같이,^[1] 다양한 적분 표기법은 일반적으로 국내외 모든 통합에 적용된다.

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